張承坤，譚潯曉，徐鶴萍，李軍

(中國(guó)傳媒大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024)

1 引言

2007年Lehrer在文獻(xiàn)[1]中引入了一類(lèi)基于普通加法和乘法運(yùn)算且與一個(gè)單調(diào)測(cè)度(也稱為容度)相聯(lián)系的新型積分——凹積分的概念。這是一類(lèi)重要的非線性積分，作為泛函它是凹的，當(dāng)考慮的單調(diào)測(cè)度為可加測(cè)度時(shí)，這一類(lèi)積分則退化為勒貝格積分，因此，它是經(jīng)典勒貝格積分的推廣。有關(guān)凹積分的相關(guān)研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-4]。

凹積分的原始定義是通過(guò)滿足一定條件的泛函族描述的[1-3]，即在一個(gè)可測(cè)空間(X，A)上，一個(gè)可測(cè)函數(shù)f在X上對(duì)應(yīng)于一個(gè)容度v的凹積分定義為所有滿足凹性和正齊次性的泛函H在f取值的下確界，且每個(gè)泛函H須滿足H(XE)≥v(E)，XE表示可測(cè)集E的特征函數(shù)。明顯地，如此定義的積分作為泛函是凹的。類(lèi)似于下勒貝格積分的定義，Lehrer和Teper利用簡(jiǎn)單函數(shù)從下方逼近可測(cè)函數(shù)的方式對(duì)上述凹積分給出了一個(gè)等價(jià)定義[2-3]。這個(gè)等價(jià)定義的優(yōu)點(diǎn)在于當(dāng)我們研究凹積分的性質(zhì)時(shí)可以參照下勒貝格積分的討論，且凹積分、Choquet積分[5]和泛積分(Pan-integral)[6-7]這三類(lèi)重要的非線性積分納入到了一個(gè)統(tǒng)一的研究框架下[4，8-9]。

從上述凹積分的等價(jià)定義我們知道它與一對(duì)普通運(yùn)算(+，·)(即普通的算術(shù)加法和乘法運(yùn)算)和一個(gè)單調(diào)測(cè)度相聯(lián)系。類(lèi)似于泛積分的討論[7]，2011年Mesiar等人[10]將基于普通加法和乘法運(yùn)算(+，·)的凹積分推廣到了基于泛加和泛乘運(yùn)算(⊕，?)的情形，定義了擬凹積分(pseudo-concave integral)。當(dāng)(⊕，?)=(+，·)時(shí)，擬凹積分退化為L(zhǎng)ehrer的凹積分。Mesiar等人的擬凹積分定義與Lehrer給出的凹積分的等價(jià)定義類(lèi)似，即是利用了擬簡(jiǎn)單函數(shù)從下方逼近可測(cè)函數(shù)的方式給出的[10]。

本文中，我們將進(jìn)一步討論擬凹積分的性質(zhì)?；谝粚?duì)泛加和泛乘運(yùn)算(⊕，?)，我們將引入一個(gè)泛函的擬凹性和擬正齊性的概念并給出了它們的一些基本性質(zhì)。利用一族具有單調(diào)性、擬凹性和正齊性泛函給出了一類(lèi)基于(⊕，·)運(yùn)算的擬凹積分的等價(jià)表述，即給出以泛函形式表述的等價(jià)定義。從而，基于算術(shù)加法和乘法運(yùn)算的凹積分的相關(guān)結(jié)果得到了進(jìn)一步推廣。我們還將討論一個(gè)單調(diào)測(cè)度關(guān)于擬凹積分的完全均衡性，證明基于一個(gè)單調(diào)測(cè)度v的擬凹積分與對(duì)應(yīng)于這個(gè)單調(diào)測(cè)度的最優(yōu)測(cè)度ν⊕[11]的擬凹積分是一致的。注意到任何一個(gè)單調(diào)測(cè)度v的最優(yōu)測(cè)度ν⊕是超可加的[11]，它比原單調(diào)測(cè)度有更好的性質(zhì)，因此，我們得到的結(jié)果為進(jìn)一步研究凹積分提供了有利條件。

本文中出現(xiàn)的與單調(diào)測(cè)度(或容度、或非線性概率)和非線性積分的相關(guān)的概念和符號(hào)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[12-16]。

2 預(yù)備知識(shí)

(1)v(φ)=0；

(2)A?B?v(A)≤v(B)。

特別的，當(dāng)v(X)=1時(shí)，v稱為一個(gè)容度。

(1)a⊕b=b⊕a；

(2)(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c);

(3)a≤b，c≤d?a⊕c≤b⊕d;

(4)a⊕0=0⊕a=a;

(5)an→a，bn→b?an⊕bn→a⊕b。

則稱⊕為泛加運(yùn)算。

(1)a?b=b?a；

(2)(a?b)?c=a?(b?c)；

(3)a?0=0?a=0；

(4)a≤b，c≤d?a?c≤b?d；

(5)(a⊕b)?c=(a?c)⊕(b?c)；

(6)存在e∈R+，使得e?a=a?e=a，e稱為一個(gè)單位元；

(7)若極限liman和limbn極限存在且有限，則lim(an+bn)=liman+limbn，則稱?為泛乘運(yùn)算。在本文中，e表示一個(gè)固定的單位元。

稱χE為E的擬特征函數(shù)，或簡(jiǎn)稱為E的特征函數(shù)。下面，我們來(lái)回顧凹積分的定義。

以下性質(zhì)給出了凹積分的一個(gè)等價(jià)定義。

由以上性質(zhì)即可得知：當(dāng)v是可加測(cè)度時(shí)，凹積分則退化為一般的抽象勒貝格積分。

3 擬凹積分

我們知道Lehrer定義的凹積分是基于一個(gè)容度并和一對(duì)運(yùn)算即算數(shù)加法和乘法(+，·)相聯(lián)系的，Mesiar等人[10]將凹積分的定義進(jìn)一步推廣到了泛加和泛乘(⊕，?)的情形，給出了擬凹積分的定義。

類(lèi)似于Lehrer對(duì)凹積分的討論，下面我們討論定義2.6中擬凹積分定義的泛函表述形式。

我們引入以下概念：

由定義可以看出，擬凹泛函是擬超正齊次的，即對(duì)于任意f∈F，α∈[0，1]，有H(α?f)≥α?H(f)，一般情況下，上述不等式不能變成等式。

H(f⊕g)≥H(f)⊕H(g)，則稱H是基于(⊕，?)擬超可加泛函，簡(jiǎn)稱為H是擬超可加泛函。

性質(zhì)3.1 若泛函H滿足擬正齊次性和擬超可加性，則H是擬凹泛函。

則

于是

性質(zhì)證畢。

下面，我們考慮特殊的交換半環(huán)(R+，⊕，·)，即一對(duì)擬加法和普通乘法運(yùn)算，我們將看出基于(⊕，·)的擬凹積分可由基于(⊕，·)的擬凹泛函來(lái)刻畫(huà)。

證明：我們首先證明

其中泛函H滿足定理中所述的條件。

當(dāng)α>0時(shí)，

由擬超可加性和正齊次性，有

≥e·v(A)

=v(A)。

(1)

=H(h)⊕H(g)。

且

由定義3.1可知

由H的任意性，我們得到

(2)

由(1)和(2)兩個(gè)不等式，即得

定理證畢。

4 擬凹積分的均衡性

本節(jié)我們討論擬凹積分關(guān)于一個(gè)容度v的完全均衡性。

對(duì)于勒貝格積分或Choquet積分(分別考慮μ為勒貝格測(cè)度或容度)，我們有

若一個(gè)單調(diào)測(cè)度v滿足

性質(zhì)4.1 我們有以下性質(zhì)：

證明：(1)由定義可得。

下面我們證明相反的不等式。

那么

即

性質(zhì)4.1證畢。

下面我們討論基于單調(diào)測(cè)度v的擬凹積分與對(duì)應(yīng)于v的最優(yōu)測(cè)度ν⊕的擬凹積分之間的關(guān)系。

最優(yōu)測(cè)度有以下基本性質(zhì)[11]，我們陳述如下：

(3)v≤v⊕；

我們可得以下性質(zhì)：

結(jié)合性質(zhì)4.1(2)即可得結(jié)論。

對(duì)于泛積分我們有類(lèi)似的結(jié)果[16]。

5 結(jié)論

本文中，我們利用一族具有單調(diào)性、擬凹性和正齊性泛函給出了一類(lèi)基于(⊕，·)運(yùn)算的擬凹積分的等價(jià)定義(定理3.1)，推廣了與凹積分相關(guān)的結(jié)論。特別地，基于運(yùn)算對(duì)(⊕，·)的Shilkret積分是一類(lèi)特殊的擬凹積分，這樣我們得到了Shilkret積分的泛函表述的等價(jià)定義。我們還討論了一個(gè)單調(diào)測(cè)度關(guān)于擬凹積分的完全均衡性(性質(zhì)4.1)，證明了基于一個(gè)單調(diào)測(cè)度v的擬凹積分與對(duì)應(yīng)于這個(gè)單調(diào)測(cè)度的最優(yōu)測(cè)度ν⊕的擬凹積分是一致的(性質(zhì)4.2)。因?yàn)槿魏我粋€(gè)單調(diào)測(cè)度的最優(yōu)測(cè)度是超可加的[11]，因此，我們?cè)谟懻摪挤e分的一些性質(zhì)時(shí)僅考慮超可加測(cè)度的情形即可，這為進(jìn)一步研究凹積分提供了有利條件。

在我們的討論中，我們僅僅考慮了一類(lèi)特殊的運(yùn)算(⊕，·)，即加法運(yùn)算為一般的泛運(yùn)算“⊕”，乘法運(yùn)算僅考慮了通常的算術(shù)乘法“·”。我們尚不知對(duì)于一般的運(yùn)算(⊕，?)，定理3.1是否成立，這是我們要進(jìn)一步研究的問(wèn)題。