閆述濤

(中國(guó)傳媒大學(xué)理工學(xué)部，北京 100024)

1 引言

在一階微分方程的求解當(dāng)中，穩(wěn)定性是一個(gè)必須要考慮的問(wèn)題，它對(duì)最終初值問(wèn)題的解產(chǎn)生直接的影響。求解微分方程的初值問(wèn)題所用的Euler法、后退的Euler法、梯形法、Runge-Kutta法，通常采用差分格式進(jìn)行求解，這樣就不可避免的在計(jì)算的過(guò)程中產(chǎn)生誤差，隨著計(jì)算過(guò)程的不斷進(jìn)行，誤差可能就會(huì)逐漸累積，影響最后結(jié)果的精確性。因此我們要對(duì)數(shù)值解法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

2 穩(wěn)定性的定義

當(dāng)在第i個(gè)點(diǎn)上x(chóng)i的yi值存在值為δ的誤差時(shí)，如果在第i個(gè)點(diǎn)后的各個(gè)點(diǎn)xj(j>i)上的值yi存在的誤差都小于等于δ，則稱該方法是穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性不僅跟算法相關(guān)，也跟步長(zhǎng)的大小相關(guān)，同時(shí)也跟方程中的函數(shù)f(x，y)相關(guān)，為了簡(jiǎn)便分析過(guò)程，構(gòu)建一個(gè)模型方程，利用解模型方程的穩(wěn)定性來(lái)確定方法的穩(wěn)定性。

設(shè)模型方程為

y′=λy

(1)

其中λ為復(fù)數(shù)。同時(shí)為保證微分方程本身的穩(wěn)定性，我們假設(shè)Re(λ)<0。對(duì)方程y進(jìn)行局部線性化變換，例如在區(qū)間(a，b)上，方程可以改寫(xiě)為

(2)

省略高階項(xiàng)，再次進(jìn)行變換，就可得到(1)式。

3 Euler法的穩(wěn)定性分析

Euler法的公式為yn+1=yn+hf(xn，yn)，h是步長(zhǎng)，我們現(xiàn)在通過(guò)模型方程來(lái)考慮Euler法的穩(wěn)定性。我們有

(3)

合并之后有

yn+1=yn+hλyn

(4)

εn+1=(1+hλ)εn

(5)

要保證方程是穩(wěn)定的，就要求誤差是不增長(zhǎng)的，即

(6)

整理得-2

4 后退Euler法的穩(wěn)定性分析

后退Euler法，其計(jì)算公式為yn+1=yn+hf(xn+1，yn+1)(7)，將模型方程帶入公式，我們有

(8)

5 梯形法的穩(wěn)定性分析

6 Runge-Kutta法的穩(wěn)定性分析

Runge-Kutta法有很多不同形式的計(jì)算公式，我們?cè)谶@取最常用的四級(jí)四階Runge-Kutta公式，它的計(jì)算公式為

(11)

將模型方程帶入(11)中，我們有

可得，Runge-Kutta公式的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?-2.785，0)

7 四種方法的穩(wěn)定性對(duì)照

計(jì)算方法表達(dá)式穩(wěn)定區(qū)間Euler法1+hλ(-2,0)后退Euler法11-hλ(-∞,0)梯形法1+hλ21-hλ2(-∞,0)四級(jí)四階Runge-Kutta法1+hλ+(hλ)22+(hλ)36+(hλ)424(-2.785,0)

由對(duì)比我們可以清楚的看到，四種常見(jiàn)的微分方程求解方法當(dāng)中，后退Euler法和梯形法的穩(wěn)定性較好，并且隱式方法比顯示方法在穩(wěn)定性方面要好。

8 總結(jié)

Euler法、后退Euler法、梯形法以及四級(jí)四階Runge-Kutta法都是微分方程的最常見(jiàn)的求解方法，四種方法的收斂性、穩(wěn)定區(qū)間不同，因此在求解方程時(shí)，可以依據(jù)不同的方程結(jié)構(gòu)選擇合適的求解方法。