李小兵， 趙思源， 卜祥偉， 何陽(yáng)光

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051； 2. 空軍工程大學(xué)研究生院， 西安 710051)

高超聲速飛行器是指以超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力，以馬赫數(shù)5以上的速度飛行在高度為20～100 km的臨近空間中的一類飛行器，主要為軍方執(zhí)行情報(bào)收集、偵察監(jiān)視、高空投送等任務(wù)[1]。因其軍民兩用前景廣闊，在情報(bào)偵查和通信運(yùn)送等方面優(yōu)勢(shì)獨(dú)特，從而引起了世界大國(guó)廣泛且高度的關(guān)注，并迅速成為近年來(lái)空天領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。飛控技術(shù)是高超聲速飛行的核心問(wèn)題之一。高超聲速飛行器具有強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合、模型不確定和多干擾、多約束以及大時(shí)變等特性。由于臨近空間中高超聲速飛行器特定的飛行速度和復(fù)雜的飛行環(huán)境，飛行控制正經(jīng)歷著傳統(tǒng)飛行器所未曾遇到過(guò)的新問(wèn)題，這對(duì)于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提出了許多相應(yīng)的新要求，對(duì)其開(kāi)展控制新理論、新方法和新技術(shù)研究意義重大[2-3]。

從目前公開(kāi)的文獻(xiàn)資料看，大多數(shù)的研究工作是基于建立的Winged-Cone剛體模型上開(kāi)展的[4-6]，一般很難反映出高超聲速飛行器的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。Bolender與Doman[7]則在以上研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)分別建立彈性動(dòng)力學(xué)模型、氣動(dòng)力模型與發(fā)動(dòng)機(jī)模型，最終得到了一個(gè)氣動(dòng)/推進(jìn)/結(jié)構(gòu)耦合的縱向一體化解析式系統(tǒng)模型。Parker等[8]則在Bolender與Doman[7]的工作基礎(chǔ)上，通過(guò)忽略模型中的一些弱耦合關(guān)系，建立了一個(gè)面向控制的高超聲速飛行器參數(shù)擬合模型。目前已有相當(dāng)多的控制算法被應(yīng)用于控制器的設(shè)計(jì)。經(jīng)典的魯棒控制在本質(zhì)上是考慮不確定性為最壞情況時(shí)優(yōu)化解的求取情況，文獻(xiàn)[9]通過(guò)反饋線性化和極點(diǎn)配置的方法設(shè)計(jì)了標(biāo)稱控制器，通過(guò)魯棒補(bǔ)償器來(lái)抑制參數(shù)不確定和外界擾動(dòng)帶來(lái)的不利影響；滑?？刂茖?duì)模型本身的不確定與外部擾動(dòng)都不敏感，具有良好的魯棒性，文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種多輸入、多輸出的自適應(yīng)滑模控制律，確保了速度與高度跟蹤誤差指數(shù)收斂的滑模面，但控制輸入存在高頻抖振；文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)彈性自適應(yīng)控制律，減弱了系統(tǒng)的抖振，跟蹤效果較好，但控制律設(shè)計(jì)是基于剛體模型建立的且并未分析系統(tǒng)的彈性狀態(tài)影響；反演控制能充分利用系統(tǒng)有用的非線性項(xiàng)，將非匹配不確定系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為匹配不確定系統(tǒng)，這已成為高機(jī)動(dòng)飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的主流方法[12-13]。文獻(xiàn)[14]針對(duì)飛行器彈性模型設(shè)計(jì)了一種魯棒反演控制器，雖然對(duì)指令輸入跟蹤效果較好，但是由于未考慮到加入干擾觀測(cè)器后使得對(duì)模型的不確定項(xiàng)估計(jì)變得相對(duì)平滑，在后期魯棒性能上無(wú)法確保。

雖然對(duì)于高超聲速飛行器的參考軌跡跟蹤研究已有大量的較好成果，但是考慮不確定擾動(dòng)下跟蹤誤差的瞬態(tài)性能(如超調(diào)量、跟蹤誤差等)研究卻少之又少[15-16]。2008年，希臘學(xué)者Bechlioulis和Rovithakis[15]提出了一種控制策略-預(yù)設(shè)性能控制，較好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)跟蹤誤差瞬態(tài)性能的范圍約束。預(yù)設(shè)性能控制方法的主要思路是通過(guò)設(shè)計(jì)預(yù)設(shè)性能函數(shù)對(duì)軌跡跟蹤誤差進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)化，從而保證誤差能夠以預(yù)期的瞬態(tài)性能收斂至預(yù)設(shè)范圍內(nèi)。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種預(yù)設(shè)性能的魯棒反演控制，完成了控制任務(wù)且對(duì)未知隨機(jī)擾動(dòng)有較強(qiáng)的魯棒性，但誤差收斂速度較慢。文獻(xiàn)[18]對(duì)于全狀態(tài)的預(yù)設(shè)性能設(shè)計(jì)了一種受限指令的反演控制器，在輸出和中間狀態(tài)穩(wěn)態(tài)分析的基礎(chǔ)上，對(duì)全狀態(tài)信號(hào)的瞬時(shí)性能進(jìn)行了分析。

本文針對(duì)高超聲速飛行器巡航段縱向動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了一種新型預(yù)設(shè)性能神經(jīng)反演控制方法。首先，將縱向運(yùn)動(dòng)模型分解為速度和高度子系統(tǒng)，并分別進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，引入預(yù)設(shè)性能函數(shù)及轉(zhuǎn)化誤差來(lái)滿足預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。在設(shè)計(jì)控制器過(guò)程中引入徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)模型不確定項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償和逼近，有效提高了控制精度。然后，分別對(duì)速度和高度子系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。最后，通過(guò)仿真對(duì)所設(shè)計(jì)控制器的可行性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 高超聲速飛行器建模

1.1 高超聲速飛行器縱向平面運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

高超聲速飛行器軌跡控制系統(tǒng)的任務(wù)是在保持飛行姿態(tài)穩(wěn)定的前提下，通過(guò)調(diào)節(jié)燃料-空氣比Φ和升降舵偏角δe在縱向平面內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)速度參考指令和高度參考指令的有效跟蹤。高超聲速飛行器受力情況示意圖如圖1所示，其在縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)模型為[7-8,19-20]

圖1 高超聲速飛行器受力示意圖Fig.1 Force map of hypersonic flight vehicle

(1)

式(1)中L、T、D、M的擬合式如下：

(2)

注1本文所采用的Parker彈性體模型相比于文獻(xiàn)[22-23]中采用的剛體模型更能準(zhǔn)確地模擬出飛行器的真實(shí)飛行狀態(tài)。本文所采用模型的氣動(dòng)力擬合公式中充分考慮了彈性狀態(tài)的影響，將彈性狀態(tài)視為系統(tǒng)的不確定項(xiàng)處理，因此相應(yīng)的控制難度加大。

由式(1)和式(2)可以看出，速度的變化主要與燃料-空氣比Φ相關(guān)，而高度的變化主要與舵偏角δe相關(guān)。因此控制輸入選擇燃料-空氣比Φ和升降舵偏角δe，輸出為速度V和高度h。

由式(1)和式(2)可以看出，飛行器彈性體狀態(tài)通過(guò)氣動(dòng)力L、T、D、M嚴(yán)重地同剛體狀態(tài)耦合，如果抑制彈性狀態(tài)的效果不明顯，將會(huì)對(duì)剛體狀態(tài)的控制產(chǎn)生較大影響。因此，控制系統(tǒng)的任務(wù)除了保證剛體系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤參考輸入外，還要保證彈性狀態(tài)最終是收斂的。

為便于控制律設(shè)計(jì)，通常先將高超聲速飛行器的運(yùn)動(dòng)模型分解為速度子系統(tǒng)與高度子系統(tǒng)，再分別對(duì)其設(shè)計(jì)相應(yīng)控制律。這里已將2個(gè)子系統(tǒng)的耦合考慮在內(nèi)[14]。

1.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

引入如下RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用來(lái)逼近模型不確定項(xiàng)：

F(ξ)=WTψ(ξ)

(3)

式中：F∈R和ξ∈Rn分別為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出和輸入；W∈Rn為權(quán)值向量；ψ(ξ)=[ψ1(ξ),ψ2(ξ),…,ψn(ξ)]T為徑向基函數(shù)。通常情況下，將ψi(ξ)選取成如下高斯基函數(shù)：

(4)

式中：ξi∈Rn為高斯基函數(shù)中心向量；bi∈R+為高斯基函數(shù)的寬度。

引理1[24]給定任意連續(xù)函數(shù)F(ξ)是定義在緊集Ωξ上的實(shí)函數(shù)以及任意常數(shù)?>0。當(dāng)n足夠大時(shí)，選取合適的bi和ξi使得RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)變?yōu)?/p>

F(ξ)=(W*)Tψ(ξ)+Δ(ξ)

(5)

式中：|Δ(ξ)|≤?|表示估計(jì)誤差；?ξ∈Ωξ，W*為最優(yōu)權(quán)值向量，將W*定義為如下形式：

(6)

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

2.1 預(yù)設(shè)性能分析

基于定義1，本文選取如下預(yù)設(shè)性能函數(shù)：

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-lt+ρ∞

(7)

式中：ρ0,ρ∞,l∈R+為待設(shè)計(jì)參數(shù)且ρ0>ρ∞，ρ0為函數(shù)ρ(t)的初值，ρ∞為函數(shù)ρ(t)的穩(wěn)態(tài)值，l為函數(shù)ρ(t)的下降速率。

跟蹤誤差e(t)應(yīng)滿足下述定義不等式：

-κρ(t)

(8)

式中：κ和λ為正參數(shù)。

則對(duì)于任意未知但有界的e(0)，均有

-κρ(0)

(9)

由式(8)可以看出，ρ∞表示e(t)穩(wěn)態(tài)值的上界，即-κρ∞

在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的過(guò)程中，直接對(duì)不等式約束(式(8))進(jìn)行處理的難度非常大，因此可以先將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束再進(jìn)行設(shè)計(jì)，這里定義一個(gè)誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)H(ε(t))：

(10)

式中：ε(t)為轉(zhuǎn)換誤差。

H(ε(t))平穩(wěn)遞增，則有

(11)

那么H(ε(t))的逆可以寫(xiě)成

(12)

這里將ε(t)選取為如下形式：

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo)可得

(14)

式中：

顯然，μ和ν是有界的。

定理1若ε(t)有界，則有-κρ(t)

證明當(dāng)e(0)>0時(shí)，因?yàn)棣?t)有界，必存在有界正數(shù)εM使得|ε(t)|≤εM。這樣，式(13)的逆變換為

(15)

由式(15)可得

(16)

也即

-κρ(t)

反之可得e(0)<0的情況。

證畢

下文的控制器設(shè)計(jì)將基于轉(zhuǎn)換誤差ε(t)。定理1表明，只要ε(t)有界，誤差e(t)便可被限定在式(8)所定義的預(yù)設(shè)區(qū)域內(nèi)。通過(guò)為ρ(t)設(shè)計(jì)合適的參數(shù)，便可保證e(t)具有預(yù)期的瞬態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。

2.2 速度控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

(17)

定義速度跟蹤誤差為

(18)

將式(18)求導(dǎo)，得到

(19)

根據(jù)式(13)，速度的轉(zhuǎn)換誤差εV可以表示為

(20)

式中：ρV=(ρV0-ρV∞)e-lVt+ρV∞，ρV0、ρV∞、lV均為正的待設(shè)計(jì)參數(shù)。

結(jié)合式(19)對(duì)式(20)求導(dǎo)可得

(21)

若假設(shè)μV>μV0>0，式(21)可以進(jìn)一步寫(xiě)成

(22)

基于反演理論，將實(shí)際控制律Φ設(shè)計(jì)為

(23)

對(duì)于式(5)中未知的最優(yōu)權(quán)值向量，定義

(24)

根據(jù)式(24)可得

(25)

證明選取如下Lyapunov函數(shù)：

(26)

對(duì)式(26)求導(dǎo)可得

(27)

將式(23)和式(25)代入式(27)可得

(28)

又有不等式

(29)

將不等式(29)代入式(28)可得

(30)

結(jié)合式(29)可得

(31)

證畢

2.3 高度控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

為了便于控制器設(shè)計(jì)，根據(jù)式(1)將高超聲速飛行器高度子系統(tǒng)改寫(xiě)為如下形式：

(32)

定義高度跟蹤誤差為

(33)

將式(33)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(34)

根據(jù)式(13)，高度的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εh可表示為

(35)

式中：ρh=(ρh0-ρh∞)e-lht+ρh∞，ρh0、ρh∞、lh均為正的待設(shè)計(jì)參數(shù)。

類似的，航跡角的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εγ可表示為

(36)

式中：ργ=(ργ0-ργ∞)e-lγt+ργ∞，ργ0、ργ∞、lγ均為正的待設(shè)計(jì)參數(shù)。

俯仰角的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εθ可表示為

(37)

式中：ρθ=(ρθ0-ρθ∞)e-lθt+ρθ∞，ρθ0、ρθ∞、lθ均為正的待設(shè)計(jì)參數(shù)。

俯仰角速率的轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)εQ可表示為

(38)

式中：ρQ=(ρQ0-ρQ∞)e-lQt+ρQ∞，ρQ0、ρQ∞、lQ均為正的待設(shè)計(jì)參數(shù)。

結(jié)合式(34)對(duì)式(35)求導(dǎo)可得

(39)

若假設(shè)μh>μh0>0，式(39)可以進(jìn)一步寫(xiě)成

(40)

(41)

其中：|Δh(ξh)|≤?h為估計(jì)誤差。

基于反演理論，將虛擬控制律γd設(shè)計(jì)為

(42)

同時(shí)

(43)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(44)

對(duì)式(44)求導(dǎo)可得

(45)

根據(jù)Yong不等式，有

(46)

又有不等式

(47)

因此

(48)

將式(42)、式(43)代入式(48)可得

(49)

定義航跡角誤差為

(50)

將式(50)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(51)

結(jié)合式(51)對(duì)式(36)求導(dǎo)可得

(52)

若假設(shè)μγ>μγ0>0，式(52)可以進(jìn)一步寫(xiě)成

(53)

(54)

其中：|Δγ(ξγ)|≤?γ為估計(jì)誤差。

基于反演理論，將虛擬控制律θd設(shè)計(jì)為

(55)

同時(shí)

(56)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(57)

對(duì)式(57)求導(dǎo)可得

(58)

與式(46)和式(47)類似可得

(59)

定義俯仰角誤差為

(60)

將式(60)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(61)

結(jié)合式(61)對(duì)式(37)求導(dǎo)可得

(62)

若假設(shè)μθ>μθ0>0，式(62)可以進(jìn)一步寫(xiě)成

(63)

(64)

其中：|Δθ(ξθ)|≤?θ為估計(jì)誤差。

基于反演理論，將虛擬控制律Qd設(shè)計(jì)為

(65)

同時(shí)

(66)

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(67)

對(duì)式(67)求導(dǎo)可得

(68)

與式(46)和式(47)類似可得

(69)

定義俯仰角速率誤差為

(70)

將式(70)求導(dǎo)并結(jié)合式(32)，得到

(71)

結(jié)合式(71)對(duì)式(38)求導(dǎo)可得

(72)

若假設(shè)μQ>μQ0>0，式(72)可以進(jìn)一步寫(xiě)成

(73)

(74)

其中：|ΔQ(ξQ)|≤?Q為估計(jì)誤差。

基于反演理論，將實(shí)際控制律δe設(shè)計(jì)為

(75)

同時(shí)

(76)

證明選取如下Lyapunov函數(shù)：

(77)

對(duì)式(77)求導(dǎo)可得

(78)

與式(46)和式(47)類似可得

(79)

注2RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有補(bǔ)償和逼近系統(tǒng)的不確定項(xiàng)的能力，這樣一來(lái)避免了虛擬控制量的重復(fù)求導(dǎo)問(wèn)題。在每一步設(shè)計(jì)控制律中，通過(guò)引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的估計(jì)值，使得只有一個(gè)參數(shù)需要在線更新，這樣簡(jiǎn)化了參數(shù)設(shè)計(jì)降低了計(jì)算量。同時(shí)考慮到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)性能是建立在緊集Ω上的，這里只能保證控制系統(tǒng)的局部穩(wěn)定。

應(yīng)用如下不等式：

(80)

將式(79)寫(xiě)成如下形式：

(81)

式中：

(82)

令ι=min{2ciμi,τiσi}，式(81)變?yōu)?/p>

(83)

則由式(83)可得

(84)

證畢

3 仿真與分析

針對(duì)高超聲速飛行器動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行速度與高度的閉環(huán)仿真實(shí)驗(yàn)。速度與高度參考輸入均由圖2所示的二階參考模型給出。該二階參考模型的傳遞函數(shù)為[26]

(85)

圖2 參考輸入二階模型結(jié)構(gòu)Fig.2 Second-order model structure of reference input

通過(guò)MATLAB/Simulink搭建控制系統(tǒng)，采用步長(zhǎng)為0.01 s的四階Runge-Kuta法驗(yàn)證本文控制方法的有效性。在保持動(dòng)壓q=90 148 Pa不變的前提下，要求巡航階段高超聲速飛行器在速度階躍100 m/s,高度階躍100 m作用下?？刂频哪康氖且笙到y(tǒng)輸出跟蹤給定的速度和高度參考指令并保證跟蹤誤差穩(wěn)定在給定的預(yù)設(shè)性能范圍內(nèi)。為了檢驗(yàn)控制律的魯棒性，假設(shè)高超聲速飛行器模型氣動(dòng)系數(shù)存在±40%的攝動(dòng)量，定義

表1 高超聲速飛行器的狀態(tài)初值Table 1 Hypersonic flight vehicle state initial value

(86)

式中：C0為高超聲速飛行器氣動(dòng)系數(shù)的標(biāo)稱值。

為了驗(yàn)證本文方法的優(yōu)越性，將其與文獻(xiàn)[27]中傳統(tǒng)反演控制方法進(jìn)行對(duì)比仿真，仿真結(jié)果如圖3～圖9所示。由圖3和圖4可見(jiàn)，速度與高度均能準(zhǔn)確跟蹤參考輸入，采用預(yù)設(shè)性能控制方法時(shí)的速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差均能夠被限定在預(yù)設(shè)的區(qū)域內(nèi)；與文獻(xiàn)[27]方法相比，本文方法能夠保證速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差具有較好的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；當(dāng)存在氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)時(shí)，本文方法的控制精度更高，也具有更強(qiáng)的魯棒性。圖5表明，2種控制方法的航跡角控制效果并無(wú)很大差別，但本文方法的航跡角響應(yīng)更平滑。雖然文獻(xiàn)[27]方法的俯仰角與俯仰角速率響應(yīng)更平滑，但采用本文方法時(shí)，這2個(gè)角度響應(yīng)沒(méi)有出現(xiàn)高頻抖振，并且本文方法能夠保證俯仰角以及俯仰角速率跟蹤誤差具有更好的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。由圖6～圖8可見(jiàn)，2種控制方法的彈性狀態(tài)與控制輸入均沒(méi)有高頻抖振現(xiàn)象。圖9表明，誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)εV(t)、εh(t)、εγ(t)、εθ(t)與εQ(t)均有界。

圖3 速度跟蹤響應(yīng)Fig.3 Velocity tracking performance response

圖4 高度跟蹤響應(yīng)Fig.4 Altitude tracking performance response

圖5 高度角曲線Fig.5 Curves of altitude angle

圖6 彈性狀態(tài)Fig.6 Flexible states

圖7 燃料-空氣比Fig.7 Fuel-to-air ratio

圖8 升降舵偏角Fig.8 Elevator declination

圖9 轉(zhuǎn)換誤差函數(shù)Fig.9 Conversion error function

4 結(jié) 論

針對(duì)高超聲速飛行器縱向動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了一種預(yù)設(shè)性能神經(jīng)反演控制方法。

1) 通過(guò)構(gòu)造預(yù)設(shè)性能函數(shù)，使得速度跟蹤誤差和高度跟蹤誤差能夠同時(shí)滿足預(yù)先設(shè)定的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度。

2) 為了保證系統(tǒng)具有足夠的魯棒性應(yīng)對(duì)參數(shù)及模型的不確定，在每個(gè)子系統(tǒng)反演控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中的未知非線性函數(shù)引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)，在對(duì)不確定項(xiàng)逼近的過(guò)程中僅有一個(gè)參數(shù)需要實(shí)時(shí)更新，既有效將控制精度提高，又順利避免了反演控制方法中的“微分膨脹問(wèn)題”，并降低了計(jì)算量。

3) 基于Lyapunov函數(shù)證明了所有閉環(huán)系統(tǒng)均是有界的。仿真結(jié)果表明，同現(xiàn)有的反演控制器相比，本文所設(shè)計(jì)的控制方法可以很好地實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，滿足預(yù)設(shè)性能且對(duì)未知的隨機(jī)擾動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性。