文 圖/令狐若明

莫斯科紙草

古 埃及人的數(shù)學(xué)成就十分引人注目。從保留下來(lái)的紙草文獻(xiàn)中，我們可以了解到古埃及人的數(shù)學(xué)知識(shí)主要包括算術(shù)、代數(shù)和幾何三個(gè)方面。

重要的數(shù)學(xué)紙草文獻(xiàn)

“10 個(gè)人分10 份大麥，怎樣才能使每個(gè)人都比他旁邊的人多1/8？”

這是古埃及數(shù)學(xué)中的一道有趣的代數(shù)題。古埃及的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中有許多這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題及解答，流傳至今。從保留下來(lái)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，我們知道古埃及人積累了相當(dāng)豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)。每年尼羅河泛濫后重新丈量與分配土地、修鑿運(yùn)河、計(jì)算收成和勞工與軍隊(duì)的給養(yǎng)以及進(jìn)行復(fù)雜的天文記錄等方面的需要，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

現(xiàn)存的古埃及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)并不太多，總共有50 篇左右，主要來(lái)自中王國(guó)時(shí)期的兩部紙草文獻(xiàn)：《莫斯科紙草》（Moscow Papyrus）和《萊茵德紙草》（Rhind Papyrus）。另外，還有一些較晚期的零散文獻(xiàn)。

《莫斯科紙草》成書(shū)于公元前1700 年前后，這部紙草卷1893 年為俄國(guó)學(xué)者郭列尼舍夫所獲，并曾做過(guò)認(rèn)真研究，1912 年歸莫斯科博物館所有，故稱《莫斯科紙草》。這部紙草長(zhǎng)544 厘米，寬8 厘米，內(nèi)容主要是數(shù)學(xué)問(wèn)題和解答，共收有25 題。其中一道算術(shù)題，是計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)和截頭角錐體的體積（即截頭金字塔體積），這樣的算題在其他古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中是沒(méi)有的。

《萊茵德紙草》也成書(shū)于公元前1700年左右，為?？怂魉谷耍℉yksos）統(tǒng)治時(shí)代的紙草文獻(xiàn)，1858 年被英國(guó)收藏家亨利·萊茵德發(fā)現(xiàn)，故名《萊茵德紙草》，現(xiàn)存于大英博物館?！度R茵德紙草》又叫《阿赫美斯紙草》（Ahmes Papyrus），因這部紙草的作者名叫阿赫美斯。《萊茵德紙草》與《莫斯科紙草》相差無(wú)幾，是一部長(zhǎng)544 厘米的長(zhǎng)條紙草卷，作者阿赫美斯是古埃及政府的一個(gè)書(shū)吏。這部紙草收有85 個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題和解答，內(nèi)容涉及財(cái)政支付等問(wèn)題，并帶有標(biāo)題。標(biāo)題中，阿赫美斯寫(xiě)道：“獲知一切奧秘的指南?！薄度R茵德紙草》的算題是從分?jǐn)?shù)開(kāi)始的，并在全部例題中都采用了分?jǐn)?shù)，因此，它可能是一部關(guān)于分?jǐn)?shù)的論著。

萊茵德紙草

希克索斯人

保存下來(lái)的其他古代埃及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，所闡述的計(jì)算法則與《莫斯科紙草》和《萊茵德紙草》的記載大致相同，但他們的學(xué)術(shù)價(jià)值遠(yuǎn)不及上述兩種文獻(xiàn)。

?？怂魉谷?古埃及進(jìn)入第二中間期（第13—17 王朝，約公元前1786—前1567 年）以后，統(tǒng)一王國(guó)分裂，來(lái)自迦南的?？怂魉谷艘园⑼呃梗ˋvaris）為中心建立了自己的王朝，這是埃及歷史上第一個(gè)外族政權(quán)。?？怂魉谷嗽诎＜暗慕y(tǒng)治是自身在政治、經(jīng)濟(jì)和文化等各方面埃及化的過(guò)程。從某種角度講，?？怂魉谷说慕y(tǒng)治是對(duì)埃及文化的繼承和發(fā)展。

有趣的算數(shù)

從《莫斯科紙草》和《萊茵德紙草》中可知古埃及人已采用十進(jìn)位計(jì)數(shù)法，他們有一套十進(jìn)位法的象形符號(hào)。數(shù)目的寫(xiě)法，從1 至10，以及100、1000、10000、100000、1000000均有不同的象形符號(hào)，惟獨(dú)沒(méi)有表示0 的符號(hào)。1 是用一豎表示，許多豎則表示個(gè)位數(shù)；一段繩子表示10；一卷繩子表示100；一朵蓮花表示1000；一個(gè)食指表示10000；一只蝌蚪表示100000，因?yàn)轵蝌侥艽罅糠敝?，取其眾多之意；高舉雙臂的神表示1000000。與眾不同的長(zhǎng)度單位是埃及數(shù)學(xué)形式的顯著特色。這些單位是手指、手掌、腳掌和手肘，古埃及數(shù)學(xué)家在這些單位之間規(guī)定了一定的相互關(guān)系。1 至1000000 之間的數(shù)，是根據(jù)排在一起的上述基本數(shù)學(xué)符號(hào)相加的原則組成。

這種書(shū)寫(xiě)數(shù)字的方法十分繁瑣，表達(dá)一個(gè)較大的數(shù)目就必須把相應(yīng)的數(shù)字符號(hào)多次重復(fù)加在一起。例如表示375，需要將一卷繩子的象形符號(hào)（百位數(shù)）重復(fù)寫(xiě)3 次，一段繩子的符號(hào)（十位數(shù)）重復(fù)寫(xiě)7 次，一豎的符號(hào)（個(gè)位數(shù)）重復(fù)寫(xiě)5 次。又如，142357 寫(xiě)作：

在算術(shù)的四則運(yùn)算中，古埃及人實(shí)際上只是通過(guò)加法來(lái)完成的，減法是倒數(shù)，乘法則是用加疊法步驟來(lái)進(jìn)行運(yùn)算的。在做乘法時(shí)，只是把乘數(shù)和被乘數(shù)一次次地相加，直到約數(shù)為止。以13×23 為例，其運(yùn)算式如下：

把左行的乘數(shù)從1 開(kāi)始加位下去，直到把乘數(shù)加到13 為止（把前面標(biāo)以“/”斜記號(hào)的數(shù)字1、4、8 加在一起，即1+4+8=13），然后把右行相對(duì)應(yīng)的被乘數(shù)加在一起（23+46 +184），得到的結(jié)果是299，即13×23=299。

除法運(yùn)算是乘法的逆運(yùn)算，以77÷7 為例，其運(yùn)算式如下：

十進(jìn)位的象形文字符號(hào)

古埃及十進(jìn)制計(jì)數(shù)法

將右行的除數(shù)7 加倍，在能把除數(shù)加到等于被除數(shù)77 時(shí)為止（7+14+56），然后在左行相對(duì)應(yīng)的數(shù)前標(biāo)為“/”記號(hào)，并把它們加在一起（1+2+8），得到的結(jié)果是11，即為商，所以77÷7=11。這樣看來(lái)，除法實(shí)際上也是利用加法來(lái)完成的，77 除以7 就是找出幾個(gè)7 相加等于77。由此可知，古埃及人使用的是簡(jiǎn)單的算術(shù)，而非比較高深的數(shù)學(xué)，并且他們使用的算術(shù)只限于加法和減法，乘法和除法實(shí)際上是利用加減來(lái)完成的。對(duì)古埃及人來(lái)說(shuō)，四則運(yùn)算都可以簡(jiǎn)化為計(jì)數(shù)形式，這種運(yùn)算方法雖然比較緩慢，寫(xiě)起來(lái)很不方便，但無(wú)須記憶，運(yùn)算起來(lái)還是很簡(jiǎn)單的。

古埃及人很早就有了計(jì)算分?jǐn)?shù)的方法，但比較復(fù)雜。在除法運(yùn)算中，如果被除數(shù)除不盡，就得使用分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)的運(yùn)算也是利用加疊法進(jìn)行的。古埃及人的分?jǐn)?shù)，除2/3 外，再也沒(méi)有分?jǐn)?shù)的分子大于1，即其他所有的分?jǐn)?shù)都是以1為分子，以整數(shù)為分母，即“單位分?jǐn)?shù)”（后人稱之為“埃及分?jǐn)?shù)”）。在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，把所有的分?jǐn)?shù)都拆成“單位分?jǐn)?shù)”（即分子為1 的分?jǐn)?shù)），再取和求出。表示分?jǐn)?shù)的符號(hào)是在解決有關(guān)食物和其他物品的分配時(shí)產(chǎn)生的。埃及的單位分?jǐn)?shù)有1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64；每個(gè)分?jǐn)?shù)都有自己的名稱，他們的分?jǐn)?shù)符號(hào)來(lái)源于荷魯斯（Horus）與塞特（Seth）的神話傳說(shuō)。荷魯斯是遠(yuǎn)古時(shí)代埃及賢明國(guó)王奧西里斯（Osiris）的兒子，奧西里斯在位時(shí)教民耕種，深受埃及百姓擁戴。但卻被他陰險(xiǎn)殘暴的兄弟塞特設(shè)毒計(jì)殺害了，并遭碎尸。奧西里斯的妻子伊西絲（Isis）歷經(jīng)千辛萬(wàn)苦，收攏丈夫的碎尸并在其側(cè)感應(yīng)懷孕，生子荷魯斯。荷魯斯長(zhǎng)大成人后為父報(bào)仇，打敗塞特。最后，經(jīng)孟菲斯城的普塔（Ptah）神召集九神會(huì)裁決，使奧西里斯復(fù)活，成為陰間國(guó)王，主持審判死者靈魂；荷魯斯則被加冕為上下埃及之王。傳說(shuō)荷魯斯的形象為鷹頭人身，他的左眼是月亮，右眼是太陽(yáng)。荷魯斯與塞特之間曾發(fā)生過(guò)一場(chǎng)激烈而殘酷的搏斗，在混戰(zhàn)中，荷魯斯被塞特挖掉了左眼，撕成了許多碎片，因此月亮有盈虧。

上述分?jǐn)?shù)的名稱就用荷魯斯眼睛的各個(gè)部分表示的，象征完滿或完整，如眉毛表示1/8，眼珠表示1/4，左眼的一部分各自代表1/2 和1/16。有趣的是，這些碎片加起來(lái)只有63/64，被撕得粉碎的那1/64 部分是由埃及智慧之神托特施展魔法后填補(bǔ)的。

用荷魯斯眼睛表示的埃及分?jǐn)?shù)

古埃及人只用單位分?jǐn)?shù)，也就是只用1 作為分子的分?jǐn)?shù)。埃及的單位分?jǐn)?shù)，分子1 是用嘴的象形符號(hào)代表的，通常寫(xiě)在整數(shù)的上面，分子的下面是用數(shù)學(xué)符號(hào)書(shū)寫(xiě)的整數(shù)分母，表示它是個(gè)分?jǐn)?shù)。在象形文字寫(xiě)法中，少數(shù)幾個(gè)分?jǐn)?shù)用特殊記號(hào)表示，例如o（眼珠）表示1/4。除了少數(shù)幾個(gè)特殊分?jǐn)?shù)外，所有分?jǐn)?shù)都拆成一些單位分?jǐn)?shù)。他們需要表示分?jǐn)?shù)時(shí)，總是要把它們化為單位分?jǐn)?shù)之和，表達(dá)成分子為1 的分?jǐn)?shù)之和。例如，古埃及人把2/5 寫(xiě)成1/3+1/15；我們今用3/4 和7/8 表達(dá)的分?jǐn)?shù)，古埃及人則分別寫(xiě)成1/2+1/4 和1/2+1/4+1/8。

古代埃及的紙草書(shū)上記錄著許多這樣的分?jǐn)?shù)運(yùn)算例子。專門從事計(jì)算工作的古埃及書(shū)吏在運(yùn)算之末加上一句套語(yǔ)：“正是如此”，就相當(dāng)于我們現(xiàn)在的“證畢”。由于我們不熟悉古埃及人表達(dá)分?jǐn)?shù)的方法，所以感到很麻煩，但對(duì)古埃及的書(shū)吏來(lái)說(shuō)并不困難，因?yàn)樗麄円呀?jīng)熟悉并有實(shí)效地掌握了這種運(yùn)算方法。

從整體上來(lái)說(shuō)，古代埃及的這種單位分?jǐn)?shù)的表示形式是復(fù)雜的，運(yùn)算起來(lái)繁瑣而冗長(zhǎng)，因此限制了古代埃及數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

實(shí)用的代數(shù)和幾何

許多保存下來(lái)的數(shù)學(xué)演算習(xí)題的紙草證明，古代埃及已經(jīng)有代數(shù)的萌芽，如《萊茵德紙草》卷中的一道題：“一個(gè)數(shù)（古埃及人稱未知數(shù)為“堆”），它的2/3，它的1/2，它的1/7，它的全部，加起來(lái)共為33，求這個(gè)數(shù)。”這道題相當(dāng)于我們現(xiàn)在的一個(gè)一元一次方程，不過(guò)古埃及人用簡(jiǎn)單的算術(shù)就可以解出。

上述例題中的未知數(shù)，古埃及人稱之為“堆”，就是“一堆”的意思，顯然跟計(jì)算糧食有關(guān)。從這一點(diǎn)可以看出，他們習(xí)慣于進(jìn)行具體思維，如他們表示“未知數(shù)量的谷物”，就用“一堆谷物”來(lái)代表。這說(shuō)明古埃及在代數(shù)方面已掌握了某些基本的知識(shí)，同時(shí)他們知道如何計(jì)算土地的面積。從保存下來(lái)的其他數(shù)學(xué)紙草文獻(xiàn)中，我們還可以了解到，古埃及人已會(huì)解一元二次方程。不過(guò)，他們是用純粹算術(shù)方法求解的，只用文字說(shuō)出題解的步驟，說(shuō)明其理由。

幾何可以說(shuō)是古代埃及人發(fā)明的。由于他們必須計(jì)算尼羅河每年因泛濫而流失或增加的土地面積，預(yù)算谷倉(cāng)存糧或建筑項(xiàng)目所需磚塊數(shù)目，因此他們?cè)趯?shí)用的需要中發(fā)明了幾何學(xué)?！皫缀螌W(xué)”（geometry）一詞的原意就是“土地測(cè)量”。中王國(guó)時(shí)期，埃及人在幾何學(xué)上的成就十分突出，特別是計(jì)算圓面積的方法，即直徑減去它的1/9 然后使得數(shù)自乘便得出圓面積，這就等于取π 為3.1605，粗略地接近了后代人所算出的比較精確的圓周率（現(xiàn)通常采用的圓周率近似值是3.1416）。古埃及人基本的面積單位是斯塔特（1 斯塔特=2735 平方米）。在計(jì)算體積方面，古埃及人在長(zhǎng)期的實(shí)踐中掌握了圓柱體積等于底面積乘以高的計(jì)算方法；在建造金字塔的過(guò)程中，他們還學(xué)會(huì)了計(jì)算角錐體或截頭角錐體體積的計(jì)算方法?！赌箍萍埐荨分械睦}14 敘述了一個(gè)下底邊長(zhǎng)為4，上底邊長(zhǎng)為2，高為6 的正方形角錐體的體積計(jì)算方法，清楚地表明古埃及人已懂得我們今天幾何學(xué)里的求積公式所表達(dá)的方法，不過(guò)他們的法則不是用公式表示，而是用文字來(lái)敘述計(jì)算方法和過(guò)程，其解題步驟是這樣表述的：“若有人告訴你說(shuō)，有截棱錐，高為6，底為4，頂為2，你就要取這4 的平方，得結(jié)果為16；你要把它加倍，得結(jié)果8；你要取2 的平方，得4；你要把16、8和4 加起來(lái)，得28；你要取6 的1/3，得2；你要取28 的兩倍，得56。你看，它等于56，你可以知道它是對(duì)的?！边@一解題步驟基本上同我們?cè)谔坠竭M(jìn)行計(jì)算時(shí)的做法是一樣的。古埃及人甚至還可能懂得計(jì)算半球的體積。

古埃及人的幾何知識(shí)主要帶有實(shí)用性質(zhì)，并被廣泛運(yùn)用于土地測(cè)量。例如，尼羅河每年泛濫往往淹沒(méi)原有的耕地面積，田地的界限在泛濫時(shí)受到破壞，而王室對(duì)全國(guó)各地所征收的稅賦又以土地面積為依據(jù)，這意味著每年必須對(duì)全國(guó)土地進(jìn)行重新測(cè)量，否則無(wú)以確定準(zhǔn)確的稅收量。土地測(cè)量人員就用幾何方法丈量土地，重新劃定地界。還有戰(zhàn)亂期間，地方各州的疆界混亂，引起糾紛。據(jù)有關(guān)銘文記載，第12 王朝（約公元前1991—前1786 年）開(kāi)國(guó)君主阿美涅姆赫特一世（Amenemhat，約公元前1991—前1962 年）即位后曾巡行全國(guó)，分疆劃土，整理賦稅，派人員擔(dān)任奧里克斯州的州長(zhǎng)，重新劃定此州與相鄰兩州的疆界，使其不再相互爭(zhēng)奪。公元前5 世紀(jì)，希臘歷史家希羅多德（Herodotos，約公元前484 —前425 年）曾周游埃及全境，在他所著的《歷史》第2 卷中有關(guān)于古代埃及幾何學(xué)產(chǎn)生的描述：“塞索斯特里斯在全體埃及居民中把埃及的土地作了一次劃分。他把同樣大小的正方形的土地分配給所有的人，而要土地持有者每年向他交納租金，作為他主要的收入。如果河水沖跑了一個(gè)人分得的土地的任何一部分，這個(gè)人就可以到國(guó)王那里去把發(fā)生的事情報(bào)告給他；于是國(guó)王便派人前來(lái)調(diào)查并測(cè)量損失地段的面積；這樣今后他的租金就要按著減少后的土地的面積來(lái)征收了。我想，正是有了這樣的做法，埃及才第一次有了量地法，而希臘人又從那里學(xué)到了它?！毕Ａ_多德的記述在許多保存下來(lái)的古埃及墓室壁畫(huà)上得到了印證，這些壁畫(huà)中，其中就有測(cè)量人員檢查土地界石是否有移動(dòng)和更改，并且用帶結(jié)的特別丈量小繩進(jìn)行土地測(cè)量的場(chǎng)面。新王國(guó)時(shí)期，由于積累了豐富的幾何學(xué)知識(shí)，測(cè)量技術(shù)有了新的發(fā)展。這一時(shí)期底比斯貴族墳?zāi)沟谋诋?huà)，就有許多表現(xiàn)國(guó)家官員對(duì)田地進(jìn)行測(cè)量登記的場(chǎng)面，這種測(cè)量不僅重新清查農(nóng)民耕種的田畝面積，而且也是國(guó)家決定征收賦稅和地租的依據(jù)。

阿美涅姆赫特一世

希羅多德

《歷史》 古希臘歷史學(xué)家希羅多德著，共九卷，以記載希波戰(zhàn)爭(zhēng)（古希臘諸城邦反抗波斯侵略的戰(zhàn)爭(zhēng)，公元前500 年米利都人掀起的反波斯起義，成為戰(zhàn)爭(zhēng)的起點(diǎn)）為主，止于公元前479 年；也以大量篇幅敘述希臘、波斯、埃及與西亞各國(guó)的地理、歷史和風(fēng)俗習(xí)慣。內(nèi)容較豐富，描寫(xiě)亦生動(dòng)，為研究世界古代史的主要材料；但亦雜有許多神話傳說(shuō)和道聽(tīng)途說(shuō)的故事，不可盡信。

胡夫大金字塔

胡夫大金字塔，位于開(kāi)羅西南約10 公里的吉薩高地，又稱吉薩大金字塔。這座金字塔是埃及歷史上古王國(guó)時(shí)期（第3—6 王朝，約公元前2686—前2181 年）第四王朝（約公元前2613—前2498 年）的法老胡夫的金字塔，也是世界上最大、最高的埃及金字塔。塔高146.59 米，因年久風(fēng)化，頂端剝落了大約10 米左右，現(xiàn)高136.5 米。胡夫大金字塔約由230 萬(wàn)塊石塊砌成，平均每塊重2.5 噸。被譽(yù)為“世界古代七大奇跡”之一 。

古埃及人的數(shù)學(xué)，產(chǎn)生于生活和生產(chǎn)實(shí)踐，又廣泛應(yīng)用于生活和生產(chǎn)實(shí)踐。他們計(jì)算賦稅、丈量土地、測(cè)量距離、計(jì)算時(shí)間，并沒(méi)有使用高深的抽象數(shù)學(xué)理論，而只是運(yùn)用簡(jiǎn)單的算術(shù)，以具體圖形提供實(shí)際的解決辦法。盡管計(jì)算方法十分原始，數(shù)字寫(xiě)法十分繁瑣，他們照樣能計(jì)算出三角形、長(zhǎng)方形、梯形和圓的面積，以及各種幾何圖形的體積。在建造金字塔和神廟這類建筑活動(dòng)中，古埃及人顯然必須依靠相當(dāng)精確的數(shù)學(xué)計(jì)算，否則是不會(huì)成功的。尤其是建造金字塔所需精確的巨石數(shù)目，最能證明古埃及人的數(shù)學(xué)成就。屹立在尼羅河畔的胡夫大金字塔，不僅外觀宏大，而且角度、面積、土石壓力都經(jīng)過(guò)了事先周密的計(jì)算。按現(xiàn)代技術(shù)測(cè)定，其東南角與西北角的高度誤差僅1.27 厘米，如此龐大的建筑工程計(jì)算得這么準(zhǔn)確，在現(xiàn)代建筑史上也算是高水平的。

作為一個(gè)講求實(shí)際的民族，古埃及人之所以對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生興趣，僅僅是因?yàn)閿?shù)學(xué)有實(shí)際用途，他們只求能夠解決實(shí)際的問(wèn)題，而并非基于任何抽象原理，他們對(duì)數(shù)學(xué)并沒(méi)有理論上的興趣?？梢哉f(shuō)，實(shí)用性是古埃及人數(shù)學(xué)知識(shí)的基本特點(diǎn)。他們所使用的方法極其原始，因此他們的成就更顯得輝煌。這些成就是他們長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的積累，雖然缺乏概括的演繹推理，古埃及人沒(méi)有形成一套嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論體系，但是他們?cè)趹?yīng)用數(shù)學(xué)方面成就顯著，貢獻(xiàn)甚大。古埃及人在長(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中積累了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，并以其高度發(fā)展的數(shù)學(xué)成就，對(duì)人類作出了重要貢獻(xiàn)。