王雷?趙蓉?王磊

摘要：對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不能膚淺的認(rèn)識(shí)它，要深層次地挖掘它。這樣有利益拓展學(xué)生的思維，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，下面就對(duì)等差數(shù)列中的一個(gè)定理進(jìn)行證明和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：等差數(shù)列；證明；定理；分析

等差數(shù)列由于其內(nèi)容的豐富性，公式的整合、變形的多樣性，所以它的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是每年高考必考的內(nèi)容之一。其實(shí)等差數(shù)列還能與不等式聯(lián)系在一起，使得等差數(shù)列的應(yīng)用更加廣泛。

這里給出等差數(shù)列的一個(gè)定理：數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列，對(duì)任意的k∈N，有≥ak+2 = （k + 1）a2 - ka1，當(dāng)且僅當(dāng)ak = ak+1時(shí)等號(hào)成立。

證明：對(duì)于正項(xiàng)等差數(shù)列{an}，若公差為d，則有

（a1 + kb）2≥（a1 + kd）2 - d2（a1 + kd）2≥[a1 + （k - 1）d][a1 + （k + 1）d]

所以 對(duì)任意的k∈N，有≤≤≤…≤≤，

即≤，≤，≤，…，≤.

將以上k個(gè)不等式相乘： ··· … ·≤， 即 ≤，

所以≥ak+2=a1 + （k + 1）d=a1 + （k + 1）（a2 - a1）=（k + 1）a2 - ka1

從該定理不難看出以下兩方面結(jié)論：

（1）雖然該定理是等差數(shù)列的定理之一，但對(duì)于任意正數(shù)a、b均有

（k∈N）.這樣定理的使用范圍很廣，在大量的問(wèn)題中得到應(yīng)用。

（2）它將正數(shù)a、b的高次冪轉(zhuǎn)化成了a、b的一次冪，完成了降冪的過(guò)程。

下面通過(guò)兩個(gè)例題分別加以說(shuō)明：

例1 已知，求sin10θ+cos10θ的最小值。

分析：該題有多種解法，比較典型有數(shù)形結(jié)合的方法或從函數(shù)單調(diào)性去判斷，即時(shí)，sin10θ+cos10θ有最小值.我們這里從等差數(shù)列的定理去分析，將sinθ和cosθ的10次方降為2次方，再利用sin2θ + cos2θ = 1求得。

解 ，則sinθ、cosθ∈R+，設(shè)sin10θ + cos10θ = M 4，則由定理得

1=≥（5sin2θ - 4M） + （5cos2θ - 4M）

=5（sin2θ + cos2θ）-8M=5 - 8M.

所以 8M≥4，M≥，M 4≥.故（sin10θ + cos10θ）min=.

將該題進(jìn)一步拓展，例如：設(shè)正數(shù)a、b，且有a + b = m，求an + bn的最小值.這里m和n可以任取，因而，我們用同樣的方法解決了一系列問(wèn)題。

例2 已知x1， x2，…， xn∈R+，求證≥x1 + x2 + … + xn.

分析：定理中令k = 1，則有≥a3 = 2a2 - a1，顯然與所證不等式驚人的相似。

證明：≥≥≥2xn - x1，

將以上n個(gè)不等式相加，得

≥2（x1 + x2 + … + xn）-（x1 + x2 + … + xn）=x1 + x2 + … + xn.

該題也可以進(jìn)一步拓展，例如：已知x1， x2，…， xn∈R+，求證≥k （x1 + x2 + … + xn），當(dāng)k取不同的值也能得到不同的問(wèn)題。

綜上可知，一個(gè)關(guān)于等差數(shù)列的定理和它的解題方法可以幫助應(yīng)對(duì)多種類(lèi)型的問(wèn)題，以不變應(yīng)萬(wàn)變，極大地提高了學(xué)習(xí)的有效性。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 敬加義.等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中），2001（03）.

（作者單位：遼寧省大連市空軍通信士官學(xué)校數(shù)學(xué)教研室）