劉維

1 問題描述

人民教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書九年級(jí)下冊(cè)二次函數(shù)（實(shí)際問題與二次函數(shù)）中有這樣一個(gè)問題：某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件.市場(chǎng)調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件；已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？

2 問題解決的過程

2.1 回味無窮

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的性質(zhì)

頂點(diǎn)式，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式：

對(duì)稱軸：直線

頂點(diǎn)坐標(biāo)：

利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià).

總利潤=每件利潤×銷售數(shù)量.

2.2 問題引入

活動(dòng)1

1. 求下列函數(shù)的最大值或最小值.

⑴ y = x2 + 2x - 3； ⑵ y=-x2 + 4x

2、圖中所示的二次函數(shù)圖像的解析式為：

y = 2x2 + 8x + 13

⑴若-3≤x≤3，該函數(shù)的最大值、最小值分別為

（ 55 ）、（ 5 ）。

⑵又若0≤x≤3，該函數(shù)的最大值、

最小值分別為（ 55 ）、（ 13 ）。

注意：求函數(shù)的最值問題，應(yīng)注意什么？

活動(dòng)2

某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)

價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大？請(qǐng)大家?guī)е韵聨讉€(gè)問題讀題

（1）題目中有幾種調(diào)整價(jià)格的方法？

（2）題目涉及到哪些變量？哪一個(gè)量是自變量？哪些量隨之發(fā)生了變化？

概括：構(gòu)建二次函數(shù)模型解決 一些實(shí)際問題

分析： 某商品價(jià)格調(diào)整，銷量會(huì)隨之變化。調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)與降價(jià)兩種情況。一般來講，商品價(jià)格上漲，銷量會(huì)隨之下降；商品價(jià)格下降，銷量會(huì)隨之增加。這兩種情況都會(huì)導(dǎo)致利潤的變化。如何定價(jià)才能使利潤最大呢？

先來看漲價(jià)的情況：⑴設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤y也隨之變化，我們先來確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。漲價(jià)x元時(shí)則每星期少賣 10x 件，實(shí)際賣出 （300-10x） 件，銷額為 （60+x）（300-10x） 元，買進(jìn)商品需付 40（300-10x） 元因此，所得利潤為 y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x） 元

即：y = -10x2 + 100x + 6000（0≤X≤30）

當(dāng)x = 5 時(shí)，y最大，也就是說，在漲價(jià)的情況下，漲價(jià) 5 元，即定價(jià) 65 元時(shí)，利潤最大，最大利潤是 6250 .

可以看出，這個(gè)函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)，也就是說當(dāng)x取頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).

在降價(jià)的情況下，最大利潤是多少？請(qǐng)你參考（1）的過程得出答案。

答：定價(jià)為元時(shí)，利潤最大，最大利潤為6050元

由（1）（2）的討論及現(xiàn)在的銷售情況，你知道應(yīng)該如何定價(jià)能使利潤最大了嗎？

2.3 解題方法歸納

（1）根據(jù)實(shí)際問題，構(gòu)建二次函數(shù)模型，即將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的一個(gè)具體的表達(dá)式.

（2）運(yùn)用二次函數(shù)及其性質(zhì)求二次函數(shù)的最大（或最小值）

解題思想歸納

（1）建模思想：根據(jù)題意構(gòu)造二次函數(shù)

（2）數(shù)形結(jié)合思想：根據(jù)圖象特征來解決問題

2.4 歸納小結(jié)

運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題的最大值和最小值的一般步驟 ：

（1）求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍

（2）配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值

（3）檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) 。

2.5 布置作業(yè)

課時(shí)訓(xùn)練P21-22

3 課堂教學(xué)建模

上面這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)后，進(jìn)一步應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的（通問過對(duì)實(shí)際問題的分析，把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題）一節(jié)應(yīng)用課.主要內(nèi)容包括：生活中利潤問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決，通過實(shí)際問題的解決，并對(duì)解決方法進(jìn)行反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)；掌握數(shù)學(xué)建模思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

二次函數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決生活實(shí)際問題是數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的體現(xiàn).本節(jié)課的設(shè)計(jì)就是從現(xiàn)實(shí)生活入手，通過對(duì)圖形的理解和分析，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在解題的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力.

隨著課改的深入開展，實(shí)際情景問題應(yīng)運(yùn)而生，并迅速發(fā)展成為命題的亮點(diǎn)、熱點(diǎn)。實(shí)際情景問題是復(fù)雜多變的，它貼近生活，為學(xué)生所熟悉，且以一定的知識(shí)為依托。情景設(shè)置的取材廣泛，有社會(huì)熱點(diǎn)問題，如環(huán)保、納稅、經(jīng)濟(jì)、合理用料等，使問題富有時(shí)代氣息；也有日常生活中常見的問題，如購物、統(tǒng)計(jì)、幾何圖形的計(jì)算等。解決實(shí)際情景問題的關(guān)鍵是"轉(zhuǎn)化"，即將實(shí)際情景問題"數(shù)學(xué)化"，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)去建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（即數(shù)學(xué)建模），進(jìn)而解決問題。所謂數(shù)學(xué)建模就是把所要研究的實(shí)際問題，通過數(shù)學(xué)抽象構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)模型的研究，使原問題獲得解決的過程。

其基本思路是：

4 課堂教學(xué)建模的思考

由于社會(huì)的發(fā)展，必須培養(yǎng)學(xué)生具有從實(shí)際問題中獲取信息，建立數(shù)學(xué)模型，分析問題與解決問題的基本能力。而中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)等都是反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，因而在一定程度上，可以說數(shù)學(xué)建模就是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，應(yīng)該把視野更開闊些，以這樣的觀念處理具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容。如對(duì)于方程，按新課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的教材沒有按照原有的習(xí)慣分類，一個(gè)個(gè)討論工程問題、行程問題、濃度問題等，而是緊扣數(shù)學(xué)建模，努力讓學(xué)生學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中獲取信息，建立數(shù)學(xué)模型，分析問題與解決問題，實(shí)際上，一種數(shù)學(xué)模型也不可能是某一種問題所特有的。對(duì)于函數(shù)內(nèi)容的處理同樣如此，從實(shí)際問題出發(fā)，引入函數(shù)模型，研究函數(shù)性質(zhì)，又回到實(shí)際中去。因此必須努力縮短數(shù)學(xué)課程與現(xiàn)代社會(huì)的距離，與學(xué)生的距離，與學(xué)生生活實(shí)際的距離，與學(xué)生終身需求的距離。作為初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用性問題教學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用性問題教學(xué)，全面落實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)？面向所有的學(xué)生，讓所有的學(xué)生獲得更多可以廣泛應(yīng)用、與現(xiàn)實(shí)世界及其他學(xué)科密切相關(guān)的數(shù)學(xué)！讓所有的學(xué)生學(xué)到有價(jià)值的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)！讓所有的學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，并積極地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)行自主探索！

（作者單位：四川省南部縣流馬鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）