蔣 凱 錢云祥

(1.蘇州胥江實驗中學(xué) 215004； 2.無錫市蠡園中學(xué) 214072)

數(shù)學(xué)解題，解法往往千變?nèi)f化．也就是說，一道試題，也許存在許多種不同的解法．這些解法究竟都是怎么想到的呢？也許是經(jīng)驗，也許是感覺，也許是運(yùn)氣．筆者認(rèn)為，經(jīng)驗需要實踐來積淀，感覺其實就是經(jīng)驗的一種看似有點模糊的成功體現(xiàn)，而運(yùn)氣則需要感覺作支撐．在對問題的解法進(jìn)行探究之時，往往法隨心動，心由境生，即法是偶然的，心是自由的，境是客觀存在的．面對實際的數(shù)學(xué)問題，解題者即時產(chǎn)生的靈光一現(xiàn)，常常就能形成一種解法．而這些即時性的想法，往往又帶有一定的偶然性，故而也就出現(xiàn)了一題多解．在日常教學(xué)中，無論是對于教師，還是對于學(xué)生，對問題的研究，其實毫無必要陷入題海，對一兩個問題的深度研究，往往即可形成與積淀有效的解題經(jīng)驗.

試題呈現(xiàn)

如圖1，二次函數(shù)y=mx2-4mx+2m+1的圖像與x軸交于A(x1，0)、B(x2，0)兩點，與y軸交于點C，且x2-x1=2.

圖1

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若E為這個二次函數(shù)的圖像上一點，且∠EAB=2∠OCA，求點E的坐標(biāo).

問題初探

第(1)小題思路較為簡單：不難確定二次函數(shù)y=mx2-4mx+2m+1的圖像的對稱軸為直線x=2．由題意知，這個二次函數(shù)的圖像與x軸的兩個交點之間的距離AB=2，故A(1，0)、B(3，0).把x=1，y=0代入y=mx2-4mx+2m+1可得m=1．所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x+3.

在對第(2)小題分析時，顯然，C(0，3)．結(jié)合A(1，0)，可知OA

法隨心動

分析問題，可以看出，解題的突破點在于對點E所滿足的條件“∠EAB=2∠OCA”的信息挖掘與利用．顯然，圖中不存在現(xiàn)成的角，使得其大小恰為2∠OCA，故需考慮構(gòu)造，然后在此基礎(chǔ)上確定點E的坐標(biāo)．怎樣構(gòu)造？需放飛思緒，不同的想法產(chǎn)生不同的解法.

思路1如圖2，可以作出點O關(guān)于直線AC的對稱點M并求出其坐標(biāo)，然后連接AM并延長交二次函數(shù)的圖像于點E，則點E滿足∠EAB=180°-∠OAM=180°-2∠OAC=2(90°-∠OAC)=2∠OCA．事實上，這種思路的出發(fā)點就是考慮構(gòu)造∠OCM=2∠OCA，再構(gòu)造∠EAB=∠OCM，故∠EAB=2∠OCA．此外，設(shè)點M關(guān)于x軸的對稱點為M′，不難求出直線AM′與二次函數(shù)的圖像的另一點E′的坐標(biāo)，若點E′在點A的右側(cè)，則符合題意，否則第四象限內(nèi)的函數(shù)圖像上就不存在符合題意的點.

圖2

思路2如圖3，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接CA′，則∠ACA′=2∠OCA．接下來只要構(gòu)造∠EAB，使其等于∠ACA′．具體怎么構(gòu)造？似乎有點難度．考慮到確定點的坐標(biāo)一般要構(gòu)造直角三角形，所以可以設(shè)法構(gòu)造一對相似的直角三角形：如圖4，過點A′作A′N⊥AC于點N(構(gòu)造Rt△A′CN)．設(shè)第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖像上的一點E符合條件，連接AE，過點E作EF⊥x軸于點F(構(gòu)造Rt△EAF)，易證△A′CN∽△EAF，然后根據(jù)“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”可求出點E的坐標(biāo)……同樣地，也可利用構(gòu)造一對相似的直角三角形求出第四象限內(nèi)滿足條件的點E′的坐標(biāo)，或者，利用對稱性先求出直線AE關(guān)于x軸的對稱直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，再聯(lián)立方程組從而求出點E′的坐標(biāo).

圖3

圖4

圖5

比較上述幾種思路，我們可以發(fā)現(xiàn)，思路1與思路2都是在∠OCA的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個角，使其等于2∠OCA，而思路3則是先構(gòu)造∠PAB=∠OCA，然后在∠PAB的基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)構(gòu)造……最終殊途同歸.

上述三種思路的共同之處，都是通過“翻折”構(gòu)造二倍角．那么，除了“翻折”之外，還有沒有其他常見的構(gòu)造二倍角的方法呢？

思路4如圖6，取AC的中點M，連接OM，由于∠AOC=90°，故OM=CM，∠MOC=∠MCO，所以∠OMA=∠MOC+∠MCO=2∠OCA．接下來只要構(gòu)造∠EAB，使其等于∠OMA．如圖7構(gòu)造一對相似的直角三角形，具體解法與思路2類似．限于篇幅，不再贅述.

圖6

圖7

圖8

……

圖9

不同的念頭，產(chǎn)生不同的解法．當(dāng)然，對于問題的解法探究，作為教師，在實際教學(xué)中毫無必要無休無止地一味追求解法的多樣性；同樣地，作為學(xué)生，在學(xué)習(xí)過程中也沒有必要對每一道題目都想法設(shè)法采用不同的方法去分析、解決．但是，我們知道，不同的學(xué)生，其思維習(xí)慣與思維品質(zhì)是有差異的．其中，有些是有優(yōu)劣之分，但也有很大比例其實并無優(yōu)劣之分．換句話說，有些解法的差異取決于學(xué)生的思維品質(zhì)差異，而有些差異則取決于學(xué)生的即時心理反應(yīng)．之所以說法隨心動，正是因為心之所向，身之所往．也就是說，在數(shù)學(xué)解題的實踐中，有了內(nèi)心的想法與向往，行動自然也就有了或模糊或清晰的方向．所以說，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)思維，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能讓人變得越來越聰明．在對上面問題的分析與解答中，不同的思路就源自于不同的心理活動．事實上，上述不同思路，正是筆者的一次真實課堂教學(xué)實錄．課堂上，學(xué)生盡情地表達(dá)自己的真實想法，盡情地流淌出即時的思維火花……

心由境生

法隨心動，那么心又如何動呢？我們知道，數(shù)學(xué)問題的解法探究講究自然生成．在解題的過程中，當(dāng)面對問題情境時，不同的學(xué)生，其視角是不同的，相應(yīng)的想法自然也就不同了．此外，不同的學(xué)生，其已有知識儲備水平尤其是解題經(jīng)驗的積淀基礎(chǔ)是不一樣的，這樣就造成了他們審題之后頭腦中即時形成的解題計劃會有明顯的差別．所以說，法隨心動，心由境生．從某種程度上講，解法的形成既是自然生成的，也是講緣分的.

我們不妨再回到上述問題的不同解題思路上來進(jìn)行分析：思路1和思路2，這兩種想法的出發(fā)點，都是基于∠OCA，通過翻折構(gòu)造2∠OCA．而思路3則先將∠OAC轉(zhuǎn)換成∠PAB，然后基于∠PAB通過翻折構(gòu)造2∠PAB．孰優(yōu)孰劣？很難作出恰當(dāng)?shù)脑u判，完全看學(xué)生的即時心境． 再如，思路4是利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì)構(gòu)造已知角的二倍角，但后續(xù)解法則與思路2相同．同樣是構(gòu)造二倍角，思路5、思路6則是借助“線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”這一性質(zhì)進(jìn)行構(gòu)造，相比于圖7中的∠OMA，圖8中的∠OMA及圖9中的∠OMC明顯“好”多了，因為圖8中的∠OMA及圖9中的∠OMC各有一邊落在坐標(biāo)軸上，這樣就為后面的進(jìn)一步構(gòu)造帶來了極大的便利．尤其是思路6，“過點A作AE∥CM”，則直線AE與CM所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中x的系數(shù)相同，即斜率相等．如此一來，后續(xù)解答中就省卻了再進(jìn)一步構(gòu)造一對相似的直角三角形，然后利用“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”進(jìn)行求解.

俗話說，仁者見仁，智者見智．不同的心境產(chǎn)生不同的靈感．即使對同一個問題，不同的人從不同的立場或角度去看也有不同的看法．正因為如此，所以許多數(shù)學(xué)問題，其解法往往是多樣的．一方面，我們沒有必要去追求解法的一致性．異彩紛呈的多樣解法，豈不正是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的良好契機(jī)？思維的靈動，需要合適的環(huán)境與土壤．這種環(huán)境與土壤，不需要刻意地去打造，但卻需要教師恰到好處的培育與呵護(hù)．另一方面，在課堂教學(xué)的現(xiàn)場，當(dāng)多樣解法或如約而至或不期而遇之時，其實倒也提供了思辨的絕佳素材，同時也是引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深層探究的導(dǎo)火索.

從教師角度看，應(yīng)確立這樣一個觀點：最好的解法絕不是教師事先設(shè)計出來的，而是學(xué)生最容易想到的，是課堂自然生成的．所以，教師在課堂上應(yīng)營造一種民主平等的教學(xué)氛圍，要讓學(xué)生敢于自由表達(dá)自己的真實想法，哪怕是一些很不成熟的一閃而過的念頭．這種理念支撐下的教學(xué)，將充分彰顯課堂的活力與魅力，因為課堂的真實，能給教師和學(xué)生帶來一種真實的享受.

從學(xué)生角度看，不能僅停留在“得到一道題的答案”這一層面的自我要求上，而應(yīng)善于思索“解法到底是怎么想到的”．只有這樣，才能不斷形成、獲取與積淀解題經(jīng)驗，從而形成一定的解題策略．此外，還要善于主動表達(dá)與理性對比分析不同的解法，以探尋成功解題的共性，進(jìn)而不斷地在實踐中提升解題的信心.

觸類旁通

經(jīng)驗的獲得雖然帶有一定的隨機(jī)性，但卻又是可移植的．同時，一次次的成功體驗，對學(xué)生學(xué)習(xí)信心的獲得與提升，也大有裨益．對數(shù)學(xué)問題的每一次思索，未必一定能得出一種可行的解法或成功的思路，但是要堅信，對問題的深度思索，一定能促成對問題的更好理解，一定能給解題者帶來新的解題方向的啟示.

練習(xí)：如圖10，已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖像與x軸交于A、B兩點(其中A在B的左側(cè))，D為頂點，P為x軸上一點，設(shè)∠DAO+∠DPO=α，若tanα=4，求P點的坐標(biāo).

圖10

分析問題，不難求得圖中A、B、C、D四點的坐標(biāo)分別為A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)、D(1，4)．在此基礎(chǔ)上，要確定點P的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于能否有效挖掘條件“tanα=4(其中α=∠DAO+∠DPO)”的價值．帶著對問題的進(jìn)一步思考，也許會產(chǎn)生許多新的思索：(1)α大概有多大？(2)符合條件的點P應(yīng)該有幾個？(3)∠DAO與∠DPO的和能不能轉(zhuǎn)化為某一個角？(2)圖中有沒有哪個角的正切值恰好等于4？……諸如此類問題，必將促成心由境生、法隨心動，其結(jié)果就是問題逐漸變得明朗．

感悟提升

解題研究，無論是對教師而言，或是對學(xué)生而言，都很有必要．面對一道陌生的試題，需要用心地咬文嚼字般地審題，需要結(jié)合相關(guān)條件在頭腦中快速搜索曾經(jīng)獲得的解題經(jīng)驗與策略，需要不斷嘗試……期間，每個人對試題中的每一個信息的解讀都是有差異的，所以，不同的人審題后的心理變化也是不一樣的．但是，我們不應(yīng)也不必過度擔(dān)心自己的思路可能行不通而不愿嘗試．事實上，一方面，可行的解題方案未必是唯一的，不嘗試又怎么知道自己的想法一定不可行呢？另一方面，只有“敢想”才會逐漸走向“能想”、“會想”．用敏銳的眼光去審視問題情境，以豐厚的經(jīng)驗積淀為基石，放飛思緒自由馳騁，相信自己，一定能在實踐中找尋到走向成功的解題密鑰．