蔣 凱 錢云祥

(1.蘇州胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215004； 2.無錫市蠡園中學(xué) 214072)

數(shù)學(xué)解題，解法往往千變?nèi)f化．也就是說，一道試題，也許存在許多種不同的解法．這些解法究竟都是怎么想到的呢？也許是經(jīng)驗(yàn)，也許是感覺，也許是運(yùn)氣．筆者認(rèn)為，經(jīng)驗(yàn)需要實(shí)踐來積淀，感覺其實(shí)就是經(jīng)驗(yàn)的一種看似有點(diǎn)模糊的成功體現(xiàn)，而運(yùn)氣則需要感覺作支撐．在對(duì)問題的解法進(jìn)行探究之時(shí)，往往法隨心動(dòng)，心由境生，即法是偶然的，心是自由的，境是客觀存在的．面對(duì)實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，解題者即時(shí)產(chǎn)生的靈光一現(xiàn)，常常就能形成一種解法．而這些即時(shí)性的想法，往往又帶有一定的偶然性，故而也就出現(xiàn)了一題多解．在日常教學(xué)中，無論是對(duì)于教師，還是對(duì)于學(xué)生，對(duì)問題的研究，其實(shí)毫無必要陷入題海，對(duì)一兩個(gè)問題的深度研究，往往即可形成與積淀有效的解題經(jīng)驗(yàn).

試題呈現(xiàn)

如圖1，二次函數(shù)y=mx2-4mx+2m+1的圖像與x軸交于A(x1，0)、B(x2，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且x2-x1=2.

圖1

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若E為這個(gè)二次函數(shù)的圖像上一點(diǎn)，且∠EAB=2∠OCA，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

問題初探

第(1)小題思路較為簡(jiǎn)單：不難確定二次函數(shù)y=mx2-4mx+2m+1的圖像的對(duì)稱軸為直線x=2．由題意知，這個(gè)二次函數(shù)的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離AB=2，故A(1，0)、B(3，0).把x=1，y=0代入y=mx2-4mx+2m+1可得m=1．所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x+3.

在對(duì)第(2)小題分析時(shí)，顯然，C(0，3)．結(jié)合A(1，0)，可知OA

法隨心動(dòng)

分析問題，可以看出，解題的突破點(diǎn)在于對(duì)點(diǎn)E所滿足的條件“∠EAB=2∠OCA”的信息挖掘與利用．顯然，圖中不存在現(xiàn)成的角，使得其大小恰為2∠OCA，故需考慮構(gòu)造，然后在此基礎(chǔ)上確定點(diǎn)E的坐標(biāo)．怎樣構(gòu)造？需放飛思緒，不同的想法產(chǎn)生不同的解法.

思路1如圖2，可以作出點(diǎn)O關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M并求出其坐標(biāo)，然后連接AM并延長(zhǎng)交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，則點(diǎn)E滿足∠EAB=180°-∠OAM=180°-2∠OAC=2(90°-∠OAC)=2∠OCA．事實(shí)上，這種思路的出發(fā)點(diǎn)就是考慮構(gòu)造∠OCM=2∠OCA，再構(gòu)造∠EAB=∠OCM，故∠EAB=2∠OCA．此外，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′，不難求出直線AM′與二次函數(shù)的圖像的另一點(diǎn)E′的坐標(biāo)，若點(diǎn)E′在點(diǎn)A的右側(cè)，則符合題意，否則第四象限內(nèi)的函數(shù)圖像上就不存在符合題意的點(diǎn).

圖2

思路2如圖3，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接CA′，則∠ACA′=2∠OCA．接下來只要構(gòu)造∠EAB，使其等于∠ACA′．具體怎么構(gòu)造？似乎有點(diǎn)難度．考慮到確定點(diǎn)的坐標(biāo)一般要構(gòu)造直角三角形，所以可以設(shè)法構(gòu)造一對(duì)相似的直角三角形：如圖4，過點(diǎn)A′作A′N⊥AC于點(diǎn)N(構(gòu)造Rt△A′CN)．設(shè)第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖像上的一點(diǎn)E符合條件，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F(構(gòu)造Rt△EAF)，易證△A′CN∽△EAF，然后根據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)……同樣地，也可利用構(gòu)造一對(duì)相似的直角三角形求出第四象限內(nèi)滿足條件的點(diǎn)E′的坐標(biāo)，或者，利用對(duì)稱性先求出直線AE關(guān)于x軸的對(duì)稱直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，再聯(lián)立方程組從而求出點(diǎn)E′的坐標(biāo).

圖3

圖4

圖5

比較上述幾種思路，我們可以發(fā)現(xiàn)，思路1與思路2都是在∠OCA的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)角，使其等于2∠OCA，而思路3則是先構(gòu)造∠PAB=∠OCA，然后在∠PAB的基礎(chǔ)上進(jìn)行相關(guān)構(gòu)造……最終殊途同歸.

上述三種思路的共同之處，都是通過“翻折”構(gòu)造二倍角．那么，除了“翻折”之外，還有沒有其他常見的構(gòu)造二倍角的方法呢？

思路4如圖6，取AC的中點(diǎn)M，連接OM，由于∠AOC=90°，故OM=CM，∠MOC=∠MCO，所以∠OMA=∠MOC+∠MCO=2∠OCA．接下來只要構(gòu)造∠EAB，使其等于∠OMA．如圖7構(gòu)造一對(duì)相似的直角三角形，具體解法與思路2類似．限于篇幅，不再贅述.

圖6

圖7

圖8

……

圖9

不同的念頭，產(chǎn)生不同的解法．當(dāng)然，對(duì)于問題的解法探究，作為教師，在實(shí)際教學(xué)中毫無必要無休無止地一味追求解法的多樣性；同樣地，作為學(xué)生，在學(xué)習(xí)過程中也沒有必要對(duì)每一道題目都想法設(shè)法采用不同的方法去分析、解決．但是，我們知道，不同的學(xué)生，其思維習(xí)慣與思維品質(zhì)是有差異的．其中，有些是有優(yōu)劣之分，但也有很大比例其實(shí)并無優(yōu)劣之分．換句話說，有些解法的差異取決于學(xué)生的思維品質(zhì)差異，而有些差異則取決于學(xué)生的即時(shí)心理反應(yīng)．之所以說法隨心動(dòng)，正是因?yàn)樾闹颍碇簿褪钦f，在數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐中，有了內(nèi)心的想法與向往，行動(dòng)自然也就有了或模糊或清晰的方向．所以說，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)思維，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能讓人變得越來越聰明．在對(duì)上面問題的分析與解答中，不同的思路就源自于不同的心理活動(dòng)．事實(shí)上，上述不同思路，正是筆者的一次真實(shí)課堂教學(xué)實(shí)錄．課堂上，學(xué)生盡情地表達(dá)自己的真實(shí)想法，盡情地流淌出即時(shí)的思維火花……

心由境生

法隨心動(dòng)，那么心又如何動(dòng)呢？我們知道，數(shù)學(xué)問題的解法探究講究自然生成．在解題的過程中，當(dāng)面對(duì)問題情境時(shí)，不同的學(xué)生，其視角是不同的，相應(yīng)的想法自然也就不同了．此外，不同的學(xué)生，其已有知識(shí)儲(chǔ)備水平尤其是解題經(jīng)驗(yàn)的積淀基礎(chǔ)是不一樣的，這樣就造成了他們審題之后頭腦中即時(shí)形成的解題計(jì)劃會(huì)有明顯的差別．所以說，法隨心動(dòng)，心由境生．從某種程度上講，解法的形成既是自然生成的，也是講緣分的.

我們不妨再回到上述問題的不同解題思路上來進(jìn)行分析：思路1和思路2，這兩種想法的出發(fā)點(diǎn)，都是基于∠OCA，通過翻折構(gòu)造2∠OCA．而思路3則先將∠OAC轉(zhuǎn)換成∠PAB，然后基于∠PAB通過翻折構(gòu)造2∠PAB．孰優(yōu)孰劣？很難作出恰當(dāng)?shù)脑u(píng)判，完全看學(xué)生的即時(shí)心境． 再如，思路4是利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì)構(gòu)造已知角的二倍角，但后續(xù)解法則與思路2相同．同樣是構(gòu)造二倍角，思路5、思路6則是借助“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”這一性質(zhì)進(jìn)行構(gòu)造，相比于圖7中的∠OMA，圖8中的∠OMA及圖9中的∠OMC明顯“好”多了，因?yàn)閳D8中的∠OMA及圖9中的∠OMC各有一邊落在坐標(biāo)軸上，這樣就為后面的進(jìn)一步構(gòu)造帶來了極大的便利．尤其是思路6，“過點(diǎn)A作AE∥CM”，則直線AE與CM所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中x的系數(shù)相同，即斜率相等．如此一來，后續(xù)解答中就省卻了再進(jìn)一步構(gòu)造一對(duì)相似的直角三角形，然后利用“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”進(jìn)行求解.

俗話說，仁者見仁，智者見智．不同的心境產(chǎn)生不同的靈感．即使對(duì)同一個(gè)問題，不同的人從不同的立場(chǎng)或角度去看也有不同的看法．正因?yàn)槿绱?，所以許多數(shù)學(xué)問題，其解法往往是多樣的．一方面，我們沒有必要去追求解法的一致性．異彩紛呈的多樣解法，豈不正是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的良好契機(jī)？思維的靈動(dòng)，需要合適的環(huán)境與土壤．這種環(huán)境與土壤，不需要刻意地去打造，但卻需要教師恰到好處的培育與呵護(hù)．另一方面，在課堂教學(xué)的現(xiàn)場(chǎng)，當(dāng)多樣解法或如約而至或不期而遇之時(shí)，其實(shí)倒也提供了思辨的絕佳素材，同時(shí)也是引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深層探究的導(dǎo)火索.

從教師角度看，應(yīng)確立這樣一個(gè)觀點(diǎn)：最好的解法絕不是教師事先設(shè)計(jì)出來的，而是學(xué)生最容易想到的，是課堂自然生成的．所以，教師在課堂上應(yīng)營(yíng)造一種民主平等的教學(xué)氛圍，要讓學(xué)生敢于自由表達(dá)自己的真實(shí)想法，哪怕是一些很不成熟的一閃而過的念頭．這種理念支撐下的教學(xué)，將充分彰顯課堂的活力與魅力，因?yàn)檎n堂的真實(shí)，能給教師和學(xué)生帶來一種真實(shí)的享受.

從學(xué)生角度看，不能僅停留在“得到一道題的答案”這一層面的自我要求上，而應(yīng)善于思索“解法到底是怎么想到的”．只有這樣，才能不斷形成、獲取與積淀解題經(jīng)驗(yàn)，從而形成一定的解題策略．此外，還要善于主動(dòng)表達(dá)與理性對(duì)比分析不同的解法，以探尋成功解題的共性，進(jìn)而不斷地在實(shí)踐中提升解題的信心.

觸類旁通

經(jīng)驗(yàn)的獲得雖然帶有一定的隨機(jī)性，但卻又是可移植的．同時(shí)，一次次的成功體驗(yàn)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)信心的獲得與提升，也大有裨益．對(duì)數(shù)學(xué)問題的每一次思索，未必一定能得出一種可行的解法或成功的思路，但是要堅(jiān)信，對(duì)問題的深度思索，一定能促成對(duì)問題的更好理解，一定能給解題者帶來新的解題方向的啟示.

練習(xí)：如圖10，已知二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)(其中A在B的左側(cè))，D為頂點(diǎn)，P為x軸上一點(diǎn)，設(shè)∠DAO+∠DPO=α，若tanα=4，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

圖10

分析問題，不難求得圖中A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)、D(1，4)．在此基礎(chǔ)上，要確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于能否有效挖掘條件“tanα=4(其中α=∠DAO+∠DPO)”的價(jià)值．帶著對(duì)問題的進(jìn)一步思考，也許會(huì)產(chǎn)生許多新的思索：(1)α大概有多大？(2)符合條件的點(diǎn)P應(yīng)該有幾個(gè)？(3)∠DAO與∠DPO的和能不能轉(zhuǎn)化為某一個(gè)角？(2)圖中有沒有哪個(gè)角的正切值恰好等于4？……諸如此類問題，必將促成心由境生、法隨心動(dòng)，其結(jié)果就是問題逐漸變得明朗．

感悟提升

解題研究，無論是對(duì)教師而言，或是對(duì)學(xué)生而言，都很有必要．面對(duì)一道陌生的試題，需要用心地咬文嚼字般地審題，需要結(jié)合相關(guān)條件在頭腦中快速搜索曾經(jīng)獲得的解題經(jīng)驗(yàn)與策略，需要不斷嘗試……期間，每個(gè)人對(duì)試題中的每一個(gè)信息的解讀都是有差異的，所以，不同的人審題后的心理變化也是不一樣的．但是，我們不應(yīng)也不必過度擔(dān)心自己的思路可能行不通而不愿嘗試．事實(shí)上，一方面，可行的解題方案未必是唯一的，不嘗試又怎么知道自己的想法一定不可行呢？另一方面，只有“敢想”才會(huì)逐漸走向“能想”、“會(huì)想”．用敏銳的眼光去審視問題情境，以豐厚的經(jīng)驗(yàn)積淀為基石，放飛思緒自由馳騁，相信自己，一定能在實(shí)踐中找尋到走向成功的解題密鑰．