劉亞平 黃曉學 趙 波

(1.江蘇省睢寧高級中學 221200；2.江蘇師范大學教育科學學院 221116；3.江蘇省睢寧李集中學 221221)

通過高三數學一輪復習，學生解題的思路已形成、方法已具有、思想已領會、思維已優(yōu)化．然而，時常會出現令人費解的一幕：教師認為應該做得很好的題，學生卻做得不盡人意．下面通過一道試題的教學來一探究竟.

1 試題的呈現

已知函數f(x)=a(2-x)ex,g(x)=(x-1)2(e為自然對數的底數)．若關于x的方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實數根x1,x2，求實數a的取值范圍.

這是一位高三學生在數學自習課上獨立研究的一道試題,該題條件簡潔,但高度抽象、內涵豐富、綜合性強,涉及分類討論、轉化與化歸、數形結合、函數方程等思想,考查函數零點、構造法、分析法等知識與方法.該學生說，雖然題后有詳細的解答過程,但仔細研究后仍對某些細節(jié)感到困惑、多次被迫“落水”，讓學習者很“痛苦”.于是，筆者決定采取一對一指導教學模式，探究學生因何緣故多次“落水”.

2 教學設計及意圖

2.1 選擇轉化,準備“搭橋”

問題1已知f(x)=g(x)有兩個不相等的實數根x1,x2，你能直接求出此方程的兩個根嗎？如果不能求出方程的根，那又如何處理？

設計意圖學生遇到方程根的問題，第一反應可能是想把方程的根直接求出來，由于f(x)=g(x)是超越方程，沒有固定的求根公式，顯然強攻硬取是不明智的．既然求不出方程的根,那必須用轉化思想把方程根的個數轉化為相應的函數零點個數,看看學生有無轉化意識.

學生：因為f(x)=g(x),所以(x-1)2-a(2-x)ex=0有兩個不相等的實數根x1,x2，由于此方程是超越方程,通過嘗試也無特殊值的根,所以無法直接求根.對于類似問題,運用函數、方程思想轉化為函數h(x)=g(x)-f(x)在R上有兩個不同零點.

2.2 找準方法,準備“過河”

問題2已知函數零點的個數,求參數的取值范圍.有幾種常見的研究方法?如何運用這些方法？對問題1你選擇哪種方法？

設計意圖學習數學需要一定的記憶與模仿,不單單是歸納、理解與反思．數學概念、定義、定理、基本方法、基本技能等該學生記憶與理解的,教師就要不耐其煩地反復滲透,直到學生耳熟能詳為止.

學生：有四種方法：1求方程的根;2零點存在性定理;3構造一個函數;4構造兩個函數.方法1與方法2實質是函數零點定義；運用零點存在性定理需要滿足兩個條件：一是連續(xù)函數;二是函數在區(qū)間端點函數值異號;構造兩個函數時,兩個函數圖象有幾個交點原函數就有幾個零點,交點的橫坐標就是原函數的零點.另外,在構造兩個函數時,使用參變量分離法時盡量使構造的兩個函數中一個為常函數或一次函數，這樣便于畫圖.解決本題我選擇方法3與方法4.

2.3 踏著“險橋”,被迫“落水”

問題3請你把解題過程寫出來，解題中涉及哪些思想方法？你有哪些困惑點？

設計意圖困惑產生問題，問題來自困惑.有時候，提出問題比解決問題更彌足珍貴.只有讓學生親身經歷解題過程才能提出真問題，這有利于教師準確把脈學生解題思維的困惑點.

學生：解題過程用到分類討論、數形結合等思想，解題中我有三個困惑點.

因為函數h(x)在R上有兩個不同零點,所以h(x)的圖象與x軸有兩個不同交點.

因為h′(x)=2(x-1)+a(x-1)ex

=(x-1)(aex+2)，

①當a=0時，h(x)=(x-1)2只有一個零點x=1，故a=0不成立；

所以函數h(x)在R上只有一個零點；

圖1

③當a>0時，h′(x)=(x-1)(aex+2)，令h′(x)=0,得x=1.

列表判斷得h極小值=hmin(x)=h(1)=-ae<0，根據函數h(x)的大致圖象可以判斷有兩個零點(如圖2).

圖2

但判斷h(x)有兩個零點時，學生又遇到兩個困惑：一是因為h(3)=ae3+4>0，所以h(1)·h(3)<0，又因為h(x)在(1,+∞)為單調遞增連續(xù)函數，所以由零點存在性定理知h(x)在(1,+∞)有一個零點，同樣也可以取h(4),h(5),……，為什么這些值都大于0，難道僅僅是巧合？

二是為什么h(-4),h(-5),……，符號不確定？如何在(-∞,1)上取值才能使其函數值大于零？

2.4 數學經驗，輔助“過河”

問題4.1我們在畫函數p(x)=a(2-x)(a∈R)的圖象時，能否任意畫？理論依據是什么？

問題4.2在剛剛過去的月考中，我們解決過一個類似問題：已知函數f(x)=ex+m(x+1),其中m<-1,e是自然對數的底數.求證：f(x)在R上有兩個零點.大家當時是如何運用零點存在性定理判斷零點的？

設計意圖普通高中數學課程標準明確提出要培養(yǎng)學生的四基，即培養(yǎng)學生的基本知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗．對于學生提出的上述兩個困惑點，教師通過激活學生已有的活動經驗啟發(fā)學生深度思考.

教師追問：能否再舉出其他函數值大于0，學生回答：f(-3m),f(-4m),……,函數值都大于0.因勢利導，教師接著問道：為什么f(3),f(4),……，甚至f(100)=e100+101m的函數值不一定大于0？學生思考交流：因為m<-1，所以從f(100)=e100+101m解析式本身就能看出函數值不一定大于0；又因為極小值點ln(-m)能取遍一切正數，更能詮釋f(100)的函數值為什么不一定大于0.

2.5 積累經驗，成功“上岸”

問題5我們來繼續(xù)探究問題3中尚未解決的問題：如何在(-∞,1)上取值才能使其函數值大于零？

設計意圖在學生合作交流與情感體驗中積累數學經驗后，通過問題5培養(yǎng)學生的知識方法遷移能力，領悟取值方法——放縮法.

學生：因為a>0,所以h(-4)=25-6ae-4符號不確定，因此不能在(-∞,1)取確定數的函數值，若取x=b(b<0)，h(b)=(b-1)2+a(b-2)·eb，但我不知下一步如何放縮？

教師：h(b)=(b-1)2+a(b-2)eb(b<0)是關于b的超越函數，能不能通過放縮把它變?yōu)殛P于b的基本函數？

學生(恍然大悟)：讓我試一試，h(b)=(b-1)2+a(b-2)eb>(b-1)2+(b-2)=b2-b-1，但b2-b-1>0對一切b<0不成立，學生通過多次嘗試，終于放縮函數值成功，并給出取值理由.

教師追問：還有其他放縮方法嗎？你能否給出更一般的放縮方法？在教師的循循善誘的引導下，學生探究如下：

取b<0，不妨設h(b)=a(b-2)eb+(b-1)2>λ(b-2)+(b-1)2=b2+(λ-2)b+(1-2λ)，其中λ>0，要使p(b)=b2+(λ-2)b+(1-2λ)>0對一切b<0成立(如圖3).

圖3

2.6 順流而下，再探優(yōu)法

問題6你能給出更簡潔的解法嗎？并指出這種解法的優(yōu)缺點.

設計意圖考查學生的轉化與化歸、數形結合等思想，甄選優(yōu)法的能力.

3 思想“缺失”，再次“落水”

聽到學生對選擇構造兩個函數法“真實”的緣由，筆者又讓學生解決如下問題.

(2015年江蘇省高考數學第19題)

設計意圖創(chuàng)設認知沖突，讓學生深刻地認識到注重通性通法及挖掘題設中蘊含的數學思想方法，才是解決數學問題的“正道”.

4 教學思考

理解數學、理解學生、理解教學是教師專業(yè)發(fā)展的基石，是數學教學質量的根本保證，是廣大數學教師提高教學效益的法寶．學生是學習的主體，理解學生教師可以準確地找到學生的“潛在思維發(fā)展區(qū)”，調動學生學習的積極性，讓學生覺得知識的發(fā)生、發(fā)展自然而徜徉，進而更好地理解數學．如何引領學生走上數學解題教學理解之路呢？本人有如下三點的思考.

4.1 解題內容的設計要關注學生的理解

現在高三數學復習課流行這樣一個模式：三個例題、幾個變題、一系列訓練題，數學復習課儼然成了數學題目的堆砌課．教師一開始就滔滔不絕地忙于分析講解、規(guī)范展示，學生忙于聽講記錄，積極思考！但一考試，學生的成績就讓師生“苦惱不已”．理解性教學認為，教師在關注三維目標教學時，更要關注建構學生的理解能力，而不僅僅是解法的獲得與思維的提煉，要急學生所急，想學生所想，惑學生所惑，需學生所需，才會真正設計出適合學生思維發(fā)展需要的“真內容”.

由于試題1有詳細的解答過程，學生仔細研究多遍，教師在與學生的交流討論中，沒有發(fā)現學生在數學思想方法方面有太多的認知障礙．但在“順流而下，再探優(yōu)法”的教學環(huán)節(jié)中，構造兩個函數法優(yōu)點是構造函數中不含參數，不需要分類討論，竟然成為這位學生“情有獨鐘”此方法的最主要的理由．涉及函數零點問題的通性通法主要有四種，至于運用哪種方法好，要因題而異，學生僅僅憑借“感情用事”，顯然學生的理解方向出現的偏差.

關注到學生的理解，遵循“顧客是上帝”的服務原則，筆者設計了試題2，使學生產生“不憤不啟、不悱不發(fā)”的強烈的釋疑愿望，學生在特定的情境中，用自己的頭腦去發(fā)現解決問題的辦法，為學生發(fā)現新方法和認識新思想創(chuàng)造了一個最佳的心理環(huán)境．毋庸置疑，一個恰當的例題勝過一打理論，也勝過“結構松散”的多道例題的講解與示范.

4.2 解題活動的設計要促進學生的理解

著名國學大師王國維在《人間詞話》中對詩人的最高境界給予精辟的描述：“詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外．入乎其內，故能寫之；出乎其外，故能觀之．”同樣，最高境界的數學解題教學何嘗不是如此呢？入乎其內，就是要鼓勵學生親力親為的實踐，從自己砥礪前行的探索思考中獲得體驗，通過積極思考、動手操作、自主探究、合作交流等學習方式，慢中求悟、悟中求道；出乎其外，就是學生通過豐富多彩的數學問題的順利解決覺得“數學好玩”，能感悟“題在書外，理在書內”的深刻道理，對數學本質的理解大徹大悟.

在教學過程中，筆者根據對學生的已有認知進行了分析，所設計的學習活動緊緊圍繞學生理解的思維生惑點進行．江蘇師范大學黃曉學教授在其《少教多學模式研究》中指出：“‘惑’這種心理現象在數學教學中主要發(fā)生在學生遇到數學知識發(fā)生發(fā)展的生長點和銜接點、數學思想方法的轉折點、數學思維的癥結點等時機．這些關節(jié)點、轉折點、癥結點都是典型的思維生惑點．并進一步指出，這些思維生惑點的解除必須通過發(fā)展認知能力才能實現”[1]．為了幫助學生順利突破思維生惑點，教師要適時幫助學生解釋困惑，支撐學生的理解.

例如，對于第一個困惑，教師通過引導學生學會作圖方法(一個坐標系內畫兩個函數的圖象)解除學生的困惑；對于第二個困惑，根據函數h(x)在區(qū)間[1,+∞)為單調遞增函數，且h(x)恒過定點(2,1)，學生容易理解；對于第三個困惑，教師并沒有把取值方法強塞于學生，而是借助學生已有的數學活動經驗，從另外一個角度進行再回顧，給學生帶來新鮮感，促進學生從多個角度思考問題，學生再次感悟放縮法取值的真諦，使學生獲得真正意義上的理解，實現知識的正遷移.

4.3 解題評價的設計要落實學生的理解

對數學解題教學的評價，是數學教學的重要一環(huán)節(jié)，但往往被部分數學教師所忽略．有的數學教師僅通過學生解題方法的優(yōu)劣來評價學生；有的是通過學生對數學知識與方法收獲多少來評價學生；更有甚者只是通過學生作業(yè)、反應快慢、考試成績的多少來評價學生等．其實數學解題教學的評價既要評估學生掌握數學知識和技能的狀況，又要考量學生的提出、解決問題的能力和思維發(fā)展狀況，還要關注學生學習的情感、態(tài)度與價值觀的取向．數學知識的獲取不僅取決于學生的智力，還與學生的學習態(tài)度、學習習慣、參與的積極性、努力的程度、內在的動力等密不可分．教育家蘇霍姆林斯基說：“要像對待荷葉上的露珠一樣，小心翼翼地保護學生幼小的心靈．”在數學教學時教師要對學生多一點耐心，多一點等待，多一點傾聽，多一點激勵性評價，學生就會多一點學習數學的信心與勇氣，多一點對數學本質的挖掘與理解.

如“學生(恍然大悟)：讓我試一試，h(b)=(b-1)2+a(b-2)eb>(b-1)2+(b-2)=b2-b-1，但b2-b-1>0對一切b<0不成立，學生通過多次嘗試，終于放縮函數值成功，并給出取值理由．”；“教師諄諄教導：可見，套題型、記方法不是學習數學的根本?。∧窃趺崔k呢？”；“學生豁然開朗：真沒想到運用函數、方程思想把‘不等式解集’向‘方程解集’轉化后是如此的簡單?。　钡鹊龋唤浺忾g，這些都調動了學生的探究熱情，讓學生覺得他是學習的主人，師生的情感得以溝通，和諧學習的氛圍得以保證，學生的活力得以激發(fā)，學生的理解得以落實.

學生是主體，教師是主導，這個教學的雙主體是內涵豐富的話題，雙主體的基礎是理解學生，數學解題教學一定要從理解學生做起[2]．要做到理解學生，就要充分關注“學情”；其次是理解數學，就是教師要研讀教材，窺探數學本質，從數學思想方法角度給學生一雙睿智的“眼睛”；再次是理解教學，教師教學要從學生的認知規(guī)律出發(fā)，選擇適當的教學方法，幫助學生給通性通法尋求一個合理合情的“辯護”，讓學生體會優(yōu)秀的解法是自然的、有人情味的.