李健東,陳秀榮,李 娟,楊 雪,佟春明

(1.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266109；2.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266109)

0 引言

設(shè)備在運(yùn)行過(guò)程中不可避免地會(huì)發(fā)生性能退化，而外部環(huán)境的干擾會(huì)進(jìn)一步加速設(shè)備性能退化，最終導(dǎo)致設(shè)備失效。目前，設(shè)備的非線性退化是壽命預(yù)測(cè)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]建立了符合非線性Wiener過(guò)程描述的設(shè)備退化模型，有效解決了非線性退化過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性難以被原有線性模型描述的問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]提出了在擴(kuò)散過(guò)程的基礎(chǔ)上對(duì)非線性退化過(guò)程進(jìn)行建模，建立了新的非線性損傷演化方程，并在線預(yù)測(cè)了設(shè)備的剩余有效壽命。為了對(duì)非線性多退化系統(tǒng)進(jìn)行有效的剩余壽命預(yù)測(cè)，文獻(xiàn)[3]～文獻(xiàn)[4]提出了將非線性加速退化模型與失效率模型相結(jié)合的壽命預(yù)測(cè)方法，并將貝葉斯方法融入壽命評(píng)估中。文獻(xiàn)[5]則利用卡爾曼濾波和期望最大化算法的迭代估計(jì)方法，以改進(jìn)剩余壽命預(yù)測(cè)精度。根據(jù)設(shè)備性能退化非線性的特點(diǎn)，利用分段建立性能退化模型的方法[6]，將貝葉斯更新與Copula理論結(jié)合到模型中[7]，有效提高了對(duì)設(shè)備性能退化過(guò)程描述的準(zhǔn)確性。在產(chǎn)品退化過(guò)程的隨機(jī)效應(yīng)分析基礎(chǔ)上[8]，提出了測(cè)量含不確定性情況下的非線性隨機(jī)退化建模方法[9]。

以上研究和其他一些研究通常將外部干擾視為突發(fā)因素而忽略，很少將其作為退化建模中一個(gè)獨(dú)立的因素[10]。文獻(xiàn)[11]將非線性退化過(guò)程轉(zhuǎn)換為線性退化過(guò)程，再通過(guò)維納過(guò)程進(jìn)行退化建模。文獻(xiàn)[12]提出采用狀態(tài)駐留信息模型的方法，對(duì)行程開(kāi)關(guān)的剩余使用壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)。然而，目前還沒(méi)有看到受到Poisson分布干擾的雙參數(shù)非線性退化過(guò)程的建模和壽命預(yù)測(cè)研究成果。

為此，本文在雙參數(shù)的貝葉斯更新模型中考慮服從Poisson分布的外部環(huán)境干擾的影響，從而提出了新的設(shè)備性能退化模型并進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)。

1 外部干擾下的設(shè)備非線性退化建模

為了對(duì)設(shè)備的退化過(guò)程進(jìn)行建模，現(xiàn)作如下描述：A(t1),A(t2),…,A(tn)表示在時(shí)刻t1,t2,…,tn可以觀測(cè)到的設(shè)備監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)；A(ti)表示在時(shí)刻ti的觀測(cè)值。考慮設(shè)備退化的非線性模型[13]為：

(1)

式中：φ為固定參數(shù)變量；θ和β為隨機(jī)變量；ε(ti)為隨機(jī)誤差。

對(duì)式(1)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，可得：

(2)

式中：lnφ為初始退化量；lnθ為隨機(jī)變量。

L(ti)=lnφ+η+βti+ε(ti)

式中：η為隨機(jī)變量。

在設(shè)備運(yùn)行的過(guò)程中，由于所處的環(huán)境復(fù)雜多變，受到外部環(huán)境干擾因素的影響是隨機(jī)的。因此，干擾發(fā)生的次數(shù)N(t)可由強(qiáng)度為λ的泊松隨機(jī)過(guò)程來(lái)表示。則時(shí)刻t，發(fā)生n次干擾的概率為：

式中：n為外部環(huán)境干擾的次數(shù)，根據(jù)泊松分布表計(jì)算。

Q1,Q2,…,Qk為設(shè)備在t1,t2,…,tk時(shí)刻對(duì)應(yīng)的退化量。該退化量為隨機(jī)變量，其分布通常是根據(jù)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取的樣本得到。本文假設(shè)設(shè)備的退化量服從正態(tài)分布，即Qj～N(μ,σ2)。

為了考慮外部干擾對(duì)退化過(guò)程的影響，本文提出考慮外部環(huán)境干擾影響的退化模型為：

(3)

2 參數(shù)估計(jì)與剩余壽命預(yù)測(cè)

針對(duì)模型(3)，參數(shù)估計(jì)的步驟如下。

①確定先驗(yàn)分布。

②確認(rèn)后驗(yàn)分布。

根據(jù)貝葉斯估計(jì)的性質(zhì)，選取共軛先驗(yàn)分布，所以后驗(yàn)分布也服從正態(tài)分布：

p(η,β|Lj)∝f(Lj|η,β)π(η,β)

在t1,t2,…,tk時(shí)刻，觀測(cè)數(shù)據(jù)為L(zhǎng)j=l1,l2,…,lk，相應(yīng)聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

進(jìn)而得到(η,β)的后驗(yàn)分布：

取λ=1，則：

根據(jù)貝葉斯定理，可得到各個(gè)參數(shù)的估計(jì)：

(4)

(5)

③運(yùn)用極大似然估計(jì)的方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

(6)

對(duì)式(6)取對(duì)數(shù)，得對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

(7)

分別對(duì)式(7)中的η和β求偏導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為零，得到似然方程：

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行計(jì)算，得到：

(9)

④剩余壽命的密度函數(shù)。

通過(guò)建立模型與求解過(guò)程，得到設(shè)備剩余壽命分布函數(shù)為：

式中：tk+T為設(shè)備到達(dá)閾值的時(shí)刻；tk為當(dāng)前測(cè)量時(shí)刻；T為設(shè)備的剩余壽命。

注意到時(shí)間tk的設(shè)備剩余壽命T滿足L(T+tk)=D，則：FT|L1,…,Lk(t)=P{T≤t|l1,l2，…,lk}條件下，T的條件累積分布函數(shù)(cumulative distribution function，CDF)[13]為：

P{T≤t|l1,l2,…,lk}=P{L(t+tk)|l1,l2,…,lk}=1-P{L(t+tk)≤D|l1,l2,…,lk}

式中：Z為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)隨機(jī)變量；Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的CDF。

事實(shí)上，找到在(t+tk)時(shí)的信號(hào)值大于D的概率，就已經(jīng)確定了剩余壽命的條件累積分布函數(shù)。即T的截?cái)嗟臈l件累積分布函數(shù)為：

由T的截?cái)嗬鄯e分布函數(shù)，可以導(dǎo)出截?cái)嗟臈l件概率密度函數(shù)：

(10)

式中：φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的條件概率密度函數(shù)。

3 仿真研究

圖1 剩余壽命概率密度函數(shù)曲線

圖2 可靠度曲線

圖1、圖2中：f1和z1為不考慮外部環(huán)境干擾的情況；f2和z2為考慮外部環(huán)境干擾的情況，即采用本文方法得到的曲線；f3和z3為真實(shí)情況。

由圖1和圖2可以看出，考慮干擾時(shí)的概率密度函數(shù)曲線和可靠度曲線更接接近真實(shí)情況。換言之，本文提出的考慮外部干擾的退化建?？梢蕴岣呤Ｓ鄩勖念A(yù)測(cè)精度，從而保證設(shè)備及時(shí)得以檢修和維護(hù)，以達(dá)到降低風(fēng)險(xiǎn)、減少人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失的目的。

已獲得的6個(gè)同類型的防噴閥壽命數(shù)據(jù)(單位：kh)為[14]：33.83、36.65、45.57、36.6、42.12、39.03。該類防噴閥的平均壽命為T(mén)ave=3.8×104h。為了比較模型預(yù)測(cè)的剩余壽命的分布，給定tk∈(0.3Tave,0.5Tave,0.9Tave)為基準(zhǔn)時(shí)間，得到預(yù)測(cè)的平均剩余壽命對(duì)比如表1所示。從表1中可以看到，與不考慮外部環(huán)境干擾的方法相比，本文考慮外部環(huán)境干擾的剩余壽命預(yù)測(cè)更接近真實(shí)值。

表1 平均剩余壽命對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮了服從Poisson的外部環(huán)境干擾對(duì)設(shè)備性能退化的影響，建立了非線性的性能退化模型。采用貝葉斯方法與極大似然估計(jì)方法估計(jì)分布的參數(shù)值，得到設(shè)備的剩余壽命的概率密度函數(shù)及相關(guān)分布，從而更加準(zhǔn)確地描述了設(shè)備的性能退化過(guò)程的動(dòng)態(tài)性。下一步工作考慮測(cè)量誤差對(duì)設(shè)備的剩余壽命預(yù)測(cè)的影響，從而更好地對(duì)設(shè)備的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)。