錢程 蔣守成

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過對七橋問題的研究，明晰七橋問題的內(nèi)涵與本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一筆畫圖形的特征，并能運(yùn)用所學(xué)知識解決簡單的實際問題。

2.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，體悟抽象、模型和推理的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3.學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中學(xué)會積極地自主探究與合作交流，獲得成功的體驗，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

【教學(xué)重難點】感受數(shù)學(xué)抽象，體會數(shù)學(xué)建模，掌握研究方法。

【教學(xué)過程】

課前預(yù)習(xí)并交流：

《有趣的七橋問題》預(yù)習(xí)單

下面哪些圖形是“一筆畫”圖形？

解釋：“一筆畫”是指從圖形的某一點出發(fā)，筆不離開紙，不間斷、不重復(fù)地畫完一個圖形。

要求：

1.畫一畫：在圖形右邊的空白處試著畫一畫，看看哪些是一筆畫圖形。

2.寫一寫：把一筆畫圖形的序號寫在橫線上 。

① ②③ ④⑤

⑥ ⑦⑧ ⑨ ⑩

一、名題的引入——感受數(shù)學(xué)史的魅力

1.談話：在人類歷史的發(fā)展潮流中，涌現(xiàn)出了很多著名的數(shù)學(xué)家，產(chǎn)生了很多有趣的數(shù)學(xué)問題，今天這節(jié)課，就讓我們一起走進(jìn)歷史，走進(jìn)18世紀(jì)。

課件出示“七橋問題”。

18世紀(jì)的哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河上有7座橋，連接河中的兩個島A、B和河岸C、D，如圖所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，有一天，一位居民在散步時提出了一個問題：能否不重復(fù)的一次走遍這7座橋，最后又回到起始地點呢？

2.揭示：這就是歷史上著名的七橋問題，這個問題很快在當(dāng)?shù)貍鏖_了，每一位到這里來散步的人都想走一走，甚至有的人索性把它畫成了地圖，拿回家有空時就在紙上畫一畫。

3.提問：今天老師也給同學(xué)們準(zhǔn)備了當(dāng)年普萊格爾河的地圖，你們想一想也來嘗試一下。請同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單1，用鉛筆嘗試著在圖中畫一畫。

學(xué)習(xí)單1

問題：從任意一個河岸或島嶼出發(fā)，能否不重復(fù)的一次走遍這七座橋呢？

用鉛筆嘗試著在圖中畫一畫。

交流明確：不管怎么走，總有至少一座橋沒有走到。

二、名題的研究——經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程

（一）八橋的引入，發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵要素

收集學(xué)生資源，出示下圖。

1.提問：如果要繼續(xù)走下去，我們可以怎么辦？

生：再架一座橋。

追問：架在哪里？接下去又該怎么走呢？

引領(lǐng)學(xué)生用手指一指并比劃著走一走。

2.談話：確實，再架一座橋就能不重復(fù)的一次走完，那這座橋除了架在這里，還能架在哪里呢？是不是也能不重復(fù)的一次走完呢？請同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)單2。

要求：想一想，這座橋可以架在哪里，為了區(qū)分，用不同顏色的筆畫出橋和行走的路線。

學(xué)習(xí)單2

問題：再架一座橋，是不是可以不重復(fù)的一次走遍這八座橋呢？

教師巡視并搜集展示學(xué)生不同的作業(yè)（板貼部分學(xué)生作品）。

3.提問：它們架橋的位置不同，但從他們行走的路線來看，都能不重復(fù)的一次走完這八座橋，為什么七橋走不通，八橋卻能走通呢？你覺得可能是由什么原因造成的？小組討論。

生1：我覺得和橋的數(shù)量有關(guān)。

生2：我也覺得和橋的數(shù)量有關(guān)。

4.談話：你們是不是也有這樣的感覺？老師這兒準(zhǔn)備了這樣兩張圖：

我們先來看這張圖（八橋），如果我們從A島出發(fā)，那么經(jīng)過B島的時候，必然由一座橋進(jìn)入，由另一座橋出去，有進(jìn)有出，也就是說與中間的島相連的橋的數(shù)量應(yīng)該是一個（偶數(shù)）；我們再來看這張圖（七橋），先數(shù)一數(shù)與陸地和島嶼相連的橋的數(shù)量分別是多少？

生：A島5個，B島3個，C島3個，D島3個。

明確：都是奇數(shù)，不管從哪里出發(fā)，我們能不能做到與中間的陸地或島相連的橋的數(shù)量是偶數(shù)？

生：不能。

5.啟發(fā)：例如不管是從A島還是C島或D島出發(fā)，當(dāng)經(jīng)過B島的時候，由一座橋進(jìn)入，另一座橋出去，再由這座橋進(jìn)入，然后呢？

生：沒橋出去了。

明確：是的，通過分析我們再一次感覺到能不能走通和與島相連的橋的數(shù)量有關(guān)。

6.提問：七橋走不通，八橋可以走通，十橋呢？二十橋呢？當(dāng)問題越來越復(fù)雜的時候，如果我們繼續(xù)在這樣的圖上去畫，你會有怎樣的感覺？

生：會感覺很麻煩。

（二）問題的抽象，體會數(shù)學(xué)化的價值

1.提問：那么我們有什么辦法可以把這樣的圖變得簡單呢？在回答這個問題之前，我們不妨先來思考，你覺得能不能走通和島的大小、橋的長短有沒有關(guān)系？

生：沒有。

引導(dǎo)：既然沒有關(guān)系，那么如果我們把七橋問題中的A、B、C、D這4個區(qū)域不斷縮小，最后變成一個點，而圖中的橋用線來表示的話，我們可以把這張地圖轉(zhuǎn)變成一張怎樣的圖？想一想，并試著畫一畫。

展示學(xué)生不同的畫法并進(jìn)行評價。

2.談話：當(dāng)年歐拉也和同學(xué)們一樣有著相同的想法，我們一起來看一下，首先用A、B、C、D四個點來表示圖上的4個區(qū)域，連接AC的有2座橋（畫2條線）……

3.揭示：其實這樣一來，剛才的能不能不重復(fù)的一次走遍這些橋就轉(zhuǎn)化成了能不能從某一點出發(fā)，不重復(fù)地一筆畫出這個圖形，通過預(yù)習(xí)，我們知道這其實就是一筆畫問題。

4.提問：你覺得把剛才的問題轉(zhuǎn)化成一筆畫問題有什么好處？

生1：看起來就沒那么復(fù)雜了。

生2：可以把問題變得更加清晰。

明確：是的，去掉了一些多余的要素，只保留了一些關(guān)鍵的要素，這樣就更加便于觀察和分析了。

5.提問：剛才我們發(fā)現(xiàn)能不能走得通和與島相連的橋的數(shù)量有關(guān)，那么相應(yīng)的在一筆畫問題中，能不能一筆畫成應(yīng)該和什么有關(guān)？

生：應(yīng)該和與點相連的線的數(shù)量有關(guān)。

追問并揭示：你們都有這樣的感覺嗎？當(dāng)年歐拉也是這樣想的，于是他把與奇數(shù)條邊相連的點稱為奇點，與偶數(shù)條邊相連的點稱為偶點（指著黑板上的點線圖，選擇3～4個點引導(dǎo)學(xué)生說一說）。

6.談話：認(rèn)識了奇點和偶點，那么一筆畫圖形與奇點、偶點之間到底存在怎樣的關(guān)系呢？課前，我們已經(jīng)通過預(yù)習(xí)確定了這些圖形是一筆畫圖形，在這10張圖中，其實你可以首先排除哪張圖？

生：第10張。

追問：為什么？

生：因為第10張圖各部分之間沒有相連。

明確：也就是說一筆畫圖形的各部分之間首先應(yīng)該是相連的，相通的，我們把這樣的圖稱為連通圖。剩下的九張連通圖，我們可以根據(jù)是不是一筆畫圖形分成這樣兩類，數(shù)一數(shù)，數(shù)出圖中奇點、偶點的個數(shù)，記錄在表格中，比較表格中的數(shù)據(jù)，把你的發(fā)現(xiàn)和同桌互相說一說。

生：……

7.談話：是的，奇點的個數(shù)只能是0個或2個，與偶點的個數(shù)無關(guān)，而不是一筆畫圖形的奇點的個數(shù)也就不可能是0個或2個，同學(xué)們可以課后再去舉更多的例子進(jìn)行驗證。

8.設(shè)疑：我們再來看這6個一筆畫圖形，有的奇點是0個，有的奇點是2個，它們所對應(yīng)的一筆畫圖形又會有怎樣的不同呢？這些不能一筆畫成的圖形，它們需要幾筆才能畫成呢？又與什么有關(guān)呢？課后同學(xué)們可以順著這節(jié)課的思路繼續(xù)去研究。

三、方法的運(yùn)用——解決數(shù)學(xué)化的問題

1.談話：接下來，讓我們再次回到生活中。

出示：這是某街區(qū)的平面圖，一輛灑水車要給所有的街道灑水，這輛灑水車能不重復(fù)的一次走遍所有街道嗎？

要求：

想一想：我們可以怎么思考這個問題。

畫一畫：根據(jù)平面圖，畫出相應(yīng)的點線圖。

數(shù)一數(shù)：數(shù)出圖中奇點的個數(shù)并判斷能否不重復(fù)的一次走遍所有街道。

2.按照要求自己先做一做。

3.展示交流。

談話：老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們都把情境圖轉(zhuǎn)化成了這樣的點線圖，看來同學(xué)們都能像數(shù)學(xué)家一樣去思考問題，那么轉(zhuǎn)化之后我們再干嗎呢？

生：數(shù)奇點的個數(shù)。

明確：是的，那么奇點有多少個呢？

學(xué)生數(shù)一數(shù)并解決問題。

4.提問：回顧這節(jié)課，我們經(jīng)歷了怎樣的過程？

學(xué)生自由地說一說。

四、主題的拓展——豐富對名題的認(rèn)知

談話：其實，和七橋問題相關(guān)的問題還有很多，例如，中國郵遞員問題，哈密頓回路，有興趣的同學(xué)們可以課后繼續(xù)去研究。

【教學(xué)評析】

錢老師執(zhí)教的“七橋問題”是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題，從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史看，七橋問題的解決開創(chuàng)了“拓?fù)鋵W(xué)”的先河，有了“圖論”的誕生；從數(shù)學(xué)應(yīng)用的角度看，七橋問題的研究很好地滲透了史寧中教授所說的“抽象、模型和推理”三大思想；從數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程看，七橋問題的研究展現(xiàn)了人們的數(shù)學(xué)思維不斷求簡、不斷創(chuàng)新的獨(dú)特魅力。因此，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容很具有數(shù)學(xué)價值，非常值得學(xué)生去探究、思考與發(fā)現(xiàn)。

教學(xué)中，錢老師將數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景和數(shù)學(xué)家求解的過程轉(zhuǎn)化成學(xué)生學(xué)習(xí)的情境，讓學(xué)生在這樣的情境中去體驗，去感悟，去思考，去發(fā)現(xiàn)，經(jīng)歷了由七橋問題到一筆畫問題的數(shù)學(xué)化的抽象過程。當(dāng)然這樣的過程是基于數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的過程展開的，學(xué)生的思維和數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)活動是有一定區(qū)別的，因此，“八橋”這一環(huán)節(jié)的設(shè)計就恰好給學(xué)生的思維提供了一個臺階，使得學(xué)生也能在自己的思維層次上像數(shù)學(xué)家那樣去思考。

當(dāng)學(xué)生在對現(xiàn)實問題進(jìn)行探究的時候，其實已經(jīng)對能否不重復(fù)的一次通過和橋的數(shù)量之間存在關(guān)系有了一定的感覺，所以在抽象成一筆畫問題后，引導(dǎo)學(xué)生探究一筆畫圖形與奇點、偶點之間的關(guān)系也就顯得順其自然了。本節(jié)課只安排了一道練習(xí)，這一題的設(shè)計不僅僅是針對知識的運(yùn)用，更是針對學(xué)生將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)問題并用數(shù)學(xué)的方法來解決問題的這樣一個過程的進(jìn)一步感悟，設(shè)計得很巧妙，真正做到了簡約而不簡單。

數(shù)學(xué)化的過程是內(nèi)化數(shù)學(xué)思想的過程，蘊(yùn)含著由具體到抽象再到具體的數(shù)學(xué)思維活動，它讓數(shù)學(xué)名題不是一種靜態(tài)的文化資源，而是能深入到數(shù)學(xué)的思想當(dāng)中去，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這也正是本節(jié)課最大的亮點。

【作者簡介】

錢程，中小學(xué)一級教師，常州市蔣守成名師工作室成員，曾獲金壇區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)青年教師基本功競賽一等獎，蔣守成鄉(xiāng)村骨干教師培育站優(yōu)秀課評比一等獎。

蔣守成，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，江蘇省教科研先進(jìn)個人，江蘇省鄉(xiāng)村骨干教師培育站主持人，常州市名師工作室優(yōu)秀領(lǐng)銜人，常州市中青年專業(yè)技術(shù)拔尖人才，常州市教育領(lǐng)軍人才，金壇市首屆名教師，《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》兼職編輯，常州市金壇區(qū)朝陽小學(xué)校長。多年來，他始終堅持站在兒童的立場去研究兒童，連續(xù)主持了省“九五”“十五”“十一五”“十二五”規(guī)劃立項課題和重點資助課題，獲江蘇省基礎(chǔ)教育成果一等獎，出版了1—6年級數(shù)學(xué)讀本《走進(jìn)你知道嗎》，出版了主題思維叢書《圖形王國》等四本，在研究中他提出了小學(xué)數(shù)學(xué)主題拓展教學(xué)的主張，在《江蘇教育》《生活教育》《學(xué)校管理》《江蘇教育報》《小學(xué)教學(xué)設(shè)計》《江蘇教育新時空》等媒體進(jìn)行了研究成果的推廣和專題報道，他應(yīng)邀到上海、北京、浙江、山東、河南、河北、湖南、湖北、內(nèi)蒙古等22個省市自治區(qū)上數(shù)學(xué)研究課、做專題報告。