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        丟番圖巧用“平方差公式”

        2019-04-26 08:01:36唐榮喜
        初中生世界 2019年13期
        關(guān)鍵詞:數(shù)是數(shù)論平方差

        ◎唐榮喜

        丟番圖是古希臘的重要學(xué)者和數(shù)學(xué)家,是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一,對算術(shù)理論有著深入的研究。丟番圖所著的《算術(shù)》完全脫離了幾何形式,在希臘數(shù)學(xué)中獨樹一幟。《算術(shù)》是一本劃時代的著作,它在歷史上影響之大,可以和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。

        《算術(shù)》從純分析的角度處理數(shù)論問題,這是希臘算術(shù)與代數(shù)的較高境界。丟番圖的《算術(shù)》是研究數(shù)論的,它討論了一次、二次以及個別的三次方程,還有大量的不定方程?,F(xiàn)在對于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程,如果只考慮其整數(shù)解,這類方程就叫做“丟番圖方程”,它是數(shù)論的一個分支。但丟番圖并不要求解是正整數(shù),而是要求解為正有理數(shù)。丟番圖在《算術(shù)》中已經(jīng)有意識地運用“平方差公式”解決相關(guān)的二次方程和不定方程問題,下面舉例加以說明。

        1.已知兩數(shù)之和(差)與積,求這兩個數(shù)。

        公元3世紀(jì),丟番圖在其《算術(shù)》第1卷第27題中,運用古巴比倫人的“和差術(shù)”,通過“平方差公式”來解答這個問題。

        假如已知兩數(shù)之和為20、積為96,求這兩個數(shù)。其解法用我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言敘述為:假設(shè)所求兩數(shù)分別為10+x和10-x,則(10+x)·(10-x)=96,根據(jù)“平方差公式”得100-x2=96,故x2=4,從而求得x=2(當(dāng)時人們認(rèn)識的數(shù)還僅限于正有理數(shù))。于是,所求兩數(shù)分別為10+2和10-2,即12和8。

        類似地,假如已知兩數(shù)之差為8、積為65,求這兩個數(shù)。其解題方法與上述方法相同,假設(shè)所求兩數(shù)分別為x+4和x-4,則(x+4)(x-4)=65,根據(jù)“平方差公式”得x2-16=65,故x2=81,從而求得x=9。于是,所求兩數(shù)分別為9+4和9-4,即13和5。

        2.兩個已知數(shù)各加上同一個數(shù),使所得的和均為平方數(shù),求所加的數(shù)是多少。

        丟番圖運用“平方差公式”解決上述不定方程問題,在其《算術(shù)》第2卷第11題中對此類問題給出了詳盡的解答。

        其解法用我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言敘述為:假如已知兩數(shù)為13和24,把13和24分別加上同一個數(shù),使所得的和均為平方數(shù),求所加的數(shù)是多少。假設(shè)所加的數(shù)為x,不妨設(shè)13+x=a2①,24+x=b2②,②-①得b2-a2=11。根據(jù)“平方差公式”得(b+a)(b-a)=11,如果取b+a=11,b-a=1,由此解得b=6,a=5,將a=5代入①,從而求得x=12,故所加的數(shù)可以是12,至此得到問題的一個解。

        乘法公式主要用于乘法運算和因式分解,而今天所呈現(xiàn)的簡潔形式則應(yīng)歸功于數(shù)學(xué)符號化的進(jìn)程,直到公元16世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)用字母表示“平方差公式”時,它的對稱美和簡潔美才呈現(xiàn)在我們面前。雖然古人沒有能用今天這么簡潔的形式來表示“平方差公式”,但這并沒有影響古人對“平方差公式”結(jié)構(gòu)和算理上的認(rèn)識。事實上,早在數(shù)學(xué)符號引進(jìn)之前的大約1300年間,數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些整式乘法的運算規(guī)律,并在具體問題解決中加以廣泛的應(yīng)用。

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