許高齊，陳 玉，王 鵬

(安徽工程大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

隨著自動化的不斷普及，步進電機的市場需求量不斷加大，而混合式步進電機因其優(yōu)點多而得到了廣泛應(yīng)用。步進電機的原理是電機每接受一個脈沖信號，與之對應(yīng)的就轉(zhuǎn)動相應(yīng)的角度或者進行一段直線位移，因此步進電機是一種可以將接受到的脈沖信號轉(zhuǎn)為角位移或線位移的機構(gòu)[1]。在工業(yè)應(yīng)用中，根據(jù)實際需求，對步進電機的性能提出了更高的要求，而步進電機性能是由其所采用的控制方法決定的。目前很多學(xué)者在步進電機控制方面進行了大量研究，蔡開龍[2]等提出采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對步進電機的PID控制參數(shù)進行調(diào)整，提升了控制器計算速度與適應(yīng)性，效果顯著。董雷[3]等在兩項混合式步進電機位置控制中應(yīng)用了滑膜控制，使得電機位置控制的系統(tǒng)動態(tài)性能更加穩(wěn)定。何慶[4]利用粒子群算法與常規(guī)PID相結(jié)合對步進電機的PID參數(shù)尋優(yōu)調(diào)整，同時以卡爾曼濾波對控制噪聲進行去噪，有效地改善了步進電機失步等現(xiàn)象。

PID控制技術(shù)在工程實踐中應(yīng)用非常廣泛，而PID控制器是PID控制的核心，早在20世紀30年代英國學(xué)者考倫德和斯蒂文森首次提出PID控制器方法之后[5]，PID控制器以其自身的優(yōu)勢在工業(yè)技術(shù)中占有一席之地。對于步進電機控制常采用傳統(tǒng)常規(guī)PID控制，但傳統(tǒng)常規(guī)PID控制效果受到參數(shù)辨識精度的限制，因此傳統(tǒng)常規(guī)PID控制很難滿足步進電機時變和不確定性等控制系統(tǒng)問題。模糊PID控制通過將復(fù)雜的規(guī)則條件與信息通過計算機進行模糊推理，實現(xiàn)PID參數(shù)自調(diào)整，從而適應(yīng)步進電機時變與不確定性等特點[6]。研究利用Matlab中Fuzzy Logic工具箱設(shè)計了一種模糊PID控制器應(yīng)用于步進電機控制，并進行仿真，結(jié)果表明其控制效果較好。

設(shè)計了一種應(yīng)用于步進電機的模糊PID控制器，實現(xiàn)了PID參數(shù)自調(diào)整，并與傳統(tǒng)PID控制進行比照，仿真結(jié)果表明模糊PID控制對混合式步進電機的控制性能更好。

1 混合式步進電機的傳遞函數(shù)

1.1 混合式步進電機的選型

混合式步進電機在實際應(yīng)用上主要有3種，對應(yīng)的相數(shù)為兩相、三相、五相。兩相混合式步進電機高速環(huán)境下平穩(wěn)性好，但其相對步距角大、低速環(huán)境易振蕩；三相混合式步進電機與兩相混合式步進電機相比，三相混合式步進電機具有平穩(wěn)性好、步距角小、輸出力矩大等優(yōu)越性；而五相混合式步進電機精度高、低振蕩、高轉(zhuǎn)矩，但成本較高，控制較為復(fù)雜。為研究方便，以三相混合式步進電機為研究對象。

1.2 混合式步進電機傳遞函數(shù)

研究選用三相混合式步進電機，為后期設(shè)計模糊PID控制器提供研究理論基礎(chǔ)，需對三相混合式步進電機建立數(shù)學(xué)模型，三相混合式步進電機對應(yīng)的微分方程[7]：

(1)

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩對應(yīng)的平衡方程：

(2)

(3)

式中，j=a,b,c;k=a,b,c;j≠k，ua、ia、Ra即對應(yīng)的電壓、電流和電阻；其中,J為總慣量(kg·cm)；D為阻尼粘滯系數(shù)；T1為電磁轉(zhuǎn)矩(N·cm)；T2為負載轉(zhuǎn)矩(N·cm)；Lij為各相自感(mH)；Ljk為各相互感(mH)。系統(tǒng)中以三相混合式步進電機的輸入信號為脈沖信號，θ1是設(shè)定的旋轉(zhuǎn)角，θ2則為三相混合式步進電機工作中的旋轉(zhuǎn)角。θ2在電機工作過程中產(chǎn)生新平衡點處進行振蕩，根據(jù)小振蕩理論，得到三相混合式步進電機傳遞函數(shù)：

(4)

同時以三相混合式步進電機a相作為參考相，得到繞組a、b、c相的相電壓平衡方程式為：

(5)

(6)

(7)

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩平衡方程為：

(8)

設(shè)三相混合式電機為單相勵磁，以a-b-c-a相依次通電，T2=0，由式(2)、式(8)可得出三相混合式步進電機對應(yīng)的運動參數(shù)方程為：

(9)

(10)

由于δθ=θ2-θ1，θ2-θ1值幾乎為零，因此增量可忽略不計，可對其線性化處理，由式(10)可得：

(11)

將式(11)經(jīng)過Laplace Transform得：

(12)

三相混合式步進電機參數(shù)如表1所示。將表1中參數(shù)代入式(12)，可得：

(13)

表1 三相混合式步進電機參數(shù)表86系列常用電機齒數(shù)Zr轉(zhuǎn)動慣量J/Kg·cm2阻尼黏滯系數(shù)D感抗L/mH相電流ia步距角θ/°863S22401.30.072.451.2

2 混合式步進電機模糊PID控制器設(shè)計

2.1 模糊PID原理

模糊控制系統(tǒng)是將數(shù)學(xué)理論與模糊語言聯(lián)系起來，并進行邏輯推理的一種可知方法。在模糊控制系統(tǒng)中，通過模糊控制器將系統(tǒng)中的自然邏輯語言轉(zhuǎn)化為處理器能夠辨識的算法語言，同時計算機對閉環(huán)控制系統(tǒng)進行輔助計算和反饋[8]。模糊PID控制的輸入是根據(jù)系統(tǒng)設(shè)定的理想值與系統(tǒng)實際工作值之間的偏差e以及偏差變化率ec，以PID中3個環(huán)節(jié)對應(yīng)的參數(shù)Kp、Ki、Kd為輸出。在模糊控制器中按照操作人員長期積累的實踐經(jīng)驗形成的模糊規(guī)則將輸入值進行模糊化，得出不同時刻輸入值對應(yīng)的參數(shù)優(yōu)化整定值。用模糊控制對混合式步進電機進行控制是較為先進的一種控制方式，因混合式步進電機的調(diào)速系統(tǒng)較復(fù)雜，且伴隨大量非線性環(huán)節(jié)，這使得傳統(tǒng)的PID控制在一些控制要求較高時，并不能很好地滿足。因此，研究采用模糊控制算法與PID控制結(jié)合的方法對步進電機進行控制，以達到較快響應(yīng)和較高穩(wěn)定性的要求，對應(yīng)的混合式步進電機模糊PID系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 混合式步進電機模糊PID框圖

2.2 模糊PID控制器設(shè)計

(1)模糊控制器的選擇。研究以混合式步進電機實際工作轉(zhuǎn)速值與設(shè)定的理想工作轉(zhuǎn)速值之間的偏差值e和與之對應(yīng)的偏差變化率ec為控制器輸入，即控制器輸入變量只有兩個。在常用的模糊控制器中有一維模糊控制器和二維模糊控制器[9]，一維模糊控制器系統(tǒng)動態(tài)性能較差，其輸入量只有一項，而二維模糊控制器的輸入量數(shù)與輸出量數(shù)分別為2和1，可以很好地反映系統(tǒng)特性。輸入量為兩個可以較好地反映系統(tǒng)特性，因此，研究采用二維模糊控制器。

(2)確定控制器的隸屬函數(shù)。根據(jù)控制系統(tǒng)的邏輯信息相互結(jié)合的一個客觀過程，為研究方便，選用常用的三角型隸屬函數(shù)[10]，其特點在于函數(shù)的形狀由其線性斜率決定，可更加直觀地分析研究對象，同時計算方便。該隸屬函數(shù)可由3個參數(shù)表示其形狀，可描述為：

(14)

(3)語言變量的確定。經(jīng)控制算法運算，設(shè)ΔKP、ΔKi、ΔKd為輸出控制增量，同時電機工作轉(zhuǎn)速偏差e與轉(zhuǎn)速偏差率ec的模糊PID輸入范圍為[-3,3]。研究設(shè)計的模糊PID控制器以電機工作轉(zhuǎn)速與設(shè)定理想工作轉(zhuǎn)速的偏差e與偏差率ec為輸入，設(shè)置相應(yīng)語言變量的模糊集子集均為{NBNMNSZDPSPMPB}，設(shè)e與ec的論域均為[-3,-2,-1,0,1,2,3]，Kp、Ki、Kd論域也設(shè)為[-3,-2,-1,0,1,2,3]，其模糊集子集也定為{NBNMNSZDPSPMPB}。在Matlab輸入Fuzzy命令，調(diào)用Fuzzy Logic工具箱確定相應(yīng)的各模糊控制變量對應(yīng)的隸屬函數(shù)如圖2所示。

圖2 隸屬度函數(shù)設(shè)定

(4)參數(shù)整定原則與模糊規(guī)則確定。研究設(shè)計混合式步進電機模糊PID控制器是首先給電機設(shè)定一個理想工作轉(zhuǎn)速值，再將電機實際工作的轉(zhuǎn)速值與設(shè)定的理想轉(zhuǎn)速值之間的偏差e作為控制系統(tǒng)的偏差，其偏差e與偏差變化率ec即為輸入，而電機在實際工作過程中需將電機的工作速度盡可能地接近理想工作速度，因此需要根據(jù)專家經(jīng)驗設(shè)計相應(yīng)的模糊規(guī)則。相應(yīng)的參數(shù)整定規(guī)則如下：

①Kp是控制器的比例環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)調(diào)節(jié)速度具有正向增益關(guān)系，即系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，Kp應(yīng)取值越大。但Kp不能取值過大，過大將使系統(tǒng)超調(diào)量也隨之增大，導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性降低。一般步進電機的工作轉(zhuǎn)速與理想工作轉(zhuǎn)速差值的絕對值(偏差e)較大或較小時，Kp值應(yīng)取較大值。

②Ki是控制器積分環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)在系統(tǒng)調(diào)節(jié)初階段易出現(xiàn)積分飽和，此時Ki應(yīng)取小值。而步進電機工作轉(zhuǎn)速與設(shè)定的理想工作轉(zhuǎn)速差值的絕對值(偏差e)較大或較小時，Ki取較大值，基于此保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。

③Kd是控制器微分環(huán)節(jié)，其決定系統(tǒng)動態(tài)特性，Kd不宜過大，過大將導(dǎo)致系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間加長，抗干擾能力下降。當(dāng)步進電機工作轉(zhuǎn)速與設(shè)定的理想工作轉(zhuǎn)速差值的絕對值(偏差e)較大時，Kd應(yīng)取較小，以降低超調(diào)量。若步進電機工作轉(zhuǎn)速偏差變化率較大時，Kd也應(yīng)取較小。

因此需要根據(jù)比例、積分、微分環(huán)節(jié)3個參數(shù)與偏差和偏差變化率之間的關(guān)系來進行PID參數(shù)的整定。根據(jù)工程實際操作者的經(jīng)驗與控制知識，確定堆垛機模糊控制器的模糊控制規(guī)則表[11]如表2所示?？蓪?shù)Kp、Ki、Kd進行在線調(diào)整，其中Kp0、Ki0、Kd0為模糊PID參數(shù)整定的初始值，其與傳統(tǒng)PID控制中的參數(shù)一致，通過試湊法將Kp0、Ki0、Kd0對應(yīng)的初始值分別取1.9、8.9、2.8，ΔKp、ΔKi、ΔKd是模糊控制器對應(yīng)參數(shù)調(diào)整量，得出整定后的模糊PID參數(shù)為：

(15)

2.3 模糊推理及解模糊

通過Fuzzy Logic工具箱中的Rule Editor模塊編寫規(guī)則表。模糊控制器模糊語句采用“IfAandBthenCandDandE”。將表2模糊規(guī)則寫入Rule Editor，形成49條模糊控制語句。依據(jù)這些控制規(guī)則語句對系統(tǒng)進行模糊控制。在Ruler Editor模塊編寫完成后，通過Mamdani法進行推理，推理結(jié)果如圖3所示。當(dāng)e=1，ec=2時，Kp=-1.35，Ki=1.35，Kd=0.218。同時，e、ec的變化對應(yīng)的Kp、Ki、Kd影響關(guān)系圖分別如圖4、圖5、圖6所示。將fis文件命名為“Test1”保存在工作空間中。

圖3 采用Mamdani法推理過程 圖4 Kp對應(yīng)關(guān)系圖

圖5 Ki對應(yīng)關(guān)系圖 圖6 Kd對應(yīng)關(guān)系圖

3 系統(tǒng)仿真

在Matlab命令窗口欄中輸入“Test1=readfis(‘Test’)”命令，將之前設(shè)計的模糊控制器與Simulink連接，根據(jù)上述分析與混合式電機數(shù)學(xué)建模得出的傳遞函數(shù)，在Simulink中添加微分模塊、積分模塊、比例模塊、模糊控制器模塊、傳遞函數(shù)模塊、示波器模塊等，按照模糊PID原理將各模塊對應(yīng)相連接起來，建立步進電機模糊PID控制系統(tǒng)模型框圖如圖7所示，其中，e、ec對應(yīng)的量化因子Ke、Kec分別是0.1和0.2，比例因子Ku是3。生成經(jīng)過模糊控制器整定后的Kp、Ki、Kd結(jié)果如圖8、圖9、圖10所示。仿真結(jié)果對比如圖11所示。在圖11中，虛線為傳統(tǒng)PID控制下步進電機階躍響應(yīng)仿真結(jié)果，實線為模糊PID控制下步進電機階躍響應(yīng)仿真結(jié)果。由圖11中可以看出，在同一工作環(huán)境下，模糊PID控制輸出響應(yīng)快且較為穩(wěn)定，在約3 s時系統(tǒng)趨向穩(wěn)定，上升時間約0.8 s，超調(diào)量約21%。而傳統(tǒng)PID控制，響應(yīng)時間較慢，在約10 s才趨向穩(wěn)定，系統(tǒng)上升時間約1.8 s，超調(diào)量約41%。因此，模糊PID控制較傳統(tǒng)PID控制，其響應(yīng)速度更快、超調(diào)量更小，平穩(wěn)性與穩(wěn)定性能更強。

圖7 混合式步進電機PID控制器Simulink仿真框圖

圖8 整定后Kp 圖9 整定后Ki

圖10 整定后Kd 圖11 仿真對比圖

4 結(jié)論

以三相混合式步進電機作為研究對象，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，得到對應(yīng)的傳遞函數(shù)。利用Fuzzy Control工具箱設(shè)計了混合式步進電機模糊PID控制器，實現(xiàn)了對控制器PID參數(shù)Kp、Ki、Kd的實時調(diào)整，并在Simulink中完成仿真驗證，將模糊PID與傳統(tǒng)PID進行對比，結(jié)果表明模糊PID控制各方面性能指標都較傳統(tǒng)PID好，驗證了設(shè)計的模糊PID控制器在混合式步進電機控制應(yīng)用中的優(yōu)越性，具有一定的實際應(yīng)用價值。