SHEIANOV Aleksandr, 康爾良

(哈爾濱理工大學，哈爾濱150080)

0 引 言

永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)無傳感器測量技術(shù)由于消除了位置傳感器易碎、噪聲大、成本高等缺點，受到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[1-2]。該技術(shù)通過測量定子側(cè)的電壓和電流信息，并結(jié)合相關(guān)算法，估算出轉(zhuǎn)子的位置信息。轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的準確估算是影響這類系統(tǒng)性能的關(guān)鍵。

卡爾曼濾波器系列中有許多類型的觀測器。卡爾曼濾波器最初是線性類型的估計器，也稱為線性二次估計器(以下簡稱LQE)?？柭鼮V波器是以Kalman R命名的，也就是這個理論的開發(fā)者[3]?？柭鼮V波器在所有線性估計器和觀測器中具有最好的性能，在飛行器，特別是飛行器和航天器的制導、導航和控制等領(lǐng)域有著廣泛的應用。至于非線性問題，卡爾曼濾波器家族也提供了許多不同的方法[4]。迄今為止，研究最多的是擴展卡爾曼濾波器，它首先根據(jù)先前的估計來計算預測狀態(tài)，然后以相同的方式，輸出函數(shù)h根據(jù)預測狀態(tài)來計算預測測量值。然而，這種濾波器的f和h不能直接應用于協(xié)方差，因此，需在每個時間步長中[5]計算偏導矩陣(雅可比矩陣)。雖然EKF(Extended Kalman Fitler)應用于電機控制是相對簡單的，但它有許多主要缺點:線性化過程中雅可比矩陣的推導比較復雜；因為忽略了高階項，EKF僅具有一階精度；線性化引起的濾波器不穩(wěn)定性。

為了消除這些問題，使非線性卡爾曼濾波器族比其他非線性算法更精確、更優(yōu)越，Julier和Uhlmann[6],提出了一種改進非線性卡爾曼濾波器性能的新方法。無跡卡爾曼濾波器(以下簡稱UKF不是在每個時間步長對非線性系統(tǒng)進行線性化(求解雅可比矩陣)，而是使用樣本點的最小集合，這些樣本點被饋送到非線性狀態(tài)方程，以獲得預測步長中非線性系統(tǒng)的均值和協(xié)方差，然后根據(jù)新的測量結(jié)果來校正預測估計值。UKF已成功地應用于導航、雷達跟蹤、信號處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和機器人等實際應用[7-8]。AKIN[9]報道了UKF在電機控制中的首次實現(xiàn)。Borsjie P等人[10]報道了UKF在PMSMd-q參考系下的無傳感器矢量控制應用；Titaouine A,Taibi D[11]結(jié)合逆變器的非線性控制；Cheol Moon, Kee Hyun Nam[12]在α-β參考系中實現(xiàn)了該算法。然而，到目前為止，關(guān)于UKF在內(nèi)置式永磁同步電機(以下簡稱IPMSM)應用中的論文寥寥無幾。

目前，對滑模觀測器已經(jīng)進行了大量的研究，這些研究都表明在實時應用中實現(xiàn)這種方案的潛力很大[13]?；Ｓ^測器在商業(yè)產(chǎn)品中已被廣泛使用，因為其簡單，顯示出相對良好的性能，并且可以在廉價的定點DSP上實現(xiàn)，從而降低了產(chǎn)品的成本和尺寸。然而，在低速范圍內(nèi)它表現(xiàn)出較差的性能，這在一些應用中是非常關(guān)鍵的因素，因此有學者提出通過起動技術(shù)[14-15]以及高頻注入方法[16-20]來增強滑模觀測器，規(guī)避起動的問題。這在低速范圍內(nèi)這增加了無傳感器方案的計算量和復雜性。

本文是對上述文獻的擴展。此外，本文還對UKF和滑模觀測器進行了比較，在MATLAB/Simulink中進行了仿真，表明這兩種算法在性能上有明顯的差異。

1 PMSM數(shù)學模型

卡爾曼濾波器需要該系統(tǒng)的數(shù)學模型，以便估計系統(tǒng)的狀態(tài)。受控系統(tǒng)數(shù)學模型的制定是估計器設(shè)計階段的一項重要任務。正確的模型不僅可以簡化估計問題的求解，而且可以簡化整個算法的計算量。

為了避免起動時的收斂問題和簡化電機方程，選擇d-q參考系來評估卡爾曼濾波器[2]。電機非線性狀態(tài)方程可以表示：

(1)

y(t)=Hx(t) (2)

式中：輸入向量u=[uduq]T；輸出向量y=[idid]T。UKF由4個狀態(tài)變量組成：靜止參考幀電流、估計速度和估計角度。由于機械變量有快速變化的趨勢，并且很難正確測量，所以狀態(tài)變量僅由電變量組成。狀態(tài)變量向量x=[idiqωeθe]T。通過取式(1)和式(2)中的偏導，我們可以寫出系統(tǒng)狀態(tài)矩陣：

2 UKF

對于使用UKF的PMSM無傳感器控制，電機非線性狀態(tài)方程式(1)和式(2)應以離散形式：

xk+1=Fd(xk)xk+Gduk+Bwwk(3)

yk=Hdxk+vk(4)

式(3)和式(4)所表示的狀態(tài)模型還包括對誤差的統(tǒng)計描述，其中wk～N(0,Qk)和vk～N(0,Rk) 分別是協(xié)方差矩陣Qk和Rk的零均值高斯過程噪聲和測量噪聲向量。

2.1 無跡變換

無跡變換的設(shè)計是基于這樣的事實，即近似概率分布比近似非線性函數(shù)(后面是EKF所基于的原理)更容易。關(guān)鍵是在高斯輸入的情況下，近似精確到第三階。對于非高斯輸入，近似精確到至少一個二階。因此，UKF期望比僅具有一階精度的EKF提供更好的性能和精度。

西格瑪點集：

(5)

式中：L是維數(shù)。

加權(quán)：

式中：λ=α2(L+κ)-L，λ表示縮放參數(shù)；上標m，c表示均值和協(xié)方差計算的加權(quán)點；α決定了西格瑪點在x附近的擴展，10-4<α≤1；常數(shù)κ是另一個標度參數(shù)，通常設(shè)置為κ=3-L；β是x分布的先驗知識(對于高斯分布β= 2是最優(yōu)的)。

每個點通過非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移和測量函數(shù)傳播，以產(chǎn)生一組變換后的點：

Yi=g(χi)i= 1,…,2L(6)

用加權(quán)平均值和協(xié)方差近似y的均值和協(xié)方差：

(7)

2.2 UKF算法

UKF是無跡變換遞歸卡爾曼濾波方程的直接應用。UKF流程如圖1所示。

圖1 UKF框圖

UKF算法包括以下步驟：

(1) 計算西格瑪點的集合。

(2) 通過非線性PMSM模型傳播西格瑪點：

χk|k-1=f(χk|k-1;uk|k-1)

(3) 計算預測平均值：

(4) 計算預測協(xié)方差：

(5) 通過觀測模型對每個預測點進行變換：

Yk|k-1=h[χk|k-1]

(6) 計算預測觀測的加權(quán)平均值：

(7) 計算創(chuàng)新協(xié)方差矩陣：

(8) 計算互協(xié)方差矩陣：

(9) 校正步驟使用正規(guī)卡爾曼濾波方程進行更新。

卡爾曼增益：

Kk=Pxk ykPykyk-1

修正估計狀態(tài)：

校正協(xié)方差

圖2 基于UKF估計的無傳感器閉環(huán)系統(tǒng)

3 滑模觀測器

本文對無傳感器滑模觀測器作簡要的說明，然后在MATLAB/Simulink中進行仿真。這種控制算法的完全推導、改進和結(jié)果可以參照文獻[16]。

式中：iα和iβ表示的是在靜止參考系中被測定子電流；uα和uβ表示的是在靜止參考系中PMSM所施加的電壓。定義x= [x1,x2]T= [iα,iβ]T，eα=ωψfsinθ，eβ=-ωψfcosθ，在α-β中的PMSM的狀態(tài)空間模型：

(9)

采用滑模觀測器的目的是在不知道電機實際轉(zhuǎn)子位置和速度的情況下調(diào)節(jié)電機速度，即實現(xiàn)PMSM的無傳感器控制。同時，為了避免抖動，將傳統(tǒng)的滑模觀測器中的符號切換函數(shù)由以下飽和函數(shù)代替：

(10)

通過在滑模觀測器中應用飽和函數(shù)，定義的滑動變量可以在有限時間內(nèi)到達邊界層，并在邊界層中停留。估計模型如下：

(11)

從式(9)和式(11)，可以導出以下關(guān)系：

(12)

(14)

將上述方程經(jīng)過拉普拉斯變換之后，可以得到以下傳遞函數(shù)：

(16)

由變量σ1和σ2定義的滑動面可視為eα和eβ的濾波信號。因此，利用這一原理，我們可以提取轉(zhuǎn)子的位置信息，然后使用鎖相環(huán)方案，計算出轉(zhuǎn)子速度。下面將比較兩種無傳感器控制方法。

4 仿真結(jié)果

通過兩種算法的仿真來驗證所提出算法的性能，從中可以得到一些明顯的差異。仿真中使用的IPMSM的參數(shù)如表1所示。

表1 IPMSM參數(shù)

圖3是用滑模觀測器模擬的。從系統(tǒng)的速度響應可以看出，在低速區(qū)域，特別是700 r/min時，系統(tǒng)存在一些振蕩。這是這種類型的觀察器的一種常見行為，表明它不能應用于一些低速應用。而700 r/min后，可以高精度跟蹤速度和角度，并且具有較小的誤差，在額定速度下可以忽略。整個系統(tǒng)顯示出較好的性能，但在實際應用中還需要一些起動算法，如：I-f起動或高頻注入。運行到600 r/min后，切換到滑模觀測器跟蹤算法。

(a) 實際和滑模觀測器速度響應

(b) 實際和滑模觀測器計算的角度

(c) 實際速度與滑模觀測器之間的誤差

(d) 實際 θ角度和滑模觀測器計算之間的誤差

下面闡述UKF算法以及其特點。為了驗證所提出的算法，在系統(tǒng)運行0.5 s之后增加一半的額定負載。從圖4(a)可以看出，UKF在低速區(qū)域以及中高速區(qū)域顯示出了更好的性能，并且完全跟蹤真實的系統(tǒng)速度響應。如圖4(b)所示，UKF的速度誤差更小，這也進一步證明了上述結(jié)論。

(a) 實際和UKF系統(tǒng)速度響應

(b) 實際和UKF系統(tǒng)速度誤差

(c) 實際和UKF系統(tǒng)角度響應

(d) 實際系統(tǒng)和用UKF計算之間的角度誤差

(e) UKF系統(tǒng)的電壓響應

理論上，由于UKF的噪聲抑制能力，在電機低速情況下，與基于滑模觀測器的轉(zhuǎn)子位置估算結(jié)果相比，UKF能夠提供更可靠的轉(zhuǎn)子位置估計。圖5(a)和圖5(b)中，基于UKF估算轉(zhuǎn)子位置時，在電機低速運行的情況下，d-q軸電流估算結(jié)果噪聲較少，這與UKF的噪聲抑制能力有關(guān)。從圖5(c)可以看出，在電機轉(zhuǎn)速高于100 r/min后，可得到準確的轉(zhuǎn)子位置估算結(jié)果。因此，在本文控制算法中，首先通過預設(shè)頻率、幅值可調(diào)的電流矢量將電機轉(zhuǎn)至100 r/min(有些文獻中稱為I-F控制)，此后切換至基于UKF的無傳感器閉環(huán)控制算法。基于上述控制方法，可使電機由靜止快速切換至閉環(huán)控制，較大地縮短了起動時間，適用于對起動時間要求較快的場合。

(a) 實際和UKF估計的Id電流響應

(b) 實際和UKF估計的Iq電流響應

(c) 實際和UKF系統(tǒng)低速響應

但是，系統(tǒng)的唯一缺點是它不能在定點處理器上實現(xiàn)，因為算法不能保證狀態(tài)協(xié)方差矩陣的收斂。但在TI TMS320F28335的浮點處理器上，可以較容易地實現(xiàn)，該芯片的時鐘頻率為150 MHz，具有足夠的資源在一個中斷期間內(nèi)計算整個無傳感器控制算法。

5 結(jié) 語

本文對基于UKF的無位置傳感器PMSM驅(qū)動系統(tǒng)進行了研究。與滑模觀測器的比較表明，UKF在低速區(qū)域給出更精確的位置和速度估計，而且由于不需要使用附加的起動技術(shù)，UKF可以應用于更廣泛的領(lǐng)域。特別地，UKF在跟蹤瞬變期間的速度方面執(zhí)行得更好。同時，對于PMSM驅(qū)動器內(nèi)存在的噪聲，UKF的性能優(yōu)于滑模觀測器，并且在擴展速度范圍內(nèi)控制仍然有效。UKF算法比滑模觀測器更復雜，因此運算量要大得多。為了成功實現(xiàn)基于UKF的無傳感器PMSM驅(qū)動，必須選擇高性能的DSP。