湖北 項(xiàng) 欣 王衛(wèi)華

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的基本理念和總體目標(biāo)的體現(xiàn)，可以有效地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》修訂稿提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六種核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，要求數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)，教師在教學(xué)中通過設(shè)置數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力.

一.數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的定義及相關(guān)價(jià)值

從數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵看，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題.

從數(shù)學(xué)建模的學(xué)科價(jià)值看，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中形成的，它集理解問題、提出問題、分析問題和解決問題于一身，是最具有綜合性的數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)搭建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.

從數(shù)學(xué)建模的教育價(jià)值看，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián),學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn),認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神.

二.數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的學(xué)業(yè)質(zhì)量水平劃分

每一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平，每一個(gè)水平是通過數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)和體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的情境與問題，知識(shí)與技能，思維與表達(dá)，交流與反思四個(gè)方面進(jìn)行表述.數(shù)學(xué)建模的三個(gè)水平表述如表：

水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的要求，也是高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù)；水平二是高考的要求，也是數(shù)學(xué)高考的命題依據(jù)；水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成提出的要求，可以作為大學(xué)自主招生的參考.

三、數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)模型是由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法.也就是說，數(shù)學(xué)模型就是通過抽象和簡化，把某一特定的問題或者具體事物的某種具體特征和內(nèi)在聯(lián)系使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法表達(dá)出來并將問題解決.作為反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，具有逼真性和可行性，抽象性和轉(zhuǎn)移性，多樣性和優(yōu)化性.

1.逼真性和可行性

通常情況下，作為解決現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型，要求越是逼真越好，但越逼真的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)處理上越復(fù)雜，需要考慮的因素就越多，甚至需要跨多學(xué)科建模，不易達(dá)到解決問題的目的.在高中數(shù)學(xué)建模時(shí)，可以適時(shí)簡化考查因素，設(shè)置建模預(yù)期目標(biāo)，只要能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)就是可行的.比如在解決貸款買房的問題時(shí)，我們?cè)诟咧须A段要忽略通貨膨脹的因素等.

2.抽象性和轉(zhuǎn)移性

數(shù)學(xué)模型就是通過抽象和簡化，把某一特定的問題或者具體事物的某種具體特征和內(nèi)在聯(lián)系使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法表達(dá)出來并將問題給予解決.對(duì)于某一特定問題建立的數(shù)學(xué)模型可以轉(zhuǎn)移到其他適當(dāng)?shù)念I(lǐng)域使用.比如解決了貸款買房的問題，我們也可以用相同的模型解決退耕還林的問題.

3.多樣性和優(yōu)化性

數(shù)學(xué)建模建立的數(shù)學(xué)模型，隨著時(shí)間的變化，以前建立的模型的諸多因素將發(fā)生變化，不可能總用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型去解決問題，要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的多樣性，對(duì)同一問題的數(shù)學(xué)模型需要不斷優(yōu)化.

四.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的具體體現(xiàn)及案例

數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問題中的因素進(jìn)行簡化，抽象變成數(shù)學(xué)中的參數(shù)和變量，運(yùn)用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行求解和驗(yàn)證，并確定最終是否能夠用于解決問題的多次循環(huán).數(shù)學(xué)建模能力包括轉(zhuǎn)化能力、數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力、創(chuàng)造能力和溝通與合作能力.數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立和求解模型、檢驗(yàn)和完善模型、分析和解決問題.

高中數(shù)學(xué)建模的主要知識(shí)載體：平面向量及應(yīng)用、復(fù)數(shù)、概率、數(shù)列、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用、空間向量與立體幾何、平面解析幾何、計(jì)數(shù)原理.

從現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材，筆者找到了以下幾個(gè)例子，可以從現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題切入，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想，并開展活動(dòng).

1.函數(shù)最值的研究

可以由現(xiàn)實(shí)生活中的面積、體積的最值、用料最省、費(fèi)用最低等問題引入，發(fā)現(xiàn)和提出問題，引導(dǎo)出函數(shù)模型，提出函數(shù)單調(diào)性的概念及性質(zhì)等知識(shí)，最終幫助解決最值問題.在教學(xué)中，還可以穿插強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象的教學(xué)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，最后提出投資方案的選擇問題(必修一3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用)，建立一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等模型，直觀用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，做到能多次循環(huán)解決同類型的問題.

2.三角函數(shù)的應(yīng)用(解三角形)

可以由現(xiàn)實(shí)生活中的測量問題、足球射門角度問題、觀察的最大視角問題、緝私船的追擊方向問題等，引入對(duì)三角函數(shù)的應(yīng)用，建立相關(guān)解三角形數(shù)學(xué)模型(什么情況下用正弦定理，什么情況下用余弦定理).

3.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

可以由現(xiàn)實(shí)生活中的房貸分期還款、存款利息、利潤增長等問題引入用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.

4.概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用

5.立體幾何的應(yīng)用

可以由現(xiàn)實(shí)生活中的體積、面積、長度測量與極值問題、幾何體的最佳設(shè)計(jì)等問題引入用立體幾何的相關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.

6.解析幾何的應(yīng)用

可以由現(xiàn)實(shí)生活中的拱橋及衛(wèi)星軌道的設(shè)計(jì)問題、投擲項(xiàng)目的最遠(yuǎn)距離問題、簡單的線性規(guī)劃問題等引入用解析幾何的相關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.

五.2018年高考試題中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的案例分析

例1.(2018全國卷Ⅰ理·20題)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(Ⅰ)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；

(Ⅱ)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，p=0.1.

本次會(huì)議還對(duì)優(yōu)秀品牌、優(yōu)秀產(chǎn)品進(jìn)行了表彰。品牌類：美菱榮獲2018年中國電冰箱行業(yè)保鮮領(lǐng)導(dǎo)品牌；美的榮獲2018年中國電冰箱行業(yè)智能領(lǐng)軍品牌；海爾榮獲2018年中國電冰箱行業(yè)科技領(lǐng)袖品牌；TCL榮獲2018年中國電冰箱行業(yè)智慧健康創(chuàng)新品牌。產(chǎn)品類：奧馬纖薄系列冰箱榮獲2018年中國電冰箱行業(yè)完美嵌入時(shí)尚先鋒。

(ⅰ)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ⅱ)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

案例評(píng)析：本題以產(chǎn)品檢測質(zhì)量的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用問題為切入口，考查了獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布等概念，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解最值的跨章節(jié)知識(shí)點(diǎn).通過對(duì)隨機(jī)變量期望考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，更考查實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)建模思想.

例2.(2018全國卷Ⅱ理·18題)如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.

(Ⅰ)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

(Ⅱ)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

解：(Ⅰ)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為

(Ⅱ)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.

案例評(píng)析：數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上就是一個(gè)解決問題的過程.本題以實(shí)際問題環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為切入口，考查學(xué)生選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，利用函數(shù)擬合的方法進(jìn)行預(yù)測，并根據(jù)實(shí)際背景對(duì)結(jié)果進(jìn)行預(yù)測的解決問題的能力.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得以充分呈現(xiàn).

例3.(2018全國卷Ⅲ理·18題)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式86556899762701223456689877654332814452110090

(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

(Ⅱ)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表；

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

(Ⅰ)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

理由如下：(ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

列聯(lián)表如下：

超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515