山東 王中華

核心素養(yǎng)著力培養(yǎng)的是提高學生面對復雜情境問題的解決能力，使之能夠適應(yīng)飛速發(fā)展的信息時代和復雜多變的未來社會.學生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.逐步學會用數(shù)學的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)；用數(shù)學的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．增強創(chuàng)新意識和數(shù)學應(yīng)用意識．本文通過具體的例子探討六大數(shù)學核心素養(yǎng)在不等式、函數(shù)與導數(shù)中的滲透.

素養(yǎng)一、數(shù)學抽象

樣題1.若對于定義在R上的函數(shù)f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0對任意實數(shù)都成立，則稱f(x)是一個“λ伴隨函數(shù)”.下列是關(guān)于“λ伴隨函數(shù)”的結(jié)論：

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A.1 B.2

C.3 D.4

【素養(yǎng)在線】本題考查“新定義”，解題的關(guān)鍵是正確理解“新定義”，并用“新定義”解決問題，主要是能將“新問題”轉(zhuǎn)化為“老問題”、用“老方法”解決問題.此類題型是高考的一個亮點,是用數(shù)學符號、文字敘述給出一個教材之外的新定義，如本題中的“λ伴隨函數(shù)”，要求考生在短時間內(nèi)通過閱讀、理解后，抽象出“λ伴隨函數(shù)”的實質(zhì)，解決題目給出的問題.解決該類問題的關(guān)鍵是準確把握新定義的含義，對新定義提煉升華，把從定義和題目中獲取的信息進行有效整合，并轉(zhuǎn)化為熟悉的知識加以解決,以此考查學生數(shù)學抽象素養(yǎng)．

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【解析】因為函數(shù)f(x)=log2(2x+t)為“倍縮函數(shù)”，定義域D={x|2x+t>0},

易知f(x)在[a,b]上是增函數(shù)，

素養(yǎng)二、邏輯推理

樣題2．(2018·全國卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a．

【解析】(1)證明：當a=1時，f(x)≥1等價于(x2+1)·e-x-1≤0．

設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x．

g′(x)≤0，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減．

而g(0)=0，故當x≥0時，g(x)≤0，即f(x)≥1．

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x．

f(x)在(0,+∞)只有一個零點等價于h(x)在(0,+∞)只有一個零點．

(i)當a≤0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；

(ii)當a>0時，h′(x)=ax(x-2)e-x．

當x∈(0,2)時，h′(x)<0；當x∈(2,+∞)時，h′(x)>0．

所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增．

故h(x)在(2,4a)有一個零點，因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點．

【素養(yǎng)在線】邏輯推理包括歸納推理和演繹推理. 演繹推理是從一般性的前提出發(fā)，通過推導，即“演繹”，得出具體陳述或個別結(jié)論的過程.演繹推理的邏輯形式對于理性的重要意義在于它對人的思維保持嚴密性、一貫性有著不可替代的校正作用.演繹推理的最典型、最重要的應(yīng)用，通常存在于邏輯和數(shù)學證明中. 本題運用了演繹推理,需要先構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，再求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式.研究f(x)的零點，先利用導數(shù)確定只有一個零點的必要條件，再利用零點存在性定理確定條件的充分性，即得參數(shù)a的值.

【變式訓練2】(2018·全國卷Ⅲ理·21)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x．

(1)若a=0，證明：當-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a．

當-10時，g′(x)>0.故當x>-1時，g(x)≥g(0)=0，當且僅當x=0時，g(x)=0，從而f′(x)≥0，當且僅當x=0時，f′(x)=0.

所以f(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增.

又f(0)=0，故當-10時，f(x)>0.

(2)(i)若a≥0，由(1)知，當x>0時，f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0)，這與x=0是f(x)的極大值點矛盾.

又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點，當且僅當x=0是h(x)的極大值點.

故x=0不是h(x)的極大值點.

素養(yǎng)三、數(shù)學建模

樣題3．(2018·江蘇卷·17)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A,B均在線段MN上，C,D均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為θ．

(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；

(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3．求當θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

【解析】(1) 連接PO并延長交MN于H,則PH⊥MN,所以O(shè)H=10.過O作OE⊥BC于E,則OE//MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,

則矩形ABCD的面積:S矩形ABCD=(40sinθ+10)×80cosθ=800(4sinθcosθ+cosθ)，

=1 600cosθ-1 600sinθcosθ.

過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長線于G和K,則GK=KN=10.

(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3．

設(shè)甲種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值為4k(k>0),則乙種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值為3k,設(shè)年總產(chǎn)值為y.

f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-2sin2θ-sinθ+1=-(2sinθ-1)(sinθ+1).

【素養(yǎng)在線】本題需要建立矩形ABCD和△CDP的面積關(guān)于θ的三角函數(shù)模型, 建立甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值關(guān)于θ的三角函數(shù)模型,然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值.以此考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.利用數(shù)學建模解決實際應(yīng)用問題，首先要正確理解題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，選擇恰當?shù)哪Ｐ停黄浯?，將文字語言、圖形(或數(shù)表)等轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識建立相應(yīng)的數(shù)學模型，將實際問題化為數(shù)學問題，選擇合適的數(shù)學方法求解，再利用數(shù)學知識如函數(shù)、導數(shù)、不等式等解決問題；最后將利用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論，還原為實際問題的答案．在求解過程中要注意實際問題對變量參數(shù)的限制條件．

【變式訓練3】如圖,在直徑為1的圓O中,作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y>x>0.則十字形的最大面積是________.

【解析】設(shè)S為十字形的面積,則

素養(yǎng)四、數(shù)學運算

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【素養(yǎng)在線】數(shù)學運算是學生必備的最基本的數(shù)學素養(yǎng),只有具備了成熟的數(shù)學運算素養(yǎng),才能走出“會而不對，對而不全”的困境.數(shù)學運算包括對數(shù)字的計算、估值和近似值計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形和幾何量的計算求解等. 運算的準確、合理和熟練是數(shù)學能力高低的重要標志，需要經(jīng)過反復訓練才能提高這種能力,本題屬于線性規(guī)劃中的斜率型最值問題.【另解】中的“估算”簡單快捷. 對于客觀題，合理的估算往往比盲目的精確計算和嚴謹推理更為有效.

【解析】畫出不等式組表示的可行域(如圖中陰影部分所示)．

素養(yǎng)五、直觀想象

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【解析】當x<0時,g(x)=-x+1>0,此時g(g(x))=(-x+1)2-1=x2-2x；

當0≤x<1時,g(x)=x2-1<0,此時g(g(x))=-(x2-1)+1=-x2+2；

當x≥1時,g(x)=x2-1≥0,此時g(g(x))=(x2-1)2-1=x4-2x2,

作出函數(shù)y=g(g(x))和y=2m的圖象如下：

素養(yǎng)六、數(shù)據(jù)分析

(1)求a，b的值；

(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t．

①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．

【解析】(1)由題意知,點M,N的坐標分別為(5,40), (20,2.5).

【變式訓練6】 為了美化城市，某市將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，如圖所示．要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，|AB|=3米，|AD|=2米．

(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(2)若AN的長度不小于6米，則當AM，AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求最小面積．

此時|AN|=6米，|AM|=4.5米．