江蘇 曾小娟 張朋舉

圓是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，在高考中占據(jù)著重要的地位.縱觀近幾年的江蘇高考試題，可以看出，關(guān)于圓的相關(guān)問(wèn)題，無(wú)論填空題或解答題，解決的方法都離不開(kāi)軌跡思想，要有從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題的能力.因此，圓成為試題背景中常常涉及的知識(shí)點(diǎn)，并深受各類?？济}專家的青睞，在江蘇各大市的高三?？碱}中屢見(jiàn)不鮮.以下筆者結(jié)合近幾年江蘇各大市高三?？碱}，談?wù)劽圃囶}中隱藏圓的幾種不同視角.

一、利用圓的定義

中學(xué)數(shù)學(xué)的教科書(shū)中是這樣定義圓的：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的軌跡叫做圓.因此，很多命題專家經(jīng)常圍繞圓定義中的“定點(diǎn)”和“定長(zhǎng)”這兩個(gè)關(guān)鍵詞不同表征的呈現(xiàn)，將圓的定義隱藏在已知條件里，“萬(wàn)變不離其宗”的來(lái)命制試題.

例1.如果圓 (x-a)2+(y-a+2)2=1上恰有兩個(gè)點(diǎn)到(0，1)的距離為 2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解決現(xiàn)狀：筆者通過(guò)批閱自己執(zhí)教班級(jí)學(xué)生的解答情況，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生沒(méi)能想到圓的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系，而是研究?jī)蓚€(gè)方程x2+(y-1)2=4和(x-a)2+(y-a+2)2=1有兩組解時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，使運(yùn)算變得復(fù)雜,雖然最終也能算出來(lái)結(jié)果，但這種運(yùn)算顯然沒(méi)能觸及問(wèn)題本質(zhì).

試題命制：已知圓O：x2+y2=1，圓M：(x-a)2+(y-a+4)2=1．若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得∠APB=60°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．

二、利用直角

直徑所對(duì)的圓周角是直角，這是圓周角很好的一個(gè)性質(zhì)，因此，很多命題專家在命制試題時(shí)，在題目中經(jīng)常隱晦地出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成“直角”來(lái)隱藏圓.

例2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-4=0的最大值為_(kāi)_______.

試題命制：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(-1，0)，點(diǎn)Q(2，1)，直線l:ax+by+c=0,其中a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P在直線l上的射影為H，則線段QH的取值范圍是________.

三、利用PA=λPB(λ>0)

試題命制：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上. 若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

四、利用定長(zhǎng)弦的中點(diǎn)

一個(gè)定圓內(nèi)長(zhǎng)度一定的弦的中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這是大家熟知的結(jié)論.因此，很多時(shí)候高考命題專家們充分利用這一結(jié)論來(lái)隱藏圓，命制試題.

五、利用

六、利用PA2+PB2=λ(λ>0)

解決現(xiàn)狀：大部分同學(xué)對(duì)上面的“平方圓”結(jié)論陌生，且通過(guò)建立坐標(biāo)系，用“坐標(biāo)”將條件轉(zhuǎn)化為變量間的數(shù)量關(guān)系的意識(shí)淡薄，因此，沒(méi)能發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡，導(dǎo)致題目越算越繁，計(jì)算出錯(cuò)；當(dāng)然，也有少數(shù)同學(xué)通過(guò)建系得到了動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程，然后利用三角換元也得到了正確答案.

試題命制：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1，點(diǎn)A(0,2),若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2=10,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

本題和例6相比，雖然思維容量變小了，但實(shí)質(zhì)不變；只要學(xué)生了解“平方圓”，由MA2+MO2=10易得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為圓，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知圓C和求出的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡圓有交點(diǎn)的問(wèn)題，得到a∈[0,3].