云南 馬孟華

三角形面積的計(jì)算對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)“既熟悉又陌生”的問(wèn)題，熟悉是因?yàn)槿切蔚拿娣e計(jì)算經(jīng)常“出沒(méi)”在各種類(lèi)型的試題中，幾乎每次數(shù)學(xué)考試都要跟三角形的面積“打交道”.但仍然有很多學(xué)生卻又覺(jué)得很陌生，原因就在于不同問(wèn)題背景下需要選擇恰當(dāng)?shù)拿娣e計(jì)算公式才能順利解決問(wèn)題，公式選擇不恰當(dāng)將會(huì)使計(jì)算變得繁瑣和復(fù)雜，進(jìn)而無(wú)法在有限的時(shí)間內(nèi)順利解決問(wèn)題.三角形面積公式多，合理選擇就成為了關(guān)鍵，下面作者就以解析幾何為背景，通過(guò)對(duì)一道解析幾何試題的多維角度分析，從一題多解的方式入手闡述合理化選擇三角形面積公式的重要意義.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

【分析】此題為云南省下關(guān)第一中學(xué)2018年5月期中考試試題，第一問(wèn)顯然沒(méi)有難到學(xué)生，第二問(wèn)也比較常規(guī)，是高中階段解析幾何中常見(jiàn)的定值定點(diǎn)問(wèn)題.但在閱卷過(guò)程中，第二問(wèn)的得分率卻很低(筆者所在學(xué)校為云南省一級(jí)一等學(xué)校，生源較優(yōu))，究其原因，是學(xué)生在處理第二問(wèn)時(shí)，三角形面積公式的選擇多種多樣，而不同面積公式背景下的計(jì)算復(fù)雜、難易程度又不盡相同，從而導(dǎo)致很多學(xué)生不能得到較好的分?jǐn)?shù)，此題背景下，合理選擇三角形面積公式才是快速解題的關(guān)鍵.當(dāng)然，閱卷過(guò)程中也有創(chuàng)新的思考與見(jiàn)解，如：利用三角形面積公式的向量形式求解、利用極坐標(biāo)方程求解、利用橢圓伸縮變換成圓求解，就這樣，作者從學(xué)生的“火熱思考”和“奇思妙想”中得到啟發(fā)，從多角度探究得到了處理該問(wèn)題的多種方法，最終走向討論三角形面積計(jì)算的問(wèn)題上來(lái).

下面我們一起來(lái)看看該問(wèn)題在不同視角下的解法探究.

視角一常規(guī)解析幾何定值問(wèn)題，假設(shè)直線方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，配合使用三角形面積計(jì)算基礎(chǔ)公式即可(通性通法)

綜上，△MON的面積為定值1.

視角二直線方程假設(shè)有技巧，簡(jiǎn)化計(jì)算是方向

【分析】在解法一基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)假設(shè)直線MN的方程會(huì)使計(jì)算變得復(fù)雜、繁瑣，而有學(xué)生注意到直線OM,ON的方程較為簡(jiǎn)單，故可嘗試將橢圓方程與直線OM(或ON)的方程聯(lián)立求出M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而在△MON中可將OM(或ON)看作△MON的底邊，點(diǎn)N(或M)到直線OM(或ON)的距離也可求出，故可快速表達(dá)并計(jì)算出△MON的面積，解法如下：

故△MON的面積為定值1.

【評(píng)析】此法仍然延續(xù)使用了三角形面積的基礎(chǔ)公式，將研究的直線轉(zhuǎn)向了OM(或直線ON)，這樣計(jì)算得以簡(jiǎn)化，同時(shí)也避免了對(duì)直線斜率的討論，但由于三角形的面積公式仍然使用了基礎(chǔ)公式，故計(jì)算并未變得簡(jiǎn)單，加之很多學(xué)生由于計(jì)算能力和時(shí)間分配問(wèn)題導(dǎo)致了有想法但未能完成復(fù)雜的計(jì)算而完整的求解該題.

縱觀上述兩個(gè)視角下的兩種解題過(guò)程，呈現(xiàn)了一種經(jīng)典的解析幾何求解方法：設(shè)直線方程→聯(lián)立方程組→寫(xiě)出韋達(dá)定理→利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)→求其點(diǎn)到直線的距離→求三角形面積.解析幾何的經(jīng)典求解方法雖然凸顯了掌握解決問(wèn)題的通式通法的重要意義，但卻只完成了思考層面的程序化的問(wèn)題，接下來(lái)的計(jì)算問(wèn)題卻是大多數(shù)學(xué)生最難逾越的障礙，這樣雖然思路清晰，但卻難以準(zhǔn)確解答此題.是否有更加行之有效的方法解決這個(gè)問(wèn)題呢？當(dāng)然有，就是找到合適的三角形的面積公式.

視角三三角形面積公式的向量形式來(lái)助力

人教社新課標(biāo)A版《數(shù)學(xué)5》(必修)的第一章“解三角形”中，三角形的面積公式有了如下形式：

綜上，可得△ABC面積的向量形式為

設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)為△ABC任意兩條邊所構(gòu)成的向量，則△ABC面積為

事實(shí)上，三角形面積公式的向量形式脫離了邊長(zhǎng)、角度、高對(duì)三角形面積的束縛，只需三角形三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的任意兩個(gè)向量的坐標(biāo)即可，這同時(shí)也體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)解決幾何問(wèn)題，而向量就是連接幾何和代數(shù)問(wèn)題的橋梁.

在該面積公式的指引下，如果能夠找到△MON中點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，那么△MON的面積表示就變得簡(jiǎn)單和直接.當(dāng)然，解析幾何背景下點(diǎn)M,N的坐標(biāo)簡(jiǎn)單的假設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)是無(wú)法解決問(wèn)題的.如果在橢圓參數(shù)方程的背景下將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)假設(shè)成為含參數(shù)的三角函數(shù)形式，那么問(wèn)題是否就會(huì)有了轉(zhuǎn)機(jī)呢？下面我們來(lái)看看解法三.

故可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為M(2cosα,sinα),N(2cosβ,sinβ)，如圖所示，

由三角形面積公式的向量形式可知

【評(píng)析】由上述解法不難看出，在解析幾何背景下，三角形面積公式的向量形式的合理使用大大提升了解題效率！這當(dāng)然得歸功于：①三角形面積公式的向量形式將幾何三角形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問(wèn)題；②橢圓的參數(shù)方程又輕松實(shí)現(xiàn)了三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)的假設(shè)，這樣幾何問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化，而代數(shù)形式下的三角面積問(wèn)題又實(shí)現(xiàn)了三角函數(shù)化，而三角函數(shù)在解決函數(shù)最值、范圍等問(wèn)題上又有其優(yōu)勢(shì)，自然就會(huì)提升解題的效率.從以上幾種解題方案不難看出，三角形面積公式的向量形式不僅高效，而且也能優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)為一種解決三角形面積問(wèn)題的好方法.

值得注意的是在閱卷過(guò)程中，也有極少數(shù)的學(xué)生解答卻是利用了向量外積的幾何意義進(jìn)行求解，向量的外積運(yùn)算不是高中數(shù)學(xué)所學(xué)內(nèi)容，但它卻在解決三角形面積問(wèn)題以及立體幾何求解平面法向量中起到了重要的作用，而在學(xué)生層次較高的高中都會(huì)補(bǔ)充向量的外積運(yùn)算及其幾何意義，在此，作者也對(duì)該運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹.

a與b的外積記作：a×b，其也是一個(gè)向量，它的大小(模)為|a×b|=|a|·|b|·sin，方向根據(jù)右手法則確定，就是手掌立在a與b所在平面的向量a上，掌心向著b，那么大拇指所指方向就是a×b的方向，該方向垂直于a與b所確定的平面.如圖所示.

由定義可知，|a×b|=|a|·|b|·sin，故a與b的外積的大小即為以a與b為鄰邊的平行四邊形的面積，這就是向量外積的幾何意義.

不難看出，向量的數(shù)量積(內(nèi)積)和外積在表示三角形面積的向量形式上有“異曲同工”之妙，而此時(shí)教師也可順勢(shì)提出“行列式”這一抽象的數(shù)學(xué)概念，從而使得學(xué)生感知新知識(shí)的獲得是自然和合理的.在向量外積幾何意義的背景下，我們可以得到如下快速解法：

故可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為M(2cosα,sinα),N(2cosβ,sinβ)，

由向量外積的幾何意義可知

故△MON的面積為定值1.

視角四橢圓極坐標(biāo)方程下的三角形面積計(jì)算

設(shè)點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)分別為M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)，故有

這里由于cosθ1·cosθ2=-4sinθ1·sinθ2，故8sin2θ1sin2θ2=-2sinθ1cosθ1sinθ2cosθ2，

故△MON的面積為定值1.

【評(píng)析】在橢圓極坐標(biāo)方程的形式下，三角形的邊長(zhǎng)可以用極徑來(lái)表示，兩邊的夾角可以用極角來(lái)表達(dá)，這樣三角形的面積就可快速轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的極徑和極角的表達(dá)式(當(dāng)然，這里的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)必須是原點(diǎn))，之后結(jié)合點(diǎn)的極坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓的極坐標(biāo)方程，再將極徑轉(zhuǎn)化為極角的三角函數(shù)形式，最終在極坐標(biāo)系下將三角形的面積化歸為一個(gè)純?nèi)呛瘮?shù)的問(wèn)題，間接的考查了學(xué)生運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力.然而，本題涉及的諸多三角公式及其技巧太多，故此法不宜采納，但對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力和理解能力還是具有一定的價(jià)值.

視角五伸縮變換，橢圓變圓，巧解三角形面積

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，它的本質(zhì)仍是幾何問(wèn)題，如果在解題過(guò)程中充分挖掘并運(yùn)用幾何性質(zhì)，是一個(gè)非常好的簡(jiǎn)化運(yùn)算方法.我們知道橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換可以轉(zhuǎn)化為圓，而圓具有豐富的幾何性質(zhì)且計(jì)算圓中三角形的面積比較容易，這樣就有了如下的解法.

根據(jù)伸縮變換前后封閉圖形的面積比不變，故由前面的伸縮變換可知S△MON:S△M′ON′=2∶1，

從而得到S△MON=1，故△MON的面積為定值1.

【評(píng)析】在伸縮變換下，此題中三角形面積計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了圓中利用兩鄰邊與夾角的正弦的乘積來(lái)求解，而恰巧的是經(jīng)過(guò)伸縮變換后三角形MON在圓中變換為了直角三角形，面積計(jì)算又回到了原始定義上，更加地簡(jiǎn)化了計(jì)算，提高了效率.以上伸縮變換的方法其實(shí)來(lái)源于仿射變換的觀點(diǎn)，初等幾何的幾何圖形經(jīng)仿射變換后，圖形有了變化，但有部分性質(zhì)和某些量是保持不變的，如：變換前后平行線段長(zhǎng)度比不變、面積比不變、斜率比不變等，這些不變量和不變性為初等幾何的一些問(wèn)題的解決(如求解和證明)提供了新的方法，使問(wèn)題的解決變得更為直觀和快捷.

總結(jié)基于解析幾何背景下的三角形的面積問(wèn)題、定值定點(diǎn)問(wèn)題均屬解析幾何中的經(jīng)典問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題就必須“理清思路，簡(jiǎn)化計(jì)算”，而該題不同視角下的不同解題策略的核心就在于：一是要合理使用三角形面積公式，即三角形面積公式多，合理選擇是關(guān)鍵；二是在不同的三角形面積公式下要恰當(dāng)?shù)倪x擇不同的知識(shí)體系和方法來(lái)支撐面積的計(jì)算問(wèn)題，突破或規(guī)避計(jì)算上的難點(diǎn)和障礙才能有效地解決問(wèn)題，最終提高解題效率.