安徽 張 威 喬天恩

高三二輪復(fù)習(xí)是承上啟下的階段，是促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化、條理化及靈活運(yùn)用的關(guān)鍵時(shí)期，更是促進(jìn)學(xué)生能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期.二輪復(fù)習(xí)主要是對(duì)各個(gè)專(zhuān)題知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生掌握各個(gè)專(zhuān)題的主要應(yīng)用題型，歸納總結(jié)解題規(guī)律與方法，查漏補(bǔ)缺，解決在各個(gè)專(zhuān)題中學(xué)生存在的疑難問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)主要題型舉一反三、延伸拓展，提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.教師需要選擇合適的切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從“題海”中解脫.針對(duì)這種教學(xué)要求，教師可以采用“一題多解”與“多題一解”的教學(xué)方式，幫助學(xué)生逐步地提升思維能力,掌握解題技能.下面筆者通過(guò)“多題一解”的教學(xué)方式，來(lái)突破 “求函數(shù)f(g(x))或函數(shù)af2(x)+bf(x)+c的零點(diǎn)問(wèn)題”這個(gè)難點(diǎn).暫稱(chēng)這類(lèi)函數(shù)為 “嵌套函數(shù)”. “嵌套函數(shù)”的零點(diǎn)問(wèn)題是很多學(xué)生都難以跨越的“一道鴻溝”.那么該如何跨越這道“鴻溝”呢？具體如下.

一、典例分析——突破重難點(diǎn)

1.【命題維度分析】

【考點(diǎn)】本題考查分段函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí).

【核心素養(yǎng)】本題考查邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象核心素養(yǎng).

【數(shù)學(xué)能力】本題考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.

2.【解題維度分析】

【思想方法】本題考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

【解題分析】本題已知函數(shù)解析式和函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求解參數(shù)a的取值范圍.求解函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，有以下求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的幾種基本原理：第一，通過(guò)直接解關(guān)于x的方程f(g(x))=0進(jìn)行求解；第二，通過(guò)畫(huà)出函數(shù)f(g(x))的圖象，并判斷該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解；第三，將方程f(g(x))=0構(gòu)造成h(x)=u(x)形式，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x),u(x)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解；第四，利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.而本題很難直接采用上述幾種原理進(jìn)行求解，原因是函數(shù)f(g(x))是一個(gè)“嵌套函數(shù)”，其解析式求解起來(lái)比較繁瑣，同時(shí)該函數(shù)的圖象不易得到.那么該如何解決這個(gè)“嵌套函數(shù)”呢？可以進(jìn)行換元，令t=g(x)，設(shè)f(t)=0的實(shí)根為ti(i=1,2,…)，則“f(g(x))=0的實(shí)根個(gè)數(shù)”等價(jià)于“直線y=ti與函數(shù)g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”或“關(guān)于x的方程ti=g(x)的實(shí)根個(gè)數(shù)”.可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸后，原題就回歸到熟知的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的類(lèi)型了.具體過(guò)程如下.

【解析】令t=g(x),則f(g(x))=0，即轉(zhuǎn)化為f(t)=0,

先求f(t)=0,再解方程t=g(x)，得到的x即為函數(shù)f(g(x))的零點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)t<0時(shí)，令ln(-t)=0，得t=-1，

①當(dāng)a>1即-1>1-2a時(shí)，t=g(x)有2個(gè)實(shí)根；

②當(dāng)a=1時(shí)，t=g(x)有1個(gè)實(shí)根；

③當(dāng)a<1時(shí)，t=g(x)有0個(gè)實(shí)根；

此時(shí)t=g(x)有2個(gè)實(shí)根，結(jié)合①，可知y=f(g(x))有4個(gè)零點(diǎn)；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，t=0或2，則t=g(x)有4個(gè)實(shí)根，結(jié)合②，可知y=f(g(x))有5個(gè)零點(diǎn)，與題意不符；

【例2】已知函數(shù)f(x)=x2ex，若函數(shù)g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

( )

1.【命題維度分析】略

2.【解題維度分析】

【思想方法】略

【解題分析】本題看起來(lái)和例1是屬于兩種不同類(lèi)型的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其實(shí)兩個(gè)題如出一轍.只需要對(duì)原題進(jìn)行稍許改變，即可轉(zhuǎn)化為例1的形式.如下,

令h(x)=x2-kx+1，則函數(shù)g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有4個(gè)零點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(f(x))恰有4個(gè)零點(diǎn).此時(shí)即可利用例1的解題原理進(jìn)行求解.具體過(guò)程如下,

令t=f(x)，因?yàn)殛P(guān)于t的方程t2-kt+1=0至多有2個(gè)實(shí)根,

①當(dāng)Δ<0時(shí)，g(x)顯然無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)不滿足條件；

②當(dāng)Δ=0時(shí)，t2-kt+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根,

由f(x)的圖象可得t=f(x)至多有3個(gè)實(shí)根，所以g(x)至多有3個(gè)零點(diǎn)，故不滿足條件；

③當(dāng)Δ>0時(shí)，即k2-4>0，則k<-2或k>2，

此時(shí)t2-kt+1=0有兩不等根t1,t2，設(shè)t1

且t1+t2=k,t1·t2=1，若g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，

二、題后反思——總結(jié)解題原理和易錯(cuò)點(diǎn)

1.解題原理：通過(guò)對(duì)上述的兩個(gè)例題的分析，可以發(fā)現(xiàn)無(wú)論是解決形如f(g(x))的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，還是形如af2(x)+bf(x)+c的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其解題原理基本一致，都是通過(guò)換元思想和整體代換思想進(jìn)行求解，具體解題步驟，可以歸納如下.

①換元，令t=g(x)(t=f(x))；

②求解函數(shù)f(t)(g(t))的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

③求解方程t=g(x)(t=f(x))的實(shí)根或?qū)嵏鶄€(gè)數(shù)或通過(guò)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍.

這種方法的實(shí)質(zhì)是將函數(shù)f(g(x))或af2(x)+bf(x)+c的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題拆分成②③兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行求解.

2.易錯(cuò)點(diǎn)：①?zèng)]有理解函數(shù)f(x)與f(t)是同一個(gè)函數(shù)；②函數(shù)f(x)的圖象畫(huà)錯(cuò)；③誤將t的個(gè)數(shù)當(dāng)作f(g(x))或af2(x)+bf(x)+c的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；④數(shù)形結(jié)合時(shí)，考慮不完善.

三、精彩變式——鞏固解題原理

變式教學(xué)是對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、通性通法等進(jìn)行不同角度、不同層次、不同背景的變化，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探求規(guī)律，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)、方法等熟練掌握和靈活運(yùn)用.

變式教學(xué)是為了將本源知識(shí)進(jìn)行進(jìn)一步鞏固和延伸拓展.針對(duì)例1，例2，筆者設(shè)置了如下兩個(gè)變式題，對(duì)此種類(lèi)型的題目的解題原理進(jìn)一步鞏固，從而突破這個(gè)在高考中的難點(diǎn)問(wèn)題.具體如下.

【變式1】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=a(x2+2x-3)，其中a>0，若函數(shù)y=f(f(x))恰有7個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

( )

【答案】D

【解析】此題與例1相比嵌套的函數(shù)不同，同時(shí)函數(shù)f(x)的解析式需要通過(guò)奇函數(shù)的性質(zhì)求解，當(dāng)f(x)的解析式求解出來(lái)時(shí)，下面的解法與例1基本一致.具體解法如下.

①換元：令t=f(x)；

②求解f(t)的零點(diǎn)：可得t=-3或t=0或t=3；

【變式2】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，若f(x1)=x1,且x1

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A.3 B.4

C.5 D.6

【答案】A

【解析】此題與例2相比嵌套的函數(shù)是一個(gè)三次函數(shù)，同時(shí)關(guān)聯(lián)了該函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，由已知可得x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，由f(x1)=x1,且x1

①換元：令t=f(x)；

②求解f(t)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：可得t=x1或t=x2；

③求解方程t=f(x)的實(shí)根或?qū)嵏鶄€(gè)數(shù)：即f(x)=x1和f(x)=x2，因?yàn)閒(x1)=x1