福建 湯小梅

對(duì)照2019年和2018年的《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱說明》(以下簡(jiǎn)稱《考試說明》)，可以發(fā)現(xiàn)理科數(shù)學(xué)和文科數(shù)學(xué)的考核目標(biāo)、能力要求、題型等均保持不變，理科數(shù)學(xué)和文科數(shù)學(xué)的考試范圍仍然保持不變，這說明2019年高考理數(shù)與文數(shù)的命題會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定，在新一輪高考改革到來之前，以平穩(wěn)過渡的方式進(jìn)入新課改.2019年高考數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)仍然是三角與數(shù)列、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、選考內(nèi)容(坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講)，小題熱點(diǎn)仍將是：集合、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、雙曲線或拋物線的圖象和性質(zhì)、空間幾何體的表面積和體積、解三角形、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、統(tǒng)計(jì)等.現(xiàn)一起走進(jìn)2019年《考試說明》，細(xì)讀、細(xì)悟其信息，深入地領(lǐng)會(huì)考綱精神，更好地把握備考的重點(diǎn)和方向.

一、對(duì)知識(shí)要求和能力要求的解讀

對(duì)知識(shí)的要求依次是了解、理解、掌握三個(gè)層次.莫輕視要求僅為“了解”的知識(shí)——高考命題不拘泥于考綱.例如：球、棱柱、棱錐的表面積和體積的計(jì)算雖為“了解”的內(nèi)容，但在高考中幾乎每年必考；雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雖為“了解”、“知道”的內(nèi)容，但在高考的客觀題中是?？嫉膬?nèi)容.要求為“理解”與“掌握”這兩個(gè)層次的知識(shí)點(diǎn)是高考命題者的首選.尤其是要求“掌握”的內(nèi)容，往往成為命題者進(jìn)行深度命題的“桃花源”，所以在備考中要多加重視，要強(qiáng)化訓(xùn)練.

《考試說明》堅(jiān)持對(duì)五種能力和兩種意識(shí)的考查，即對(duì)空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查，這是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)在高考中的體現(xiàn).這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體.需特別關(guān)注“背景新穎化、考點(diǎn)綜合化”的試題，例如：數(shù)學(xué)建模問題、新定義問題，或者利用模塊知識(shí)之間的聯(lián)系來綜合命題，此類試題雖然都有一個(gè)新鮮的“包裝”，但是只要學(xué)會(huì)脫去“包裝”，還原其本來真面目，結(jié)合已有的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，即可自然而然地解決此類問題.

二、考試范圍與要求的解讀

下面根據(jù)高三第二輪、第三輪復(fù)習(xí)的特征，對(duì)考試范圍與要求分知識(shí)塊進(jìn)行解讀.

(一)集合與常用邏輯用語、不等式

1.集合的考查注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查，常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相結(jié)合，在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題.重點(diǎn)考查補(bǔ)集、交集或并集的綜合運(yùn)算，常以選擇題的第1小題或第2小題的形式呈現(xiàn).還需關(guān)注以點(diǎn)集為背景的集合的基本運(yùn)算與集合的子集個(gè)數(shù)問題的運(yùn)算.

注意：元素與集合之間是屬于或不屬于的關(guān)系；而集合與集合之間則是包含與不包含的關(guān)系.學(xué)會(huì)子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系，并且會(huì)求給定有限集的子集個(gè)數(shù).

2.常用邏輯用語注重基礎(chǔ)知識(shí)的考查，在高考中屬于容易題，一般在選擇題或填空題的位置，主要考查三種類型：四種命題的真假與它們的關(guān)系識(shí)別、充分條件和必要條件、含有量詞的命題的否定.所綜合的知識(shí)常是集合、不等式、立體幾何等基礎(chǔ)內(nèi)容，具有一定的新穎性.

3.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題是歷年高考必考點(diǎn)，這部分的內(nèi)容?？疾榫€性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，一般不難，一定要把這些分值收入囊中！基本不等式主要滲透在函數(shù)、數(shù)列的最值問題中，要求不是很高，但要高度重視.

(二)平面向量、復(fù)數(shù)、算法、推理證明

1.平面向量的考查主要類型：一是向量的線性運(yùn)算；二是向量的數(shù)量積；三是向量平行與垂直的充要條件的應(yīng)用；四是向量與三角、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等相交匯時(shí)，突出向量的工具性作用.平面向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算是把向量由“形”往“數(shù)”轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，所以考綱的要求比較高，一定要給予靈活應(yīng)用.

注意：特殊向量的概念，尤其是零向量，不可忽視.區(qū)別用坐標(biāo)表示的平面向量平行與垂直條件，不要搞混.

2.對(duì)復(fù)數(shù)的考查，難度一般為容易，常在選擇題或填空題的前兩題的位置呈現(xiàn)，?？疾橐韵氯N類型：一是復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，特別是除法運(yùn)算；二是復(fù)數(shù)的概念，如實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)等；三是復(fù)數(shù)的幾何意義.

3.算法初步的命題重點(diǎn)是程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，而“條件結(jié)構(gòu)”與“循環(huán)結(jié)構(gòu)”則是重中之重.?？疾槿N類型：輸出問題(最常考)、補(bǔ)全問題、功能問題，且都在選擇題或填空題中出現(xiàn).

4.合情推理中的歸納推理和類比推理都是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn).常在填空題的壓軸題中呈現(xiàn).分析法和綜合法都是解題中常用的方法，綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因.在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.

理數(shù)“能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題”這個(gè)要求主要體現(xiàn)在數(shù)列的解答題中.雖然要求是“能”，但高考考查的概率較低.

(三)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)、根式函數(shù)的定義域可能隱含在函數(shù)的每一道考題中，務(wù)必警惕！

(2)求解分段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)先確定自變量的取值范圍，然后代入相應(yīng)的函數(shù)的解析式去求解.對(duì)于含有“多層”的函數(shù)的求值問題，如f(f(a))，一般需“由內(nèi)層往外層”計(jì)算.

注意：分段函數(shù)常與指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算問題相結(jié)合，要注意對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算規(guī)律.

(3)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)往往與其他知識(shí)相結(jié)合命題，如常與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，以壓軸題的形式呈現(xiàn).不要忽視其底數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響！

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)常以客觀題的形式呈現(xiàn).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象要會(huì)畫，這是利用數(shù)形結(jié)合法解題的基本要求，當(dāng)然也不要忽視對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、底數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的影響等.

注意：需關(guān)注對(duì)數(shù)的運(yùn)算與化簡(jiǎn)，特別是換底公式與冪函數(shù)的運(yùn)算問題！

(6)零點(diǎn)問題是高考命題的熱點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)通常與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等相結(jié)合，背景多樣化，常與方程的根、兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)等交匯考查，有時(shí)以中檔題呈現(xiàn)，有時(shí)以壓軸題的形式呈現(xiàn).

2.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

有關(guān)導(dǎo)數(shù)的小題其考查重點(diǎn)在于導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等.有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，特別是利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性(多涉及含參函數(shù)的單調(diào)性)與極值、最值問題.特別是函數(shù)的最值，有關(guān)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題常滲透這個(gè)考點(diǎn)，如把不等式恒成立問題、存在性問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最值問題.

定積分近幾年都不涉及，是冷考點(diǎn)，只需會(huì)利用微積分基本定理求定積分的值，會(huì)利用定積分的幾何意義求定積分的值即可.

求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般先確定函數(shù)的定義域，再求f′(x)；令f′(x)>0(f′(x)<0)，得f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.切記：如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個(gè)，這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接，只能用逗號(hào)或“和”字隔開.若f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)>0(f′(x)<0)在區(qū)間D上恒成立，注意“等號(hào)”成立的檢驗(yàn).

(四)三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形

1.三角函數(shù)的小題考查重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：三角函數(shù)的解析式；圖象變換；兩域(定義域、值域)；四性(單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性)；簡(jiǎn)單的三角變換(求值、化簡(jiǎn)及比較大小).

2.對(duì)三角恒等變換的考查，重點(diǎn)是三角函數(shù)求值，還要注意兩角和差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角公式的正用、逆用與活用，需關(guān)注輔助角公式在解題中的應(yīng)用.

看清《考試說明》要求——“積化和差、和差化積、半角公式”，但對(duì)這三組公式不要求記憶，所以不要做無用功！

3.對(duì)解三角形的要求比較高——“掌握”、“運(yùn)用”，該部分內(nèi)容在解答題中，多以三角形為背景，把解三角形與三角恒等變換交匯考查，既需關(guān)注輔助角公式的應(yīng)用，又需關(guān)注以四邊形為背景的考題.在小題中常與平面向量、解析幾何等知識(shí)交匯命題，是歷年高考的必考內(nèi)容，務(wù)必要熟練把握.

(五)數(shù)列

1.高考對(duì)等差、等比數(shù)列的考查常以“一大”或“兩小”的形式呈現(xiàn)，小題多考查等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及性質(zhì)的活用；大題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的內(nèi)容，或數(shù)列的遞推關(guān)系式(可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列)內(nèi)容，或數(shù)列與方程的根、不等式等知識(shí)交匯.

注意：在等比數(shù)列求和時(shí)，要先判斷其公比是否為1！

2.解答題中，若給出數(shù)列的遞推關(guān)系式，此時(shí)第一小題多考查“判斷或證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列”，只需會(huì)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義證明即可，備考復(fù)習(xí)時(shí)，不需拔太高的難度，定位為中檔或中偏低檔；此外，用分組求和法、裂項(xiàng)相消法，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和應(yīng)給予重視.

3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的考題也需熟練掌握.

(六)立體幾何

1.立體幾何初步

(1)三視圖問題是近年高考的“常青樹”，但需注意控制其難度，近幾年高考題的難度一般在中檔或中偏低檔，常以柱體、錐體、球體為背景來考查，有時(shí)選取以上兩種幾何體構(gòu)成簡(jiǎn)單組合體進(jìn)行考查，多考查幾何體的表面積與體積求解問題.幾何體的三視圖的作圖規(guī)則是解決幾何體形狀的依據(jù)，“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”是解決幾何體度量的準(zhǔn)則.

(2)空間線面位置關(guān)系的判斷經(jīng)常以命題判斷的形式進(jìn)行考查，也常與簡(jiǎn)易邏輯相交匯進(jìn)行考查，如判斷命題的真假，與充分必要性交匯等.難度一般為中檔.判斷空間中的線面位置關(guān)系時(shí)，要把平面幾何中的知識(shí)與空間中的線面關(guān)系區(qū)分開來，不要熬成“大鍋飯”，亂成一團(tuán).

(3)“空間線、面平行與垂直的判定和性質(zhì)定理”是證明空間平行與垂直關(guān)系的主要依據(jù)，常以解答題的第一小問的形式考查.證明時(shí)，條件要全，結(jié)論才能準(zhǔn)確，亂改或誤用條件，證明就會(huì)出現(xiàn)失誤.

(4)文科也需關(guān)注空間異面直線所成角、線面角的求解與應(yīng)用，如2018年高考卷Ⅰ文科第10題就考查空間線面角的應(yīng)用，2018年高考卷Ⅱ文科第9題就考查空間異面直線所成角的正切值的求解，此時(shí)多以長(zhǎng)方體或正方體為背景呈現(xiàn)，并且都在小題的位置考查.

(5)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出點(diǎn)的坐標(biāo)是應(yīng)用空間向量解決立體幾何問題的基礎(chǔ).

2.空間向量與立體幾何

空間向量法是證明空間線面位置關(guān)系、求解空間角與距離的強(qiáng)有力的工具.對(duì)空間向量與立體幾何體的考查，仍以空間幾何體的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及空間求角與求距離問題為主.還需關(guān)注空間幾何體的探索性問題、幾何圖形的展開與折疊問題、定值與最值問題等.難度屬于中檔.

利用空間向量法解決立體幾何題需“四會(huì)”，一會(huì)“建系”，即利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系；二會(huì)“求空間點(diǎn)的坐標(biāo)”；三會(huì)“轉(zhuǎn)化”；四會(huì)“用公式”，熟記異面直線所成角、線面所成角、二面角的向量公式.

(七)解析幾何

1.平面解析幾何初步

(1)每條直線都有傾斜角,但不一定都有斜率.當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，其傾斜角為90°，但其斜率不存在.在解決過定點(diǎn)的直線問題時(shí)，要根據(jù)斜率是否存在進(jìn)行分類討論.

(2)直線常與圓錐曲線的位置關(guān)系相交匯，在解答題中考查，多考查直線方程的點(diǎn)斜式或一般式.此時(shí)應(yīng)注意直線方程的應(yīng)用條件和范圍.

注意：在應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，若直線垂直于x軸，其斜率是不存在的.

(4)直線和圓的位置關(guān)系中，常用幾何法和代數(shù)法.幾何法：利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來判斷；代數(shù)法：先把直線與圓的方程聯(lián)立，再利用判別式來判斷.

2.圓錐曲線與方程

解析幾何在高考中的地位向來重要，一般一道小題、一道解答題.小題重基礎(chǔ)，一般是中偏低檔題，解答題一般是中等難度和較難題，整體呈中偏上的難度.分值基本在18分左右.直線與橢圓、拋物線位置關(guān)系的要求層次有所降低.對(duì)解析幾何的考查仍將重點(diǎn)考查橢圓、圓、拋物線的圖象和性質(zhì)，特別是直線與圓錐曲線相交問題，而對(duì)雙曲線的考查仍會(huì)降低.需關(guān)注解析幾何的探究性問題、最值、定值問題，關(guān)注橢圓、拋物線、雙曲線交匯的試題.掌握?qǐng)A錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，此類題便不攻自破.“理解數(shù)形結(jié)合的思想”，既要重視坐標(biāo)法，還要注意圓錐曲線的特征，兩者結(jié)合求解.

(八)統(tǒng)計(jì)與概率、計(jì)數(shù)原理

1.統(tǒng)計(jì)

(1)“三圖”中的頻率分布直方圖與莖葉圖是考查重點(diǎn)，折線圖偶爾會(huì)涉及，常在小題或解答題中出現(xiàn)，若在解答題中呈現(xiàn)，此時(shí)文科多與“五數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差)”、古典概型交匯，理科多與“五數(shù)”、分布列、期望等知識(shí)交匯.

(2)“提取基本的數(shù)字特征”的高頻考點(diǎn)是中位數(shù)、平均數(shù)與方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算，注意由頻率分布直方圖求出其中位數(shù)、平均數(shù)與方差，常在小題中或解答題的第一小問中呈現(xiàn).

(3)“理解用樣本估計(jì)總體的思想”，即樣本的數(shù)字特征近似與總體的數(shù)字特征相等.

2.概率

(1)“古典概型、互斥事件的概率加法公式”是高考考查的重點(diǎn)，常在解答題中與離散型隨機(jī)變量的期望相交匯呈現(xiàn)，難度多為中檔.

(2)對(duì)幾何概型的考查，常以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，多考查一維與二維測(cè)度的幾何概型.此類題定準(zhǔn)衡量的依據(jù)：長(zhǎng)度、角度、面積還是體積.

(3)理科數(shù)學(xué)還需關(guān)注條件概率、獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率運(yùn)算.

(4)概率與統(tǒng)計(jì)交匯的考題已經(jīng)發(fā)展成為高考解答題的“盤中菜”，定要重視.?？家韵滤姆N類型：一是求離散型隨機(jī)變量及其分布列、期望、方差(特別是二項(xiàng)分布、超幾何分布、獨(dú)立事件的概率)；二是求線性回歸方程，預(yù)測(cè)變量的值；三是獨(dú)立性檢驗(yàn)(2×2列聯(lián)表的應(yīng)用)，《考試說明》中定位為“了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用”，但我們?cè)趥淇贾袘?yīng)以掌握去應(yīng)對(duì)，例如在2019年《考試說明》中，就添加了2018年卷Ⅲ理18、文18高考真題，該題把獨(dú)立性檢驗(yàn)問題與莖葉圖、中位數(shù)等知識(shí)自然相交匯；四是隨機(jī)變量的概率、期望與統(tǒng)計(jì)相交匯；五是利用實(shí)際問題的直方圖，掌握正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，會(huì)求指定區(qū)間的概率.

3.排列組合與二項(xiàng)式定理

常以實(shí)際生活為背景，考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合問題，常在選擇題、填空題、解答題中考查，在解答題中多與概率等知識(shí)相交匯.對(duì)于排列與組合交匯試題，常用“先組合后排列”策略，實(shí)際上就是先分類后分步的體現(xiàn).

“二項(xiàng)式定理”要記準(zhǔn)公式，記住規(guī)律.其命題重點(diǎn)：利用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或指定項(xiàng)的系數(shù)、賦值求系數(shù).

(九)選考內(nèi)容

1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

坐標(biāo)系與參數(shù)方程的難度一般為中檔，?？家韵氯N類型：一是求曲線的方程，如求極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程或普通方程；二是求點(diǎn)的極坐標(biāo)或點(diǎn)的直角坐標(biāo)；三是直線與圓、橢圓、拋物線相交匯，判斷位置關(guān)系或求弦長(zhǎng)等問題.

2.不等式選講