徐志軍　原方

[摘 要]制訂合理的教學(xué)方法，使建筑專業(yè)學(xué)生輕松熟練地計(jì)算彎曲內(nèi)力和繪制內(nèi)力圖尤為重要。課題組基于常用的截面法求彎曲內(nèi)力，以及利用內(nèi)力方程繪制彎曲內(nèi)力圖，分析歸納了彎曲內(nèi)力以及內(nèi)力圖與外力之間的規(guī)律，給出了內(nèi)力的直接求解規(guī)則和內(nèi)力直接繪制規(guī)則。該方法可不用截面法簡單快速求出內(nèi)力，以及不用列出內(nèi)力方程簡單快速繪制出內(nèi)力圖。

[關(guān)鍵詞]建筑專業(yè)；建筑力學(xué)；梁的彎曲；彎曲內(nèi)力；彎曲內(nèi)力圖

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）05-0088-03

為了保證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的安全性，在設(shè)計(jì)中，考慮結(jié)構(gòu)的受力情況尤為重要。因此，建筑力學(xué)課程對于建筑專業(yè)的學(xué)生來說亦尤為重要[1]。建筑力學(xué)課程包括了三大力學(xué)的全部內(nèi)容，即理論力學(xué)中的靜力學(xué)部分，材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的全部內(nèi)容。本課程分為兩個學(xué)期授課，課時量一共為72學(xué)時，其中66課時為講授課，6個學(xué)時為實(shí)驗(yàn)課。對于建筑專業(yè)的學(xué)生來說，在72課時內(nèi)把三大力學(xué)內(nèi)容全部掌握是比較困難的。另外，建筑專業(yè)的學(xué)生偏向文科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的是文科數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)功底不夠扎實(shí)，對本課程學(xué)習(xí)比較吃力。因此，如何在有限的課時內(nèi)將三大力學(xué)的基本知識傳授給建筑專業(yè)的學(xué)生十分重要。

梁穎晶等[2]分析了工程管理專業(yè)的建筑力學(xué)教學(xué)中碰到的困難和挑戰(zhàn)，從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等方面進(jìn)行了探索。劉楊[3]將現(xiàn)代化高科技法即三維模型法和建筑力學(xué)教學(xué)結(jié)合在一起，有效地提高了教學(xué)效果。韓風(fēng)霞[4]分析了建筑專業(yè)建筑力學(xué)課程教學(xué)效果不好的原因，結(jié)合建筑專業(yè)設(shè)置特點(diǎn)，從教學(xué)內(nèi)容改革、教學(xué)方法改進(jìn)和學(xué)生能力如何提高等方面提出了相應(yīng)的辦法和措施。張秀彥等[5]在研究了建筑專業(yè)建筑力學(xué)課程在教學(xué)中過程中出現(xiàn)的困難基礎(chǔ)上，結(jié)合建筑專業(yè)特點(diǎn)，在提高教學(xué)質(zhì)量、教學(xué)方法等方面提出了合理化的方法和措施，并將該方法和措施應(yīng)用到實(shí)際教學(xué)中，取得了良好的效果。

以上的研究成果極大地推動了建筑力學(xué)課程的教學(xué)方法、教學(xué)手段、教學(xué)內(nèi)容等方面的改革和完善。在建筑力學(xué)中，梁的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制是材料力學(xué)部分最為核心的內(nèi)容，因此，王興霞等[6]給出了建筑力學(xué)課程中快速計(jì)算桿件截面內(nèi)力的技巧，劉小妹等[7]和緱勇等[8]給出了材料力學(xué)中內(nèi)力圖的簡便繪制方法。

本文基于常用的截面法求內(nèi)力和內(nèi)力方程法繪制內(nèi)力圖，分析了內(nèi)力和內(nèi)力圖與外力之間的關(guān)系，歸納出內(nèi)力和內(nèi)力圖與控制截面處的外力之間的關(guān)系，給出了內(nèi)力的直接求解方法和內(nèi)力直接繪制方法。

一、彎曲內(nèi)力和內(nèi)力圖

根據(jù)建筑專業(yè)建筑力學(xué)的大綱要求，結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的荷載作用方式為集中荷載、集中力偶和均布荷載，為必學(xué)內(nèi)容，其他方式荷載作用為選學(xué)內(nèi)容。對于彎曲變形中內(nèi)力和內(nèi)力圖部分，要求學(xué)生熟練地利用截面法求任意截面上的剪力和彎矩，建立剪力方程和彎矩方程，并根據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖、彎矩圖。

（一）截面法求內(nèi)力

梁彎曲變形時在橫截面上產(chǎn)生兩種內(nèi)力，即剪力和彎矩。建筑力學(xué)教材中給出的利用橫截面求剪力和彎矩的做法分為三步：

第一，沿著所求截面將其切開，切開后分為兩部分，右側(cè)部分和左側(cè)部分。

第二，取任意部分（左側(cè)或者右側(cè)）作為研究對象計(jì)算截面上的內(nèi)力，進(jìn)行受力分析。先畫外力，即主動力和約束力，然后畫內(nèi)力。由于內(nèi)力在計(jì)算之前無法確定是正值或者負(fù)值，為了解題方便，將內(nèi)力假設(shè)為正值，如果計(jì)算出的結(jié)果為正值，則假設(shè)是正確的，如果計(jì)算出的結(jié)果為負(fù)值，則實(shí)際內(nèi)力方向與假設(shè)方向相反，該方法稱之為“設(shè)正法”。

第三，平衡求力，將第二步的剪力、彎矩和外力作為平衡力系，建立平衡力系的平衡方程，求出剪力和彎矩。截面法求內(nèi)力可簡稱為“一切、二代和三平衡”。

（二）內(nèi)力圖

為了形象地表示剪力和彎矩沿軸線的變化情況，并確定最大的剪力和彎矩的大小與位置，通常采用圖線表示剪力和彎矩的變化情況。用平行于桿軸坐標(biāo)軸x表示桿件橫截面，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)軸分別表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩的大小。剪力正值畫在x軸的上方，負(fù)值畫在x軸的下方。彎矩圖畫在受拉一側(cè)。常用的畫剪力圖和彎矩圖的步驟如下：

第一步，建立剪力方程和彎矩方程。從梁的其中一個端截面開始，選擇距離該端截面為x處的橫截面為研究對象，利用截面法求出該截面上的剪力和彎矩，建立剪力方程和彎矩方程。

第二步，根據(jù)剪力方程和彎矩方程，繪制剪力圖和彎矩圖。

二、利用外力直接求剪力和彎矩及繪制剪力圖和彎矩圖的規(guī)則

梁的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的繪制需要較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底。因此，在給建筑專業(yè)學(xué)生講授該節(jié)課的內(nèi)容時，找到簡單實(shí)用的教學(xué)方法，讓學(xué)生在輕松愉快中掌握解題技巧顯得尤為重要。

筆者根據(jù)多年講授建筑專業(yè)建筑力學(xué)課程的經(jīng)驗(yàn)，對求解梁的彎曲內(nèi)力及繪制內(nèi)力圖的方法進(jìn)行總結(jié)和歸納，發(fā)現(xiàn)了利用外力的性質(zhì)直接求任意橫截面上的內(nèi)力和利用外力直接繪制內(nèi)力圖的規(guī)則。

（一）剪力和彎矩的直接求解規(guī)則

“一切、二代和三平衡”是傳統(tǒng)常用的截面法求內(nèi)力的步驟，加上利用靜力學(xué)知識求解外力，該過程共需要四步。以下給出利用外力直接求剪力和彎矩的規(guī)則。

1.求剪力

首先判斷正負(fù)值：對某截面左邊梁段上所有向上的外力，或某截面右邊梁段所有向下的外力進(jìn)行判斷，使該截面上產(chǎn)生正剪力，即“左上右下，剪力為正”，否則“左下右上，剪力為負(fù)”。

然后求代數(shù)和：某截面上剪力[Fs]的大小等于該截面左邊（右邊）梁段上所有橫向外力代數(shù)和。

2.彎矩求法

首先判斷正負(fù)值：某截面左邊梁段上外力（力或力偶）對截面形心之矩為順時針轉(zhuǎn)向，或某截面右邊梁段上外力對截面形心之矩為逆時針轉(zhuǎn)向，使該截面上產(chǎn)生正彎矩，即“左順右逆，彎矩為正”，否則“左逆右順，彎矩為負(fù)”。

然后求代數(shù)和：某截面上彎矩M的大小等于該截面左邊（右邊）梁段上所有外力對該截面形心的矩的代數(shù)和。

利用以上規(guī)則求剪力和彎矩時，可不再列出平衡方程，而直接根據(jù)截面左邊或右邊梁上的外力來確定梁橫截面上的剪力和彎矩。

（二）內(nèi)力圖的直接繪制規(guī)則

傳統(tǒng)常用的內(nèi)力圖繪制方法為先建立剪力方程和彎矩方程，然后根據(jù)方程的性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識繪制出剪力圖和彎矩圖。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)得出剪力圖和彎矩圖的規(guī)律如下：

1.當(dāng)某梁段除端截面外全段不受任何外力作用時，剪力圖和彎矩圖有如下規(guī)律。

（1）該梁段上的剪力方程[Fs（x）]為常量，故梁該梁段的剪力圖為水平線。因此，只要確定出該梁段上任意截面上的剪力，就可繪制出該梁段上的剪力圖，即剪力圖為水平線。

（2）該段上的彎矩方程[M（x）]是x的一次函數(shù)，故該段的彎矩圖為斜直線。因此，確定出該梁段兩個端截面上的彎矩，就可繪制出該梁段上的彎矩圖，即彎矩圖為斜直線，彎矩圖畫在受拉一側(cè)。

2.當(dāng)某梁段除端截面外全段上只受均布荷載作用時，則有：

（1）該段上的剪力方程[Fs（x）]是x的一次函數(shù)，故該段的剪力圖為斜直線。因此，確定出該梁段兩個端截面上的剪力，就可以繪制出該梁段上的剪力圖。

（2）該段上的彎矩方程[M（x）]是x的二次函數(shù)，故該段的彎矩圖為二次曲線。因此，確定出三個截面上的彎矩，即該梁段兩個端截面，另外一個截面可任選，筆者建議選用該梁段中間截面，用平滑的曲線將三個橫截面的彎矩連在一起，可得到該梁段上的彎矩圖，彎矩圖畫在受拉一側(cè)。

在上面研究的基礎(chǔ)上，將每個梁段的剪力圖和彎矩圖連在一起可得到整個梁的剪力圖和彎矩圖。該方法不用建立剪力方程和彎矩方程，只要確定梁上的外力情況，就可直接繪制出剪力圖和彎矩圖。

三、實(shí)例分析

如圖所示，外伸梁上受到一集中力偶Me = qa2和長度為a的均布荷載q以及兩個約束力FA和FB，其他參數(shù)見圖1。求2-2截面、無限接近支座A的1-1截面和無限接近支座B的3-3截面上的剪力和彎矩，并繪制出其剪力圖和彎矩圖。

首先利用靜力學(xué)知識求得兩個支座的約束分離分別為FA=[14qa]，F(xiàn)B=[34qa]，方向?yàn)橄蛏?。利用截面法求?-1截面、2-2截面和3-3截面上的內(nèi)力。

利用本文提出的方法求剪力和彎矩。

對于1-1截面，取左側(cè)梁段。左側(cè)梁段的受外力情況為受一集中力偶大小為qa2，逆時針轉(zhuǎn)動。由于該梁段上不受集中荷載或者均布荷載，根據(jù)上文中提出的方法，剪力為0，彎矩大小為qa2；外力Me為逆時針轉(zhuǎn)，在1-1截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩，則1-1截面上的彎矩為-qa2。計(jì)算結(jié)果與表1中的一致。

對于2-2截面，取左側(cè)梁段，其受外力情況為Me和FA。根據(jù)上文中的計(jì)算方法，Me和FA在2-2截面產(chǎn)生的剪力大小分別為0和[14qa]。FA在2-2截面上產(chǎn)生正剪力，則2-2截面上的剪力為0+[14qa]=0.25qa。Me和FA在2-2截面產(chǎn)生的彎矩大小分別為qa2和[14qa]2。正負(fù)號分別為“-”和“+”，則2-2截面上的彎矩為-qa2+[14qa]2 =-[34qa]2，計(jì)算結(jié)果與表1的一致。

對于3-3截面，取右側(cè)梁段，其受外力情況均值荷載q長度為a。根據(jù)上文中的計(jì)算方法，q在3-3截面產(chǎn)生的剪力大小為qa，為正剪力，則3-3截面上的剪力為qa。q在3-3截面產(chǎn)生的彎矩大小為[12qa]2，為負(fù)彎矩，則3-3截面上的彎矩為-[12qa]2，計(jì)算結(jié)果與表1的一致。

根據(jù)梁的受力情況，可將梁分為3段，即CA段、AB段和BD段。由圖1可知，除了兩個端截面，CA段和AB段中間部分不受任何外力，BD段中間部分受均布荷載。根據(jù)上文中的方法，可得出剪力圖和彎矩圖形狀，見表2。

由表2和表3，畫出各個梁段上的剪力圖和彎矩圖，并將其連在一起繪制出剪力圖和彎矩圖，分別見圖2和圖3。

四、結(jié)論

（1）本文給出了剪力和彎矩直接計(jì)算規(guī)則，利用該規(guī)則可不用對研究兩段受力分析和列平衡方程求解，直接根據(jù)外力的特點(diǎn)快速準(zhǔn)確地計(jì)算出剪力和彎矩。

（2）本文給出了梁彎曲的剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，結(jié)合剪力和彎矩直接計(jì)算規(guī)則，給出了剪力圖和彎矩圖的簡捷繪制方法。該方法可不建立剪力方程和彎矩方程，利用梁段上外力特點(diǎn)，直接繪制剪力圖和彎矩圖。

（3）本文提出的方法可用于求其他內(nèi)力，譬如軸力和扭矩。

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[責(zé)任編輯：鐘 嵐]