趙靜

摘要：縱觀歷年高考數(shù)學(xué)試卷解三角形作為必要內(nèi)容，對(duì)三角函數(shù)解答題部分的考查主要有三個(gè)方面；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，解三角形問(wèn)題.作者認(rèn)為只要考生把握命題意圖與考點(diǎn)，找到科學(xué)的方法和技巧，才能獲得正確的結(jié)論.特此結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際提出一些探析建議。

關(guān)鍵詞：解三角形；高考；快速解題；技巧

1 新課標(biāo)解三角形教材及內(nèi)容分析

1.1 教材分析

新課改的實(shí)施，使得高中數(shù)學(xué)教材與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材無(wú)論在結(jié)構(gòu)上，還是在內(nèi)容上，都發(fā)生了很大的變化。對(duì)于解三角形這一模塊來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)上新課標(biāo)將其重新整合安排在必修五的第一章節(jié)，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)、平面向量的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)。內(nèi)容上相比以往大綱版教材則更加關(guān)注運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，側(cè)重點(diǎn)放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

1.2 內(nèi)容分析

教材的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解三角形的應(yīng)用上?？傊?，解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，內(nèi)容本身是傳統(tǒng)內(nèi)容，并具有豐富的實(shí)際背景，學(xué)生應(yīng)該十分熟悉。

1.3 教材分析的原則和方法

方法：理論與實(shí)踐相結(jié)合的方法、教與學(xué)相結(jié)合的方法。

原則：課標(biāo)原則、學(xué)生中心原則、數(shù)學(xué)思想方法原則。

1.4 教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理、余弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形等基本問(wèn)題。通過(guò)正弦、余弦定理的探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)掌握三角形的邊長(zhǎng)與角度之間數(shù)量關(guān)系及學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，通過(guò)學(xué)生的積極參與和親身實(shí)踐，并成功地解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探索的精神。

2 轉(zhuǎn)化為平面向量解題

例1.已知△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，BD=2DC，∠BAC= ，AB=4，AC=3，求線段AD的長(zhǎng)度。

[分析]此題屬于已知一個(gè)角的大小，且過(guò)該角的頂點(diǎn)有三條邊，其中已知兩條邊的長(zhǎng)度，求另一條邊的長(zhǎng)度，可轉(zhuǎn)化為平面向量求解。

[點(diǎn)評(píng)]類(lèi)似這樣的題型，如果用常規(guī)的方法即正弦定理和余弦定理來(lái)求解，則需要用到兩個(gè)三角形列出方程組，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，而且在選用哪兩個(gè)三角形列方程的時(shí)候會(huì)搖擺不定，也減慢了解題速度。結(jié)合平面向量求解這類(lèi)題型，一步到位，解題效果得到大大提高。

3 轉(zhuǎn)化為平行四邊形求解

例2.已知，△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，AB=7，AC=6，AO=5，求BC的長(zhǎng)。

[分析]在平行四邊形中，用余弦定理可以證明出“平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和”這一重要的結(jié)論。此題有一個(gè)中點(diǎn)O，只要延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D，使AO=OD，連接BD和DC，顯然四邊形ABDC為平行四邊形，應(yīng)用平行四邊形這個(gè)結(jié)論，列出方程即可求解。

[解析]因?yàn)辄c(diǎn)O是中點(diǎn)，所以把原圖還原為平行四邊形，根據(jù)“平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和”，于是有：2（AB2+AC2）2=AD2+BC2，把AB=7，AC=6，AD=2AO=10代入，求得BC=

[點(diǎn)評(píng)]在高中數(shù)學(xué)教材中，平行四邊形的這個(gè)結(jié)論只是在數(shù)學(xué)4-4（選修）的練習(xí)中出現(xiàn)過(guò)，所以在解三角形的過(guò)程中往往被大家忽略。此題屬于三角形邊長(zhǎng)有中點(diǎn)的題型，這樣的題型都可以用平行四邊的這個(gè)結(jié)論來(lái)求解，瞬間化繁為簡(jiǎn)。

4 轉(zhuǎn)化為圓求解

例3.在△ABC中，∠B= AC= ，求△ABC的面積的最大值。

【分析】此題屬于典型的解三角形題目中有關(guān)取值范圍的題型。常規(guī)的解題策略是應(yīng)用正弦定理、余弦定理再結(jié)合基本不等式、輔助角公式來(lái)求解。這道題的特點(diǎn)是已知一個(gè)角和這個(gè)角的對(duì)邊是定值，如果我們結(jié)合這個(gè)三角形的外接圓，則從圖形上就可以直觀得出三角形面積最大值的情況，從而得出結(jié)果。

【解析】如圖3所示，根據(jù)“圓的等弦對(duì)等角”性質(zhì)，由正弦定理易得：

求得R=1，即△ABC是在一個(gè)半徑為1的圓內(nèi)接三角形，∠B=π/3，AC= ，則點(diǎn)B是優(yōu)弧AC上的動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)B在圖中的最頂端，即BO垂直于AC的時(shí)候，AC邊上的高達(dá)到最大值，即△ABC的面積達(dá)最大值。此時(shí)，△ABC為正三角形，所以， ，即△ABC的面積最大值為

【點(diǎn)評(píng)】在解三角形的題型中，求相關(guān)取值范圍是最常見(jiàn)的。如一條邊的取值范圍、周長(zhǎng)的取值范圍或最值、面積的取值范圍或最值等，當(dāng)題型的已知條件是“一個(gè)角和此角的對(duì)邊為定值”，則轉(zhuǎn)化為圓的題目求解，將得到事半功倍的效果。

5 結(jié)語(yǔ)

總之，高考命題逐年加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的綜合性和應(yīng)用性的考察，常在知識(shí)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)綜合試題，綜合考查學(xué)生對(duì)解三角形與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合，注重靈活運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)

[1]李桂平.求解三角函數(shù)問(wèn)題的幾大思路[J].科學(xué)之友：版，2010（1）：135-136.

（作者單位：黑龍江省五大連池市高級(jí)中學(xué)）