洪艷娜 周健

摘要：以表面效應(yīng)和卡西米爾力的自由振動模型為基礎(chǔ)函數(shù)，建立了包含表面效應(yīng)和卡西米爾力的納米板的降階模型。研究發(fā)現(xiàn)，納米板的一個基函數(shù)給出了一個收斂的解。表面效應(yīng)對納米板的拉入電壓、拉入偏轉(zhuǎn)和基頻的預(yù)測有了很大的提高。然而，隨著卡西米爾力的加入，對這些數(shù)量的預(yù)測有所減少。

關(guān)鍵詞：卡西米爾力；納米板；拉入不穩(wěn)定

1.介紹

微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）和納米機(jī)電系統(tǒng)（NEMS）是靜電驅(qū)動的，廣泛應(yīng)用于晶體管、開關(guān)、壓力傳感器等領(lǐng)域。靜電驅(qū)動裝置一般由導(dǎo)電變形板和剛性接地板組成【1】（pelesko 和 bernstein，2002年）。兩個板之間施加的直流電（DC）電壓會導(dǎo)致變形板的彎曲和器件電容的隨之變化。交流電（AC）和直流電壓的綜合效應(yīng)導(dǎo)致所謂諧振器件的諧波運(yùn)動。這類裝置在信號過濾、壓力傳感器以及化學(xué)和質(zhì)量傳感方面具有廣泛的應(yīng)用。兩個板之間施加的直流電壓具有上限。在這一臨界電壓之外，靜力會大于變形板的彈性回復(fù)力。變形板打開并接觸到剛性板。這種現(xiàn)象被稱為拉入不穩(wěn)定性。這種不穩(wěn)定性相對應(yīng)的臨界撓度和臨界電壓分別稱為拉入偏轉(zhuǎn)和拉入電壓。它們的準(zhǔn)確預(yù)測是靜電驅(qū)動 MEMS/NEMS設(shè)計中的一個重要問題。

隨著尺寸的不斷縮小，兩個板塊之間的分子相互作用力，應(yīng)考慮如范德華力和卡西米爾力。在納米尺度上，兩個板之間的分子相互作用可以影響器件中的彈性回復(fù)作用，導(dǎo)致變形板接觸剛性板。如果發(fā)生這種情況，則無法制造靜電開關(guān)。當(dāng)兩個物體之間的間隙遠(yuǎn)低于等離子體波長（通常低于20納米）時，范德華力通常比卡西米爾力更顯著。另一方面，對于較大的差距（通常大于20納米），卡西米爾力比范德華力更重要 【2】（ramezani 等人，2007年）。半無限平行板塊之間的卡西米爾力和范德華力分別與間距的第四和第三力成反比?！?】wang 等人（2011年）在考慮卡西米爾力的情況下，研究了預(yù)應(yīng)力圓形靜電驅(qū)動微板的拉入不穩(wěn)定性和振動情況。由于卡西米爾力和范德華力在兩個不同的間隙中描述了相同的物理現(xiàn)象，一般來說，不能認(rèn)為它們在 MEMS/NEMS中同時起作用。另一方面，隨著靜電驅(qū)動器件尺寸從微觀到納米的減小，表面效應(yīng)可能在屈曲中發(fā)揮重要作用。然而，這些工作僅限于一維納米開關(guān)。

目前還沒有研究表面效應(yīng)對二維板狀納米開關(guān)拉入不穩(wěn)定性和振動的影響。由于納米板通常是壓電或靜電驅(qū)動的各種諧振和開關(guān)應(yīng)用，卡西米爾力和表面能量都會影響納米開關(guān)的拉入不穩(wěn)定性。因此，本文研究卡西米爾力對靜電驅(qū)動納米板拉入不穩(wěn)定性的影響。應(yīng)用Galerkin方法建立了靜電驅(qū)動納米板的降階模型。研究了拉入電壓、拉入偏轉(zhuǎn)和納米板基頻對卡西米爾力的影響。

2. 問題陳述

用于兩個長度為l、寬度 （ ）和高度 h的變形板系統(tǒng)。兩個板塊之間的初始間隙是 。上板的位移表示為 、 和w，其中 u、v和 w分別是沿 x 軸、y 軸和 z 軸的位移。板體中儲存的應(yīng)變能為

現(xiàn)在，我們用 和牛頓的方法來解決 Eq.（13）。通過以下迭代過程，可以從 Eq.（13）和邊界條件 Eq.（10）確定拉入?yún)?shù)：

增加試驗電壓λ并重復(fù)步驟，直到系統(tǒng)的剛度矩陣變得奇異或迭代過程不能收斂。最后一個λ是拉入?yún)?shù)λPI。對最后的λ方向響應(yīng)的偏轉(zhuǎn)是拉入偏轉(zhuǎn)。

4.數(shù)值結(jié)果和討論

對于橫向位移，使用了以下一組基礎(chǔ)函數(shù)

其中 （m=1，…，N）是超驗方程 的第2根。另外，本節(jié)忽略了表面彈性（ ），因為與初始表面能 相比，表面彈性 對總表面能量的貢獻(xiàn)很小。

由于橫向位移的基函數(shù)是對稱的， ， ，只考慮奇數(shù)項。表1列出了為正方形板（ ）提取的拉入電壓參數(shù) 和拉入偏轉(zhuǎn) ，在Eq.（18）中 （無表面能）、 （無卡西米爾力）和 n 的不同值）。結(jié)果表明，該方法為矩形納米板的拉入?yún)?shù)得到了收斂解 。原因是只有一個基準(zhǔn)函數(shù)項能夠很好地逼近電和卡西米爾力作用下的變形板。用現(xiàn)行模型計算 （ and ），不考慮表面能（ ），與Francais及Dufour的實驗結(jié)果一樣。【4】結(jié)果表明，該結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合較好。

結(jié)果表明，卡西米爾力參數(shù) 與表面效應(yīng)參數(shù) 之間的關(guān)系可以用以下線性表達(dá)式來逼近：

需要注意的是，卡西米爾力參數(shù) 給出了可安全制造的納米機(jī)電板的最大尺寸。同樣，臨界拉入電壓參數(shù) 和表面效應(yīng)參數(shù) 之間的關(guān)系也可以近似為線性表達(dá)式：

由此可看出，卡西米爾力參數(shù) 和拉入電壓參數(shù) 隨表面能參數(shù)β的增加而增大。

6. 結(jié)論

本文建立了表面效應(yīng)和卡西米爾力對靜電驅(qū)動納米板拉入不穩(wěn)定性和共振行為影響的降階模型。利用哈密頓原理，得到了靜電驅(qū)動納米板的控制方程。最終得出：卡西米爾力參數(shù) 和拉入電壓參數(shù) 隨表面能參數(shù)β的增加而增大。

參考文獻(xiàn)

[1]Pelesko，J. A .，Bernstein D. H.（2002）. Modeling MEMS and NEMS，Chapman & Hall，Boca Raton，F(xiàn)la.，Chapter 7.

[2]Ramezani，A.，Alasty，A.，Akbari，J.（2007）. Closed-form solutions of the pull-in instability in nano-cantilevers under electrostatic and intermolecular surface forces. Int. International Journal of Solids and Structures 44，4925–4941

[3]Wang，Y. G.，Lin，W. H.，Li，X. M.，F(xiàn)eng，Z. J.（2011）. Bending and vibration of an electrostatically actuated circular microplate in presence of Casimir force. Applied Mathematical Modelling 35，2348–2357

[4]Francais，O.，Dufour，I.（1999）.Normalized abacus for the global behavior of diaphragms：pneumatic，electrostatic，piezoelectric or electromagnetic actuation. Journal of Modeling and Simulation of Microsystems 2，149–160

（作者單位：同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院）