張利娟， 李欣業(yè)， 張華彪

(1. 河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300130; 2. 天津商業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300134)

微機(jī)械陀螺由于體積小、重量輕、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于商業(yè)和軍事領(lǐng)域。微機(jī)械陀螺的性能與其動(dòng)力學(xué)特性緊密相關(guān)，因此微機(jī)械系統(tǒng)相關(guān)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的研究受到了人們的普遍關(guān)注。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了比較深入的研究，李欣業(yè)等[1-2]分別對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)的微機(jī)械陀螺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性及其時(shí)滯反饋控制進(jìn)行研究，分析了系統(tǒng)參數(shù)和反饋增益及時(shí)滯對(duì)振幅和分岔特性的影響。尚慧琳等[3]研究了參數(shù)激勵(lì)和具有立方非線(xiàn)性的切向梳齒驅(qū)動(dòng)型微陀螺，利用分岔理論得到了Hopf分岔?xiàng)l件，并通過(guò)數(shù)值模擬揭示了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)和檢測(cè)模態(tài)振幅和分岔行為的影響機(jī)制。文永蓬等[4]通過(guò)對(duì)微陀螺非線(xiàn)性模型的求解，探討了驅(qū)動(dòng)微彈性梁和檢測(cè)微彈性梁的非線(xiàn)性剛度對(duì)微陀螺輸出的影響規(guī)律，研究了微陀螺的帶寬在非線(xiàn)性剛度作用下的設(shè)計(jì)原則。張琪昌等[5-6]分別研究了微機(jī)械系統(tǒng)中的空氣阻尼與非線(xiàn)性靜電力以及驅(qū)動(dòng)器的時(shí)滯特性對(duì)系統(tǒng)共振頻率和響應(yīng)特性的影響。

對(duì)于微機(jī)械陀螺而言，除了自身參數(shù)外，加工誤差的影響也很重要。由于尺寸很小，微機(jī)械陀螺的敏感結(jié)構(gòu)通常采用微加工技術(shù)一次成型，在現(xiàn)有條件下，其加工誤差是很難控制的。加工誤差的存在使得微機(jī)械陀螺的彈性主軸和驅(qū)動(dòng)/敏感軸不能完全重合[7]，導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)模態(tài)將部分彈性力耦合到敏感模態(tài)，引起了誤差信號(hào)的出現(xiàn)，直接影響到陀螺儀的性能。Mohammadi等[8]研究了耦合誤差對(duì)諧波和參數(shù)激勵(lì)的微陀螺系統(tǒng)精度的影響。吝海鋒[9]研究了不同誤差來(lái)源對(duì)正交耦合的影響，發(fā)現(xiàn)振動(dòng)結(jié)構(gòu)支撐梁的加工誤差是引起結(jié)構(gòu)剛度不對(duì)稱(chēng)并產(chǎn)生正交耦合的主要因素，計(jì)算了正交耦合系數(shù)對(duì)梁寬誤差和梁傾斜誤差的敏感度。 姜劭棟等[10]利用能量方法推導(dǎo)陀螺儀驅(qū)動(dòng)梁的面內(nèi)剛度，建立陀螺儀的剛度矩陣，推導(dǎo)了交叉耦合系數(shù)的理論計(jì)算公式。Tatar等[11]利用有限元計(jì)算和試驗(yàn)證實(shí)正交誤差主要來(lái)源于機(jī)械剛度不對(duì)稱(chēng)，并設(shè)計(jì)了一種閉環(huán)控制裝置對(duì)正交誤差進(jìn)行補(bǔ)償，該裝置可以有效減小正交誤差，同時(shí)還可以提高系統(tǒng)的機(jī)械靈敏度和線(xiàn)性度。賀琨等[12]認(rèn)為振動(dòng)結(jié)構(gòu)支撐梁的加工誤差是產(chǎn)生模態(tài)耦合誤差的主要因素，在與該誤差對(duì)稱(chēng)的位置去除相應(yīng)材料可以減小甚至消除模態(tài)耦合誤差，并利用紫外激光對(duì)微陀螺樣機(jī)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)平衡實(shí)驗(yàn)。郝淑英等[13]建立的微機(jī)械陀螺敏感結(jié)構(gòu)的有限元模型，研究了微陀螺驅(qū)動(dòng)微梁在加工誤差下的微梁形狀變化對(duì)正交耦合誤差、模態(tài)耦合以及檢測(cè)信號(hào)的影響。Gao等[14]研究了雙質(zhì)量MEMS陀螺儀的最佳正交誤差修正方法，比較了電荷校正，正交力校正和耦合剛度校正三種方法，發(fā)現(xiàn)耦合剛度校正效果更好。Phani等[15]考慮非對(duì)稱(chēng)剛度和阻尼的影響，提出三種基于參數(shù)辨識(shí)的微機(jī)械陀螺系統(tǒng)建模方法，用于確定驅(qū)動(dòng)和敏感模態(tài)耦合程度以及兩者頻率之間的匹配。

雖然很多文獻(xiàn)指出加工誤差引起剛度不對(duì)稱(chēng)是機(jī)械耦合誤差產(chǎn)生的主要原因，但這些文獻(xiàn)更多的關(guān)注誤差的補(bǔ)償方法以及加工誤差對(duì)交叉耦合剛度的影響，針對(duì)加工誤差對(duì)微陀螺系統(tǒng)誤差的影響機(jī)理的研究并不多見(jiàn)。同時(shí)在微機(jī)械系統(tǒng)中，非線(xiàn)性是普遍存在的，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多沒(méi)有考慮到非線(xiàn)性的影響。

本文的第2部分將考慮微陀螺系統(tǒng)的剛度非線(xiàn)性以及加工誤差引起的彈性主軸和驅(qū)動(dòng)/敏感軸之間的角度偏移，建立微機(jī)械陀螺的動(dòng)力學(xué)方程，并利用平均法求得了關(guān)于系統(tǒng)響應(yīng)振幅和相位的慢變方程。第3部分基于同倫延拓方法研究了偏移角度對(duì)零偏、機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度的影響。

1 微機(jī)械陀螺的動(dòng)力學(xué)模型及其周期解

微機(jī)械陀螺結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中微機(jī)械陀螺敏感結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量為m，Ω為被檢測(cè)的角速度，xa-ya是絕對(duì)坐標(biāo)系，x-y為微陀螺系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)/檢測(cè)坐標(biāo)系，x軸為輸入軸(驅(qū)動(dòng)模態(tài)方向)，y軸為輸出軸(檢測(cè)模態(tài)方向)，xp-yp為微陀螺系統(tǒng)彈性主軸坐標(biāo)系，φ和ψ分別是x和xp以及y和yp之間由于加工誤差產(chǎn)生的偏移角度。

圖1 微機(jī)械陀螺物理模型Fig.1 The physical model of MEMS gyroscope

容易求得質(zhì)量塊的絕對(duì)坐標(biāo)為

xa=xcosθ-ysinθ,ya=ycosθ+xsinθ

(1)

其中θ=Ωt，xa,ya對(duì)t求導(dǎo)可得m的絕對(duì)速度為

(2)

因此可得質(zhì)量塊的動(dòng)能為

(3)

考慮到驅(qū)動(dòng)/檢測(cè)軸和彈性主軸發(fā)生偏斜，彈性主軸的變形量為

(4)

假定微陀螺系統(tǒng)的剛度具有三次非線(xiàn)性，可求得的勢(shì)能為(此處不考慮微陀螺重力勢(shì)能)

(5)

式中：kx,ky分別為驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)方向的線(xiàn)性剛度系數(shù)，αx,αy分別是驅(qū)動(dòng)、檢測(cè)方向的非線(xiàn)性剛度系數(shù)，Ue為電動(dòng)勢(shì)能，有fd=-Fcosωt=-?Ue/?x，為x方向電極的驅(qū)動(dòng)力，y方向敏感電極的驅(qū)動(dòng)力是y的近似線(xiàn)性函數(shù)，大小為-?Ue/?y=key。根據(jù)拉格朗日方程，可求得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

式中：cx,cy分別是x,y方向的阻尼系數(shù)，考慮到交叉耦合阻尼對(duì)系統(tǒng)誤差影響很小，這里忽略了交叉耦合阻尼項(xiàng)，G=2mΩ,為陀螺力項(xiàng)系數(shù)。方程(6)中出現(xiàn)了線(xiàn)性和非線(xiàn)性的交叉耦合剛度，各剛度項(xiàng)的系數(shù)見(jiàn)式(7)。

(7)

定義X=x/r,Y=y/r,τ=ωt，其中r為基準(zhǔn)長(zhǎng)度。對(duì)式(6)進(jìn)行無(wú)量綱化，有

(8)

其中

(9)

X=A1cos(τ+θ1),Y=A2cos(τ+θ2)

可得關(guān)于系統(tǒng)振幅和相位的平均方程為

(10)

2 偏移角度對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響

m=0.01 g,r=1 μm,kx=ky=1.5×103N/m,cx=cy=5×10-3Ns/m,ke=100 N/m，αx=αy=7.5×103N/m3,ω=12 600 rad/s

圖2 敏感方向無(wú)量綱振幅隨被檢測(cè)角速度Ω變化的 曲線(xiàn)(φ=0)

Fig.2 Variation of non-dimensional amplitude in sensitivity direction with the detected angular velocityΩ(φ=0)

圖2和圖3中可以看到隨偏移角度的增大，系統(tǒng)的零偏也在增大。為了描述偏移角度對(duì)零偏的影響，圖4給出了偏移角度對(duì)零偏的影響，其中A20表示無(wú)量綱零偏，可以看到沿-φ=ψ方向，零偏隨偏移角度的增大逐漸增大。為了更好的描述偏移角度對(duì)零偏的影響，圖5給出了幾種特殊情況下偏移角度對(duì)零偏的影響，可以看到偏移角度為0時(shí)，零偏也為0；當(dāng)只有一個(gè)方面有角度偏移時(shí)(另一方向角度偏移為0)，ψ和φ對(duì)零偏的影響是相同的；當(dāng)兩個(gè)方向的偏移角度相等時(shí)(φ=ψ)，零偏的值較小；而兩個(gè)方向的偏移角度互為相反數(shù)時(shí)(-φ=ψ)，零偏值的變化范圍很大，隨著偏移角度的增大，零偏迅速增大。圖5中同時(shí)給出了基于龍格庫(kù)塔法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其與解析計(jì)算結(jié)果吻合的非常好。

圖3 敏感方向無(wú)量綱振幅隨被檢測(cè)角速度Ω變化的 曲線(xiàn)(ψ=0)

Fig.3 Variation of non-dimensional amplitud in sensitivity direction e with the detected angular velocityΩ(ψ=0)

圖4 偏移角度對(duì)無(wú)量綱零偏的3D影響圖Fig.4 3D influence diagram of deviation angular on the non-dimensional zero bias

(a) φ=0

(b) ψ=0

(c) φ=ψ=β

(d) -φ=ψ=β圖5 偏移角度對(duì)無(wú)量綱零偏的影響曲線(xiàn)Fig.5 Influence of angular deviation on the non-dimensional zero bias

此外從圖2和圖3可以看到，加工誤差引起的偏移角度不僅對(duì)曲線(xiàn)的零偏有影響，對(duì)曲線(xiàn)的斜率和線(xiàn)性程度也有影響，它們?cè)谕勇菹到y(tǒng)響應(yīng)特性上分別表現(xiàn)為系統(tǒng)的機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度。為了對(duì)系統(tǒng)的機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度進(jìn)行分析，設(shè)定系統(tǒng)的量程為0～50 rad/s，利用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線(xiàn)性擬合，設(shè)定擬合公式為[17]

A2l=SΩ+A20

(11)

式中：S為系統(tǒng)的無(wú)量綱機(jī)械靈敏度，A20為無(wú)量綱零偏。圖6給出了敏感方向振幅隨被檢測(cè)角速度變化曲線(xiàn)擬合的結(jié)果，其中A2為原始數(shù)據(jù)，A2l為擬合后的結(jié)果，顯然兩者不可能完全一致，兩者之間的差異可以用非線(xiàn)性度來(lái)表示，定義非線(xiàn)性度為[17]

(12)

圖6 敏感方向振幅隨被檢測(cè)角速度變化曲線(xiàn)的 線(xiàn)性擬合(φ=ψ=-0.5°)

Fig.6 Linear fitting of variation of amplitude in sensitivity direction with the detected angular velocity (φ=ψ=-0.5°)

圖7和圖9分別給出了偏移角度對(duì)無(wú)量綱機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度的影響，可以看到機(jī)械靈敏度沿-φ=ψ方向隨偏移角度絕對(duì)值的增大而減小，而非線(xiàn)性度的變化相對(duì)復(fù)雜，沿-φ=ψ方向在偏移角度絕對(duì)值較小時(shí)，非線(xiàn)性度隨偏移角度的增大而增大，在偏移角度較大時(shí)，對(duì)應(yīng)局部區(qū)域，非線(xiàn)性度出現(xiàn)了一些峰值。為了更好的描述偏移角度對(duì)機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度的影響，圖8和圖10分別給出了幾種特殊情況下，偏移角度對(duì)無(wú)量綱機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度的影響，可以看到偏移角度為0時(shí)，無(wú)量綱機(jī)械靈敏度最大，非線(xiàn)性度最小；當(dāng)只有一個(gè)方面有角度偏移時(shí)(另一方向角度偏移為0)，ψ和φ對(duì)無(wú)量綱機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度的影響是相同的；當(dāng)兩個(gè)方向的偏移角度相等時(shí)(φ=ψ)，無(wú)量綱機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度隨偏移角度的變化幅度很小，且機(jī)械靈敏度較大，而非線(xiàn)性度較??；而兩個(gè)方向的偏移角度互為相反數(shù)時(shí)(-φ=ψ)，機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度隨偏移角度變化劇烈，隨著偏移角度的增大，機(jī)械靈敏度迅速減小，而非線(xiàn)性度迅速增大，且非線(xiàn)性度在某些參數(shù)范圍出現(xiàn)了峰值。圖8和圖10中給出了基于龍格庫(kù)塔法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其與解析計(jì)算結(jié)果吻合的非常好。

圖7 偏移角度對(duì)無(wú)量綱機(jī)械靈敏度的3D影響圖Fig.7 3D influence diagram of deviation angular on the non-dimensional mechanical sensitivity

(a) ψ=0

(b) φ=0

(c) φ=ψ=β

(d) -φ=ψ=β

圖8 偏移角度對(duì)無(wú)量綱機(jī)械靈敏度的影響

Fig.8 Influence of deviation angular on the non-dimensional mechanical sensitivity

圖9 偏移角度對(duì)非線(xiàn)性度的3D影響圖Fig.9 3D influence diagram of deviation angular on the nonlinearity

對(duì)于理想的微陀螺系統(tǒng)，我們希望其零偏和非線(xiàn)性度較小，而機(jī)械靈敏度較大，圖4、7、9中可以看到當(dāng)偏移角度ψ和φ滿(mǎn)足一定關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)的零偏、非線(xiàn)性度和機(jī)械靈敏度取極值。圖11給出了系統(tǒng)零偏、非線(xiàn)性度取極小值，機(jī)械靈敏度取極大值時(shí)ψ和φ的關(guān)系曲線(xiàn)，可以看到三條曲線(xiàn)是重合的，當(dāng)偏移角度接近該曲線(xiàn)時(shí)，微陀螺系統(tǒng)的零偏、機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度都較好。在工程中，微機(jī)械陀螺的敏感結(jié)構(gòu)加工出現(xiàn)誤差時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行修型，修型并不需要將每個(gè)方向的角度偏差都修正為0，只需對(duì)某一方向進(jìn)行修正使得兩方向的偏移角度值靠近圖11所給出的曲線(xiàn)，系統(tǒng)就會(huì)變現(xiàn)出較好的響應(yīng)特性。

(a) Ψ=0

(b) φ=0

(c) φ=Ψ=β

(d) -φ=Ψ=β圖10 偏移角度對(duì)非線(xiàn)性度的影響Fig.10 Influence of deviation angular on the nonlinearity

圖11 零偏、非線(xiàn)性度取極小值，機(jī)械靈敏度取極大值 時(shí)偏移角度的關(guān)系曲線(xiàn)

Fig.11 The relation curves between deviation angles when zero bias, nonlinearity is minimized and the mechanical sensitivity is maximized

3 結(jié) 論

本文針對(duì)微機(jī)械陀螺系統(tǒng)加工誤差對(duì)響應(yīng)特性的影響，主要進(jìn)行了如下工作：

(1) 考慮微陀螺系統(tǒng)的剛度非線(xiàn)性以及加工誤差引起的彈性主軸和驅(qū)動(dòng)/敏感軸之間的角度偏移的影響，通過(guò)拉格朗日方程求得了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，利用平均法求得了關(guān)于系統(tǒng)振幅和相位的慢變方程。

(2) 采用同倫延拓方法分別研究了加工誤差引起的角度偏移對(duì)微陀螺系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響，給出了偏移角度對(duì)零偏、機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度影響的三維曲面，發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)方向有角度偏移時(shí)，驅(qū)動(dòng)或者敏感方向的角度偏移對(duì)三者的影響是相同的，即隨著偏移角度絕對(duì)值的增大，零偏和非線(xiàn)性度增加，機(jī)械靈敏度降低。驅(qū)動(dòng)和敏感方向同時(shí)有角度偏移時(shí)，沿兩個(gè)偏移角度互為相反數(shù)的方向，零偏、機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度隨偏移角度大小的變化非常劇烈；而當(dāng)偏移角度接近時(shí)，零偏、機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度隨偏移角度大小的變化較為平緩。

(3) 給出了系統(tǒng)零偏、非線(xiàn)性度取極小值，機(jī)械靈敏度取極大值時(shí)兩個(gè)方向偏移角度之間的關(guān)系曲線(xiàn)，當(dāng)偏移角度接近該曲線(xiàn)時(shí)，微陀螺系統(tǒng)的零偏、機(jī)械靈敏度和非線(xiàn)性度都較好。在工程中，對(duì)微機(jī)械陀螺敏感結(jié)構(gòu)的修型并不需要將每個(gè)方向的角度偏差都修正為0，只需對(duì)某一方向進(jìn)行修正使得兩方向的偏移角度值接近該曲線(xiàn)即可。