夏張輝, 周勁松, 宮 島, 孫文靜, 孫 煜

(同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院, 上海 201804)

目前，動(dòng)力分散技術(shù)在高速動(dòng)車組得到推廣運(yùn)用，與動(dòng)力集中技術(shù)相比，采用動(dòng)力分散技術(shù)的列車能夠充分利用輪軌黏著力，有效降低輪軌間動(dòng)作用力和噪聲，可實(shí)現(xiàn)列車的靈活編組與大功率牽引。動(dòng)力分散型高速動(dòng)車組配置了更多的牽引變流器、輔助變流器等車下設(shè)備，其中部分車下設(shè)備占位空間及質(zhì)量較大，若其減振設(shè)計(jì)效果不理想，將會(huì)導(dǎo)致車體產(chǎn)生嚴(yán)重的結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

為降低車下設(shè)備對(duì)車體結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的不利影響，車下設(shè)備懸掛系統(tǒng)通常采用橡膠元件吊掛方式。文獻(xiàn)[1]研究了車下設(shè)備懸掛系統(tǒng)參數(shù)對(duì)高速動(dòng)車組車體一階垂向彎曲頻率的影響，并基于模態(tài)匹配原則設(shè)計(jì)了橡膠元件參數(shù)。文獻(xiàn)[2]利用車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，基于減振理論設(shè)計(jì)車下設(shè)備固有頻率，進(jìn)一步結(jié)合橡膠材料特性確定橡膠元件的參數(shù)。文獻(xiàn)[3-4]通過(guò)建立包含車下設(shè)備的鐵道車輛垂向剛?cè)狁詈蠑?shù)學(xué)模型，分析了動(dòng)力吸振器(Dynamic Vibration Absorber, DVA)對(duì)車體彈性振動(dòng)的抑制作用。

然而，以往研究基本只考慮車下設(shè)備的垂向自由度，鮮有考慮車下設(shè)備6個(gè)自由度間耦合振動(dòng)對(duì)減振設(shè)計(jì)的影響及其對(duì)整車振動(dòng)的影響機(jī)理，實(shí)際上，當(dāng)車下設(shè)備存在重心偏置、局部質(zhì)量分布不均以及懸掛系統(tǒng)設(shè)計(jì)不合理等情況時(shí)，車下設(shè)備6個(gè)自由度的振動(dòng)將發(fā)生耦合，這在一定程度上對(duì)車下設(shè)備最終的減振效果帶來(lái)影響。解耦度是衡量懸掛系統(tǒng)優(yōu)劣的主要指標(biāo)之一，懸掛系統(tǒng)各向解耦度越高，各向振動(dòng)的獨(dú)立性越好，以便設(shè)計(jì)車下設(shè)備各向振動(dòng)頻率[5-6]?；诖耍疚氖紫然趧?dòng)力吸振理論，確定車下設(shè)備優(yōu)化設(shè)計(jì)固有頻率。隨后，建立車下設(shè)備振動(dòng)方程并據(jù)此研究車下設(shè)備耦合振動(dòng)對(duì)整車振動(dòng)性能的影響及其機(jī)理，最后，提出兩種解耦優(yōu)化方法并分析車輛動(dòng)力學(xué)性能。本文研究過(guò)程與工程實(shí)際緊密結(jié)合，研究結(jié)果普適于實(shí)際情況下高速動(dòng)車組車下設(shè)備橡膠元件的參數(shù)設(shè)計(jì)。

1 基于DVA的車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率設(shè)計(jì)

將車體視為自由彈性均質(zhì)Euler梁，將車下設(shè)備視為單自由度DVA，建立包含車下設(shè)備的垂向耦合振動(dòng)系統(tǒng)，見(jiàn)圖1。根據(jù)自由彈性梁的振動(dòng)原理[7-8]，車體第i階彈性振型函數(shù)為

Yi(x)=coshβix+cosβix-

( 1 )

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，滿足最優(yōu)同調(diào)的車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率和車體自振頻率的比值為

( 2 )

式中：feo、fco分別為設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率與車體自振頻率，根據(jù)車體各階彈性模態(tài)對(duì)車體振動(dòng)的貢獻(xiàn)[10]，fco采用車體垂向一階彎曲模態(tài)頻率；μ為車下設(shè)備與車體的質(zhì)量比值；ld為車下設(shè)備至車體端部距離。

本文分析中，關(guān)于車下設(shè)備優(yōu)化頻率比γopt的計(jì)算參數(shù)和取值見(jiàn)表1。根據(jù)式( 1 )、式( 2 )，計(jì)算可得基于DVA的車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率的最優(yōu)值為8.079 Hz。

表1 DVA優(yōu)化頻率比的計(jì)算參數(shù)和取值

采用傳統(tǒng)的橡膠元件剛度值設(shè)計(jì)方法，可根據(jù)車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率feo、設(shè)備質(zhì)量m以及設(shè)備箱體吊掛點(diǎn)數(shù)n，通過(guò)式( 3 )計(jì)算獲得各橡膠元件的垂向剛度

kzo=m·(2πfeo)2/n

( 3 )

依據(jù)橡膠元件外型特點(diǎn)，其剪切剛度通常與壓縮剛度數(shù)值存在一定關(guān)系。對(duì)于矩形懸置膠墊，其壓剪剛度比在3～8之間；對(duì)于圓筒形橡膠元件，壓剪剛度比小于5[11-12]。同時(shí)考慮到車下設(shè)備縱向限位，因此取橫向、垂向剛度比值1/3，取縱向、垂向剛度比值2。

為驗(yàn)證基于動(dòng)力吸振理論的車下設(shè)備固有頻率設(shè)計(jì)的科學(xué)性，首先建立包括車下設(shè)備的車輛系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，見(jiàn)圖2。車體彈性主要考慮低階彈性模態(tài)，其垂向一階彎曲模態(tài)頻率為9.243 Hz。以低激勵(lì)高速譜[13]作為軌道不平順輸入，圖3、圖4分別為不同速度下車下設(shè)備和車體中部垂向振動(dòng)加速度均方根(Root Mean Square, RMS)值。從圖3可以看出，設(shè)備垂向振動(dòng)加速度有效值隨設(shè)備垂向固有頻率的增加呈不斷上升趨勢(shì)，并且速度越大，上升趨勢(shì)越明顯。從圖4可以看出，不同速度級(jí)下，車體中部垂向振動(dòng)加速度有效值均隨設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率的上升呈現(xiàn)先下降、后上升的趨勢(shì)，并且在8.0 Hz附近取得最小值。綜上所述，選取車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率設(shè)計(jì)值為8.0 Hz。

2 車下設(shè)備解耦度理論研究

2.1 車下設(shè)備振動(dòng)方程

為考慮車下設(shè)備各振動(dòng)自由度間的耦合，將車下設(shè)備設(shè)為具有6個(gè)自由度的空間剛體，將橡膠元件設(shè)為具備三向剛度的彈簧，建立坐標(biāo)系見(jiàn)圖5。其中，在車下設(shè)備的重心位置建立坐標(biāo)原點(diǎn)，車輛走行方向?yàn)閤正方向，二位側(cè)為y正方向,垂直向下為z正方向,側(cè)滾rx、點(diǎn)頭ry、搖頭rz正方向按右手法則確定。

第i個(gè)(i=1,2,3,4)橡膠元件的位置坐標(biāo)為(ai,bi,ci)，其三向剛度為(kxi,kyi,kzi)，當(dāng)車下設(shè)備振動(dòng)時(shí)，第i個(gè)橡膠元件產(chǎn)生的彈性力與彈性力矩分別為

( 4 )

4個(gè)橡膠元件產(chǎn)生總的彈性力與彈性力矩為

( 5 )

當(dāng)不考慮外界激勵(lì)時(shí)，建立車下設(shè)備6個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)方程為

( 6 )

式中：T=[x,y,z,rx,ry,rz]T為車下設(shè)備6個(gè)自由度的剛體位移；M為車下設(shè)備的質(zhì)量矩陣，其表達(dá)式為

M=diag(m,m,m,Ixx,Iyy,Izz)

( 7 )

其中，Ixx、Iyy、Izz分別為車下設(shè)備繞對(duì)應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式( 6 )展開(kāi)并整理得

( 8 )

根據(jù)式( 6 )，求解車下設(shè)備6階剛體模態(tài)振型向量及模態(tài)頻率，有

KTj=λjMTjj=1,2,…,6

( 9 )

(10)

式中：矩陣K為對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素K11、K22、K33、K44、K55、K66是車下設(shè)備的線位移和角位移剛度影響因子；K15、K16、K24、K26、K34、K35是車下設(shè)備的線位移與角位移的耦合剛度影響因子；K45、K46、K56是角位移與角位移的耦合剛度影響因子。

2.2 能量解耦度

定義車下設(shè)備的第j階振動(dòng)能量分布矩陣元素為[14]

(11)

第p個(gè)元素占第j階振型的能量百分比為

(12)

定義第j階振型各振動(dòng)方向振動(dòng)能量占振型能量百分比的最大值為解耦度，當(dāng)EP(k,j)=100%，即表明第j階振型的能量全部集中在第k個(gè)振動(dòng)方向，此時(shí)車下設(shè)備的第j階振型的振動(dòng)完全解耦。

3 車下設(shè)備耦合振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)減振效果的影響機(jī)理研究

實(shí)際上，車下設(shè)備箱體幾何形心與重心并不一定完全重合(見(jiàn)圖6)，此時(shí)車下設(shè)備6個(gè)自由度的振動(dòng)將發(fā)生耦合。為研究重心偏置對(duì)車下設(shè)備耦合振動(dòng)的影響規(guī)律，采用式( 9 )與式(12)分別計(jì)算車下設(shè)備縱向偏心距離Δx∈[-0.4,0.4]m、橫向偏心距離Δy∈[-0.5,0.5]m時(shí)，設(shè)備各階振型頻率和能量分布，圖7所示為縱向偏心、橫向偏心情況下車下設(shè)備以浮沉振動(dòng)為主的振型頻率與解耦度計(jì)算結(jié)果。分析過(guò)程中，車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率設(shè)置為8.0 Hz，各橡膠元件三向剛度按照傳統(tǒng)的橡膠元件剛度值設(shè)計(jì)方法獲得。

從圖7(a)可以看出，以浮沉振動(dòng)為主的振動(dòng)頻率與解耦度均隨著縱向偏心距離絕對(duì)值的增加而下降，表明該階振型耦合度相應(yīng)增大。圖7(b)同理，以浮沉振動(dòng)為主的振動(dòng)頻率與解耦度也隨著橫向偏心距離絕對(duì)值的增加而降低。綜合上述分析可知，車下設(shè)備偏心距離絕對(duì)值越大，以浮沉振動(dòng)為主的振型耦合度也越高。

圖8為車下設(shè)備縱向偏心距離Δx∈[-0.4,0.4]m、橫向偏心距離Δy∈[-0.5,0.5]m范圍內(nèi)車輛垂向運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)計(jì)算結(jié)果。從圖8可以看出，車體垂向運(yùn)行平穩(wěn)性指標(biāo)隨著車下設(shè)備縱向、橫向偏心距離絕對(duì)值的增加而明顯上升；當(dāng)車輛運(yùn)行速度為300 km/h時(shí)，縱向偏心距離Δx≥0.2 m、橫向偏心距離Δy≥0.25 m情況下車體垂向運(yùn)行平穩(wěn)性Sperling指標(biāo)均大于2.5，運(yùn)行平穩(wěn)性等級(jí)由優(yōu)秀下降為良好。綜合上述分析可知，設(shè)備偏心將導(dǎo)致車下設(shè)備浮沉振動(dòng)與其他階振型振動(dòng)發(fā)生耦合，進(jìn)而導(dǎo)致以浮沉振動(dòng)為主的振動(dòng)頻率下降，偏離固有頻率最優(yōu)值。

4 基于正向解耦法與逆向解耦法的優(yōu)化設(shè)計(jì)

為使車下設(shè)備各向振動(dòng)彼此獨(dú)立且按預(yù)定頻率振動(dòng)，本文提出兩種解耦優(yōu)化方法——正向解耦法(Forward Decoupling Method, FDM)與逆向解耦法(Inverse Decoupling Method, IDM)，二者互為逆反過(guò)程。

4.1 正向解耦法(FDM)

FDM是在車下設(shè)備振動(dòng)方程的基礎(chǔ)上，通過(guò)消除或弱化線位移與角位移、角位移與角位移的耦合剛度影響因子，求得使車下設(shè)備6個(gè)自由度均按最優(yōu)頻率嚴(yán)格獨(dú)立振動(dòng)時(shí)的橡膠元件剛度向量的解析解。

對(duì)于只有x向平動(dòng)位移的振型，即振型向量Tx=[1,0,0,0,0,0]T，若此階振型的模態(tài)頻率等于最優(yōu)頻率fxo時(shí)，則有

KTx=(2πfxo)2MTx

(13)

根據(jù)式(13),可得剛度陣K第1列對(duì)應(yīng)的3個(gè)方程

(14)

對(duì)于只有y向平動(dòng)、z向平動(dòng)的振型，可由模態(tài)頻率fyo、fzo推導(dǎo)得到剛度矩陣第2列至第3列對(duì)應(yīng)的6個(gè)方程；同樣，對(duì)于只有繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)rx、繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)ry、繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)rz的振型，可由模態(tài)頻率frxo、fryo、frzo推導(dǎo)得到剛度矩陣第4列至第6列對(duì)應(yīng)的6個(gè)方程。

將這12個(gè)方程表示成矩陣形式

CX=D

(15)

式中:C、X、D分別為

為使得ming(X)=‖CX-D‖取得最小二乘解，按照廣義逆矩陣[15]計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。如果求得向量X中的某個(gè)值在約束范圍XL≤X≤XU外，可設(shè)定該值與約束邊界值相等，即得到滿足約束條件的最小二乘解。

4.2 逆向解耦法(IDM)

IDM是以滿足生產(chǎn)安裝允許范圍的橡膠元件剛度為邊界條件，求得使車下設(shè)備振型解耦度最高并且模態(tài)頻率最接近優(yōu)化頻率的橡膠元件剛度向量X的數(shù)值解?；贗DM的數(shù)學(xué)模型為

j=1,2,…,6

(16)

5 解耦優(yōu)化計(jì)算研究

5.1 解耦度分析

以車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率設(shè)計(jì)值8.0 Hz，橫向偏心距離-0.25 m、縱向偏心距離-0.2 m為原始方案，其中，各橡膠元件三向剛度依據(jù)傳統(tǒng)的橡膠元件剛度值設(shè)計(jì)方法獲得。運(yùn)用式( 4 )～式(12)計(jì)算獲得原始方案時(shí)車下設(shè)備各階振型頻率和能量分布見(jiàn)表2。從表2可以看出，第2階振型為以浮沉振動(dòng)為主，同時(shí)耦合側(cè)滾振動(dòng)和伸縮振動(dòng)振型，其頻率為6.30 Hz，振型解耦度為81.4%。針對(duì)上述情況，結(jié)合工程實(shí)際，根據(jù)車下設(shè)備各向振動(dòng)的頻率配置以及橡膠件三向剛度的約束條件，分別采用FDM與IDM對(duì)各橡膠元件三向剛度進(jìn)行解耦優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果見(jiàn)表3。

表2 原始方案設(shè)備各階振型頻率和能量分布

表3 橡膠元件剛度值設(shè)計(jì)結(jié)果比較 MN/m

表4、表5分別是采用FDM和IDM兩種方法時(shí)，車下設(shè)備各階振型頻率和能量分布的計(jì)算結(jié)果。可以看出，與原始方案相比，F(xiàn)DM和IDM兩種方法中第2階(以浮沉振動(dòng)為主)振型頻率和解耦度均得到顯著提升。其中，IDM的提升效果更加明顯，其車下設(shè)備以浮沉振動(dòng)為主的振型解耦度為90.1%，振型的耦合程度大大減小，且振型頻率上升至7.90 Hz，與垂向振動(dòng)固有頻率最優(yōu)值8.0 Hz十分接近。

就計(jì)算效率和精度而言，F(xiàn)DM可以迅速地得到剛度向量X優(yōu)化值，使振型解耦度趨近于100%且振型頻率趨近最優(yōu)頻率，無(wú)須反復(fù)迭代，但向量X的內(nèi)部元素可能會(huì)超出約束范圍XL≤X≤XU，此時(shí)需通過(guò)賦值的方法進(jìn)行修正，這樣會(huì)損失部分振型的解耦度，且模態(tài)頻率與最優(yōu)頻率也會(huì)出現(xiàn)一定偏差；而IDM的計(jì)算精度高，通過(guò)合理選擇計(jì)算控制參數(shù)，如遺傳算法的交叉概率、變異概率等，實(shí)現(xiàn)對(duì)剛度約束范圍XL≤X≤XU內(nèi)X的遍歷，但剛度向量X內(nèi)部元素較多，需要算法具備足夠的種群數(shù)量以及迭代次數(shù)，才能獲得較好地計(jì)算精度，因此IDM的計(jì)算效率較低。在實(shí)際運(yùn)用中，可根據(jù)具體的計(jì)算效率和精度要求，合理選擇解耦優(yōu)化方法。

表4 FDM設(shè)備各階振型頻率和能量分布

表5 IDM設(shè)備各階振型頻率和能量分布

5.2 減振效果分析

圖9為車輛運(yùn)行速度200、300 km/h時(shí)，車體垂向振動(dòng)加速度功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)。從圖9中可以看出，當(dāng)采用基于DVA的減振設(shè)計(jì)方法時(shí)，車體垂向一階彎曲頻率處(9.24 Hz)的振動(dòng)得到了有效抑制。與原始方案相比，采用FDM與IDM設(shè)計(jì)方法時(shí)，抑制效果顯著加強(qiáng)，這是由于FDM與IDM可保證車下設(shè)備以浮沉振動(dòng)為主振型具有良好解耦度，保持垂向振動(dòng)頻率在最優(yōu)設(shè)計(jì)頻率8.0 Hz附近；并且與FDM設(shè)計(jì)方案相比，IDM的抑制效果更明顯，這與第5.1節(jié)解耦度分析結(jié)果吻合。上述分析表明，基于動(dòng)力吸振理論及解耦度優(yōu)化設(shè)計(jì)的車下設(shè)備懸掛系統(tǒng)可以獲得更佳的減振效果。

6 結(jié)束語(yǔ)

基于動(dòng)力吸振理論，設(shè)計(jì)了車下設(shè)備垂向振動(dòng)固有頻率，建立了車下設(shè)備解耦度理論，并研究車下設(shè)備耦合振動(dòng)對(duì)DVA效果的影響及機(jī)理。車輛運(yùn)行平穩(wěn)性分析結(jié)果表明，車下設(shè)備耦合振動(dòng)會(huì)對(duì)車輛運(yùn)行平穩(wěn)性產(chǎn)生不利影響。

為實(shí)現(xiàn)車下設(shè)備6個(gè)方向自由度按最優(yōu)頻率獨(dú)立振動(dòng)，提出了兩種解耦優(yōu)化設(shè)計(jì)方法——正向解耦法(FDM)與逆向解耦法(IDM)，以解耦度和最優(yōu)頻率為優(yōu)化目標(biāo)，以橡膠元件三向剛度為約束條件，優(yōu)化設(shè)計(jì)了車下設(shè)備懸掛系統(tǒng)各橡膠元件的三向剛度。計(jì)算分析表明，當(dāng)分別采用FDM 與IDM設(shè)計(jì)方案時(shí)，車下設(shè)備以浮沉振動(dòng)為主的振型解耦度良好，振型頻率可保持在最優(yōu)設(shè)計(jì)頻率附近，懸掛系統(tǒng)減振效果明顯；與FDM設(shè)計(jì)方案相比，IDM計(jì)算速度較慢，但設(shè)計(jì)效果更好，減振效果更明顯，在實(shí)際運(yùn)用中，可根據(jù)具體的計(jì)算速度與設(shè)計(jì)效果要求，合理選擇解耦優(yōu)化方法。