張貝貝，李靜文，楊亞楠

（北京信息科技大學 經(jīng)濟管理學院，北京100192）

0 引言

事物是普遍聯(lián)系的，經(jīng)濟系統(tǒng)內(nèi)部各因素之間及它們同外部因素之間存在著錯綜復雜的交互因果關(guān)系。對經(jīng)濟系統(tǒng)的預(yù)測僅使用一種預(yù)測方法，往往導致信息不夠廣泛，可能會因為忽略某些因素而導致較大的預(yù)測誤差，難以進行精確可靠的預(yù)測[1]。如果對同一預(yù)測問題采用各種不同的預(yù)測方法，并加以適當?shù)慕M合，則能夠充分地利用各種信息，達到分散預(yù)測風險、提高預(yù)測精度的目的，由此組合預(yù)測應(yīng)運而生。Bates和Granger首次提出組合預(yù)測的概念[2]，即以某種加權(quán)平均的形式將各種不同的單項預(yù)測方法進行組合。組合預(yù)測模型較之單項預(yù)測模型能夠更充分地反映各種預(yù)測樣本信息，目前如何有效提高預(yù)測精度是預(yù)測界的熱點問題，權(quán)重系數(shù)的確定和集結(jié)算子的選擇一直是預(yù)測工作者研究的重點和難點。

本文構(gòu)建的基于IOWA算子的組合預(yù)測模型不同于傳統(tǒng)的組合預(yù)測模型。傳統(tǒng)的組合預(yù)測模型中同一個單項預(yù)測方法在樣本區(qū)間上各個時點的加權(quán)系數(shù)是相同的。但是對于同一個單項預(yù)測方法而言，不同時點的預(yù)測精度“時好時壞”，因而傳統(tǒng)的組合預(yù)測方法存在一定的缺陷。本文分別使用三種多參數(shù)指數(shù)平滑模型預(yù)測出觀測值在樣本區(qū)間的預(yù)測值，對每個單項預(yù)測方法在樣本區(qū)間上各個時點預(yù)測精度的高低按順序賦權(quán)，并分別建立以誤差平方和最小和以絕對誤差絕對值之和最小為準則的新的數(shù)學規(guī)劃模型，進而計算出樣本區(qū)間的預(yù)測值。最后通過對比預(yù)測效果評價體系中的各個指標，表明了組合預(yù)測模型的有效性。

1 單項預(yù)測模型介紹

指數(shù)平滑模型中包含了單指數(shù)平滑模型、雙指數(shù)平滑模型和多參數(shù)指數(shù)平滑模型，多參數(shù)指數(shù)平滑模型包含Holter-Winter無季節(jié)模型、Holter-Winter季節(jié)加法模型、Holter-Winter季節(jié)乘法模型[3]。鑒于多參數(shù)指數(shù)平滑模型的線性趨勢及季節(jié)特性，本文使用三種多參數(shù)指數(shù)平滑模型分別對樣本區(qū)間的觀測值進行預(yù)測。

1.1 HW無季節(jié)模型

HW無季節(jié)模型[4]主要有兩個平滑系數(shù)α、β，取值范圍：（0≤α，β≤1），預(yù)測模型為：

式中：

如果t=T（最后一期），預(yù)測模型為：

其中，aT是截距，bT是斜率。

本文使用Eviews8.0軟件計算原始序列的HW無季節(jié)模型預(yù)測值，計算結(jié)果如下頁表1所示：

1.2 HW季節(jié)加法模型

HW季節(jié)加法模型主要有三個平滑系數(shù)α、β和γ，取值范圍：（0≤α,β,γ≤1），預(yù)測模型為：

式中：

表1 HW無季節(jié)模型預(yù)測結(jié)果

其中，s是季節(jié)周期長度，月度數(shù)據(jù)，周期為12個月，即s=12；季度數(shù)據(jù)，周期為4個季度，即s=4。

如果t=T（最后一期），預(yù)測模型為：

其中，aT是截距，bT是斜率,cT是季節(jié)因子（季節(jié)指數(shù)）?？梢钥闯鏊麄兌际峭ㄟ^平滑得到的。

本文使用Eviews8.0軟件計算原始序列的HW季節(jié)加法模型預(yù)測值，計算結(jié)果如表2所示：

表2 HW季節(jié)加法模型預(yù)測結(jié)果

1.3 HW季節(jié)乘法模型

HW季節(jié)乘法模型[4]主要有三個平滑系數(shù)α、β和γ，取值范圍：（0≤α,β,γ≤1），預(yù)測模型為：

式中：

其中，s是季節(jié)周期長度，月度數(shù)據(jù)，周期為12個月，即s=12；季度數(shù)據(jù)，周期為4個季度，即s=4。

如果t=T（最后一期），預(yù)測模型為：

其中，aT是截距，bT是斜率,cT是季節(jié)因子（季節(jié)指數(shù)）。

本文使用Eviews8.0軟件計算原始序列的HW季節(jié)乘法模型預(yù)測值，計算結(jié)果如下頁表3所示：

2 基于IOWA算子的組合預(yù)測

2.1 IOWA算子的概念

定義1[5]：設(shè)OWAW：Rm→R為m元函數(shù),T是OWAW有關(guān)的加權(quán)向量，并且滿足：

式中，bi是a1，a2，a3，…，am中按從大到小的順序排列的第i個大的數(shù)，則稱函數(shù)OWAW是m維有序加權(quán)平均算子，簡記為OWA算子。

例如，設(shè)w1=0.3，w2=0.4，w3=0.2，w4=0.1則由定義1可得：

實際上，OWA算子是對m個數(shù)a1，a2，a3，…，am按從大到小的順序排序后的序列進行有序加權(quán)平均，系數(shù)wi與ai的數(shù)值無關(guān)，而僅與ai的大小順序有關(guān)。

定 義 2[6]：設(shè)v3，a3>，…，為m個二維數(shù)組，令：

則稱函數(shù)IOWAW是由v1，v2，v3，…，vm所產(chǎn)生的m維誘導有序加權(quán)平均算子，簡記為IOWA算子，vi稱為ai的誘導值，v-index(i)是v1，v2，v3，…，vm中按從大到小的順序排列的第i個大的數(shù)的下標，W=(w1，w2，w3，…，wm)T是OWAW有關(guān)的加權(quán)向量，滿足i=1，2，3，…，m。

例如，設(shè)<8,3> ，<4,7>，<2,3>，<6,1>為4個二維數(shù)組，OWA的加權(quán)向量為：W1=0.4，W2=0.25，W3=0.15，W4=0.2

則由定義2可得：

由此可知，IOWA算子是對誘導值v1，v2，v3，…，vm按從大到小的順序排序后所對應(yīng)的a1，a2，a3，…，am中的數(shù)進行有序加權(quán)平均，wi與數(shù)ai的大小和位置無關(guān)，而僅與其誘導值vi所在的位置有關(guān)。

表3 HW季節(jié)乘法模型預(yù)測結(jié)果

2.2 組合預(yù)測模型建立

式中：Ait是第i種預(yù)測方法在t時刻的預(yù)測精度指標，顯然Ait∈(0，1)；xt是某一序列的觀測值，xit是第i種預(yù)測方法在t時刻的預(yù)測值，i=1，2，3，…，m；t=1，2，3，…，n。本文把預(yù)測精度Ait看成預(yù)測值xit的誘導值，因而第t時刻的m單項預(yù)測方法的預(yù)測精度和其對應(yīng)的預(yù)測值就構(gòu)成了m個二維數(shù)組：＜a1t，x1t＞，＜a2t，x2t＞，＜a3t，x3t＞，…，＜amt，xmt＞，設(shè)W=(w1，w2，w3，…，wm)T是各種預(yù)測方法在組合預(yù)測中的OWA加權(quán)向量，將m中單項預(yù)測方法在t時刻的預(yù)測精度a1t，a2t，a3t，…，amt按從大到小的順序排列，設(shè)a-index(it)為第i個大的預(yù)測精度的下標，根據(jù)定義2有：

則式（2）稱為由預(yù)測精度序列a1t，a2t，a3t，…，amt所產(chǎn)生的IOWA組合預(yù)測值。則n期總的組合預(yù)測誤差平方和S和n期總的絕對誤差絕對值之和D可表示如下：

因此，以誤差平方和最小為準則的IOWA組合預(yù)測模型可表示如下：

以絕對誤差絕對值之和最小為準則的基于IOWA組合預(yù)測模型可表示如下：

利用非線性規(guī)劃求解上述模型可以分別得出wi(i=1，2，…，m)的值，即組合預(yù)測中的OWA加權(quán)向量wi(i=1，2，…，m)使得組合預(yù)測總的誤差平方和或絕對誤差絕對值之和最小。

3 實證分析

本文選用中關(guān)村示范區(qū)月度累計數(shù)據(jù)進行建模預(yù)測分析，缺失數(shù)據(jù)采用比例插補法補全[7]，搜集數(shù)據(jù)時間段為2014年3月到2017年4月，實際計算中使用的是指標的同比增長率，因而數(shù)據(jù)同比增長率的長度為2015年3月到2017年4月。本文對比分析組合預(yù)測模型與各單項預(yù)測模型預(yù)測效果評價指標體系的各個指標，并預(yù)測2017年5月至2017年9月五個月的中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入。

3.1 單項模型預(yù)測結(jié)果

根據(jù)表1至表3的預(yù)測結(jié)果，并根據(jù)式（1）計算出上述三種單項預(yù)測模型的預(yù)測精度。如表4所示：

表4 單項預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果及其預(yù)測精度

本文三種單項預(yù)測模型均取得較好的預(yù)測效果，其中，HW季節(jié)加法模型平均預(yù)測精度>HW季節(jié)乘法模型平均預(yù)測精度>HW無季節(jié)模型平均預(yù)測精度。

3.2 IOWA組合預(yù)測

本文選取三種多參數(shù)指數(shù)平滑模型進行中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入同比增速的組合預(yù)測。按式（2）計算IOWA組合預(yù)測值，具體計算過程如下所示：

同理：

3.2.1 誤差平方和最小準則下的IOWA組合預(yù)測

將上述公式帶入式（3）中，可以得出誤差平方和最小準則下最優(yōu)化模型：

其中xt(t=1，2，…，26)是序列的原始數(shù)據(jù)同比增速值，使用EXCEL中的規(guī)劃求解，或者利用MATLAB最優(yōu)化工具箱，可以得出誤差平方和最小準則下的IOWA組合預(yù)測模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)為：

由此根據(jù)最優(yōu)權(quán)系數(shù)可以計算出誤差平方和最小準則下的IOWA的組合預(yù)測模型在各個時期的組合預(yù)測結(jié)果，如表5所示。

3.2.2 絕對誤差絕對值之和最小準則下的IOWA組合預(yù)測

將上述公式帶入式（4）中，可以得出誤差平方和最小準則下最優(yōu)化模型：

同理，可以得出絕對誤差絕對值之和最小準則下的IOWA組合預(yù)測的最優(yōu)權(quán)系數(shù)：w1=1，w2=0，w3=0

表5 誤差平方和最小準則下的IOWA的組合預(yù)測結(jié)果

得出的最優(yōu)權(quán)系數(shù)表明，各個時點的組合預(yù)測值為預(yù)測精度最大者所對應(yīng)的單項預(yù)測值。由此根據(jù)最優(yōu)權(quán)系數(shù)可以計算出絕對誤差絕對值之和最小準則下的IOWA的組合預(yù)測模型在各個時期的組合預(yù)測結(jié)果，如表6所示：

表6 絕對誤差絕對值之和最小準則下的IOWA的組合預(yù)測結(jié)果

3.3 模型預(yù)測對比

3.3.1 兩準則下IOWA組合預(yù)測結(jié)果分析

鑒于數(shù)學期望反應(yīng)數(shù)據(jù)集平均取值大小，標準差反應(yīng)一個數(shù)據(jù)集的離散程度，兩者結(jié)合能較好地判斷模型預(yù)測結(jié)果的有效性。本文分別計算兩準則下模型預(yù)測精度序列的數(shù)學期望和標準差，計算公式如下所示：

其中，E(A)為預(yù)測精度序列的數(shù)學期望；e(A)為預(yù)測精度序列的標準差；Qt為預(yù)測精度序列的離散概率分布；At為t時點預(yù)測精度。由于對預(yù)測精度序列的離散概率分布的先驗信息不確知時[8]，可取因此本文中由式（5）和式（6），可以得出兩準則下基于IOWA組合預(yù)測模型預(yù)測精度的數(shù)學期望和標準差，如表7所示：

表7 兩準則下IOWA的組合預(yù)測精度指標

比較兩準則下預(yù)測精度序列的數(shù)學期望和標準差結(jié)果可知，兩者數(shù)學期望基本相同，而誤差平方和最小準則下預(yù)測精度序列的標準差小于絕對誤差絕對值最小準則下預(yù)測精度序列的標準差。因此，誤差平方和最小準則下的IOWA組合預(yù)測模型更為有效。

3.3.2 組合預(yù)測與各單項預(yù)測結(jié)果分析

由上述分析可知，誤差平方和最小準則下預(yù)測效果整體“好于”絕對誤差絕對值之和最小準則下預(yù)測效果，因此本文在此基礎(chǔ)上又具體分析了以誤差平方和最小為準則建立的組合預(yù)測模型與各單項預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果。由表5中的組合預(yù)測數(shù)據(jù)，可以畫出中關(guān)村示范區(qū)總收入同比增速和組合預(yù)測同比增速的擬合圖，如圖1所示，同時可以畫出中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入和IOWA組合預(yù)測總收入的擬合圖，如圖2所示：

圖1 組合預(yù)測同比增速擬合圖

由模型的計算過程可知，中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入同比增速預(yù)測值是通過IOWA組合預(yù)測模型計算獲得，從圖1可以看出同比增速預(yù)測值和實際值是非常接近的。中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)總收入的IOWA組合預(yù)測值是通過總收入同比增速的IOWA組合預(yù)測值計算獲得，從圖2可以看出總收入的預(yù)測值和實際值非常接近，兩者的擬合度很高。

圖2 組合預(yù)測總收入擬合圖

為了更加明確地反映基于IOWA的組合預(yù)測模型與三種單項預(yù)測模型之間的優(yōu)劣，本文計算了各模型在觀測樣本各個時期的平均相對誤差的絕對值，具體的計算結(jié)果如表8所示：

表8 各時期的平均相對誤差絕對值 （單位：%）

從表8中可以看出，基于IOWA的組合預(yù)測模型在各個時期的平均相對誤差絕對值（0.70%）均小于三種單項預(yù)測模型，能有效降低預(yù)測誤差，達到較好預(yù)測效果。

為了更精確地反映基于IOWA的組合預(yù)測模型與各單項預(yù)測模型的整體預(yù)測效果，本文同時選取SSE、MAE、MAPE、MSE、RMSE、MSPE等預(yù)測效果評價指標作為評價組合預(yù)測模型與各單行預(yù)測模型預(yù)測好壞的依據(jù)，其中xi為i時間的實際值，xi為i時間的預(yù)測值。

通過比較評價指標體系的各項計算值，可以明顯地看出基于IOWA組合預(yù)測相對于其他三種單項預(yù)測模型的優(yōu)勢。計算結(jié)果如表9所示：

表9 預(yù)測效果評價指標體系

從表9計算數(shù)據(jù)來看，本文使用的基于IOWA的組合預(yù)測模型的各項誤差指標值均明顯低于其他三種單項預(yù)測模型的誤差計算結(jié)果，從而表明本文使用的基于IOWA的組合預(yù)測模型要優(yōu)于HW無季節(jié)、HW季節(jié)加法和HW季節(jié)乘法單項預(yù)測模型，從表1和表5可以得出，基于IOWA組合預(yù)測模型的平均預(yù)測精度相對于HW無季節(jié)模型、HW季節(jié)加法模型和HW季節(jié)乘法模型分別提高14.73%、7.99%和9.32%，模型的預(yù)測精度明顯提高。

根據(jù)文獻[9] 中提及的預(yù)測連貫性原則，可以計算樣本在未來區(qū)間[n+1,n+2,……] 的預(yù)測值。計算公式如下所示：

t=n+1，n+2，n+3，…；wi(i=1，2，3，…，m)為IOWA組合預(yù)測最優(yōu)權(quán)系數(shù)。

IOWA組合預(yù)測值在預(yù)測區(qū)間[n+1,n+2,…] 上的誘導值，即為預(yù)測精度序列ait(i=1，2，…，m，t=n+1，n+2，…)。即若要對未來k期進行預(yù)測，則預(yù)測區(qū)間上n+k期的預(yù)測精度根據(jù)最近k期的擬合平均精度確定，即：

因而，可以得出中關(guān)村高新技術(shù)園區(qū)2017年5月至2017年9月的預(yù)測值，如表10所示：

表10 未來5期預(yù)測值