袁宏俊，杜 康，胡凌云

（安徽財經(jīng)大學a.統(tǒng)計與應用數(shù)學學院；b.管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

0 引言

為了給決策者提供更有效更精確的預測數(shù)據(jù)，降低預測風險，可采用加權集成幾種單項預測方法構建組合預測模型，這樣可充分利用參與的每一種單項預測方法的有效信息。組合預測的方法最先由Bates和Granger提出[1]，隨后國內(nèi)外學者進一步研究組合預測模型的理論和方法，取得了豐碩的研究成果[2-6]。早期的對象主要是針對實數(shù)序列的，雖然涌現(xiàn)出很多精確有效的組合預測方法，但是實際生活中廣泛存在模糊性預測問題，最近國內(nèi)學者選取區(qū)間數(shù)取代實數(shù)，進而開展區(qū)間數(shù)預測[7]和區(qū)間數(shù)組合預測的研究[8-15]。張進[8]取區(qū)間數(shù)中心和半徑從誤差絕對值之和的角度，取區(qū)間數(shù)左右端點從向量夾角余弦和Theil不等系數(shù)的角度，構建三類多目標最優(yōu)組合預測模型并討論了其有效性理論。王曉等[9]取區(qū)間數(shù)中點和半徑從誤差平方和的角度，利用IOWA算子和偏好系數(shù)的數(shù)據(jù)處理，構建變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型。朱家明等[10]利用UWPA算子，挖掘區(qū)間數(shù)據(jù)與區(qū)間數(shù)據(jù)彼此之間的相互影響程度，從誤差絕對值之和的角度，構建區(qū)間型組合預測模型。袁宏俊和張超[11]利用IGOWC-OWGA算子，將區(qū)間數(shù)轉換成實數(shù)，以向量夾角余弦為最優(yōu)準則，建立變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型。曹曉俊和袁宏俊[12]利用IOWC-GOWHA算子，將區(qū)間數(shù)轉換成實數(shù)，以灰色趨勢關聯(lián)度為最優(yōu)準則，構建變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型。袁宏俊等[13]取區(qū)間數(shù)的左右端點從誤差平方和的角度，利用IGOWLA算子和偏好系數(shù)的數(shù)據(jù)處理，構建變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型。朱家明等[14]利用ICOFWA算子，以誤差平方和為最優(yōu)準則，構建三角模糊數(shù)為權重的變權系數(shù)區(qū)間組合預測模型。鐘梅和袁宏俊[15]將區(qū)間數(shù)的中點誤差和半徑誤差合并成組合預測誤差，進而定義區(qū)間數(shù)的灰關聯(lián)度并作為最優(yōu)準則，從定權系數(shù)和變權系數(shù)兩個方面建立區(qū)間型組合預測模型。

在上述文獻中，針對區(qū)間數(shù)組合預測的問題，都是從區(qū)間數(shù)的自身、區(qū)間數(shù)轉換成實數(shù)、區(qū)間數(shù)轉換成聯(lián)系數(shù)這三種不同的角度，結合不同的準則公式以及引入不同的信息集成算子構建最優(yōu)模型進行研究。與此不同，本文提出一種新的研究思路，首先將區(qū)間數(shù)轉換成三角模糊數(shù)，從而區(qū)間型組合預測問題變成三角模糊數(shù)的組合預測問題。借助于三角模糊數(shù)的度量指標作為最優(yōu)準則，構建基于三角模糊數(shù)相似度的定權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型。在此基礎上引入GIOWA算子，構建基于三角模糊數(shù)相似度的GIOWA算子的變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型，由于GIOWA算子中參數(shù)1取值不唯一，進一步討論參數(shù)λ取值變化時如何對組合預測模型中權系數(shù)、目標函數(shù)值、以及預測效果評價指標的影響，最后實例分析結果顯示所構建的兩類三角模糊數(shù)相似度的區(qū)間型組合預測模型都是合理有效的預測方法，都能明顯提高預測的準確性。

1 基本概念

定義1[7]：若兩實數(shù)滿足0＜a≤b，稱為正區(qū)間數(shù)。該區(qū)間數(shù)還可以表示為X=(c，r)，其中為區(qū)間數(shù)中點，為區(qū)間數(shù)半徑。

當a=b時，區(qū)間數(shù)即為普通實數(shù)。設兩區(qū)間數(shù)記為和，則：

定義 2[16]：若實數(shù)滿足，稱Y=為三角模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)為：

當三角模糊數(shù)下限aL、上限aU、內(nèi)部最大可能性數(shù)aM三者滿足aM-aL=aU-aM時，稱其為對稱三角模糊數(shù)，滿足aL=aM=aU時，三角模糊數(shù)即為普通實數(shù)。

定義3[17]：設GIOWAW:Rm→R為m元函數(shù)，W=

定義4[7]：設某一預測對象的實際值序列為預測值序列為，則稱：

定義5[16]：設有兩三角模糊數(shù)記為則稱：

為三角模糊數(shù)Y1和Y2的相似度。

三角模糊數(shù)相似度S(Y1，Y2)具有下列性質：

（1）有界性：0＜S(Y1，Y2)≤1

（2）對稱性：S(Y1，Y2)=S(Y2，Y1)

（3）自反性：S(Y1，Y2)=1當且僅當Y1=Y2

只證性質（1）：

不妨設 (aL)2+(aM)2+(aU)2＜(bL)2+(bM)2+(bU)2，則：

命題成立。

2 三角模糊數(shù)相似度的定權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型

由于在不確定性預測問題中取得區(qū)間數(shù)內(nèi)部點的可能性可以視為一樣的，則將區(qū)間數(shù)[a，b] 與三角模糊數(shù)進行相互轉化時，可采用一種簡便方法，即?。?/p>

這樣上述實際值序列可用三角模糊數(shù)表示為{Yt=(at，ct，bt)，t=1，2，…，N}，各單項預測值序列組可用三角模糊數(shù)表示為組合預測值序列可用三角模糊數(shù)表示為且有

定義6：令：

則稱Si(Yt，Yit)（i=1，2，…m）為實際值三角模糊數(shù)序列與各單項預測值三角模糊數(shù)序列的相似度；S(Yt，)為實際值三角模糊數(shù)序列與組合預測值三角模糊數(shù)序列的相似度。

因為：

顯然上式中S(Yt，)是參與的每一種單項預測方法權系數(shù)w1，w2，…，wm的多元函數(shù)，S(Yt，)在(0,1] 中取值越大則三角模糊數(shù)序列與相似的程度越大，當=1 有。由于預測中存在誤差，所以希望S(Yt，)越大越好，則可建立基于三角模糊數(shù)相似度的最優(yōu)區(qū)間型組合預測模型為：

定義7：設實際值序列與各單項預測值序列的三角模糊數(shù)相似度中最小者和最大者分別記為，則：

若S(Yt，)＞Smax時，模型（1）是優(yōu)性區(qū)間型組合預測；若Smin≤S(Yt，)≤Smax時，模型（1）是非劣性區(qū)間型組合預測；若S(Yt，)＜Smin時，模型（1）是劣性區(qū)間型組合預測。

3 三角模糊數(shù)相似度的變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型

模型（1）中各單項預測方法不論預測的好與壞，在每個時點處都是固定的權系數(shù)，這樣得到的組合預測值往往不是很精確。為了克服這樣的弊端，在每個時點處都以預測精度為衡量指標，預測精度好就賦予較大的權系數(shù)，預測精度差就賦予較小的權系數(shù)，每一種單項預測方法權系數(shù)會根據(jù)其預測精度不同而有所改變，這樣可得到變權系數(shù)組合預測值。

定義8：稱δit是在t時刻由第i種單項預測值相對于實際值的預測精度，則：

顯然 0≤δit≤1，i=1，2，...，m，t=1，2，...，N。

把單項預測值區(qū)間數(shù)的預測精度δit和單項預測值區(qū)間數(shù)所對應的三角模糊數(shù)Yit結合在一起，并取δit作為Yit的誘導值，利用定義3中GIOWA算子的集結數(shù)據(jù)的方式，構建第t時刻由GIOWA算子集結而成的組合預測值三角模糊數(shù)，則有：

根據(jù)定義6可得實際值序列與基于GIOWA算子的組合預測值序列的三角模糊數(shù)相似度具體為：

4 實例分析

為了驗證基于三角模糊數(shù)相似度的區(qū)間型組合預測模型（1）和模型（2）都是有效的組合預測方法，本文選取文獻[7] 中的數(shù)據(jù)進行實證分析，一方面驗證本文所構建的兩類模型是否有效，另一方面與已有文獻中的方法進行結果比對。具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 實際值區(qū)間數(shù)、單項方法預測值區(qū)間數(shù)及等價的三角模糊數(shù)

（1）三角模糊數(shù)相似度的區(qū)間型組合預測模型（1）求解

將表1中實際值和三種單項預測值對應的三角模糊數(shù)序列代入模型（1）中解得最優(yōu)權系數(shù)分別為：

利用上述權系數(shù)和各單項預測值區(qū)間數(shù)求得的組合預測值區(qū)間數(shù)見表2。

表2 模型(1)的組合預測值區(qū)間數(shù)和實際值區(qū)間數(shù)

（2）三角模糊數(shù)相似度的GIOWA算子的區(qū)間型組合預測模型（2）求解

利用表1中數(shù)據(jù)和定義8各時刻預測精度的公式，可得表3數(shù)據(jù)。

表3 各時刻三種單項預測方法的預測精度

在模型（2）中參數(shù)取值是λ≠0，這里隨機選取五種特殊的參數(shù)值，即λ=-5，λ=-1，λ=0.1，λ=1，λ=4 ，以表3中預測精度作為GIOWA算子中誘導值，代入五種特殊參數(shù)下模型（2）中解得最優(yōu)權系數(shù)見表4。

表4 五種特殊參數(shù)的區(qū)間型組合預測模型的權系數(shù)

利用定義3和上述權系數(shù)，將各單項預測值區(qū)間數(shù)加權集結而成的組合預測值區(qū)間數(shù)見表5。

表5 五種特殊參數(shù)的模型（II）對應的組合預測值區(qū)間數(shù)、實際值區(qū)間數(shù)

（3）三角模糊數(shù)相似度的區(qū)間型組合預測模型（1）、模型（2）的有效性分析

根據(jù)定義4中各預測評價指標值計算公式，得出所有方法的預測效果評價指標體系表，具體數(shù)據(jù)見表6。

除了選取3種單項預測方法外，還選取了兩種文獻方法進行有效性對比驗證。由表6數(shù)據(jù)可以看出：

①從本文組合預測方法和單項預測方法的精度來看，本文提出的模型（1）和五種特殊參數(shù)的模型（2）的MSEP、MSEL、MSEI、MRIE等指標數(shù)值都遠小于所有單項預測方法相應的預測誤差指標值。

表6 預測效果評價指標體系表

②從本文組合預測方法和已有文獻方法精度來看，模型（1）和五種特殊參數(shù)的模型（2）的MSEP、MSEL、MSEI、MRIE等指標數(shù)值也優(yōu)越于文獻[9] 和文獻[12] 中相應的預測誤差指標值。

③從定權系數(shù)組合預測方法和變權系數(shù)組合預測方法的精度來看，五種特殊參數(shù)的變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型（2）在MSEP、MSEL、MSEI、MRIE等指標數(shù)值都明顯優(yōu)越于定權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型（1）相應的預測誤差指標值，模型（2）雖然計算復雜，但是所得到的組合預測值會更加精確。

表7 各種預測方法與實際值對應的三角模糊數(shù)相似度

表7中羅列各種預測方法序列與實際值序列的三角模糊數(shù)相似度，判斷模型（1）和五種特殊參數(shù)的模型（2）是否是優(yōu)性組合預測方法。從數(shù)據(jù)來看，兩類模型的組合預測值與實際值對應的三角模糊數(shù)相似度S都大于實際值與各單項預測方法對應的三角模糊數(shù)相似度S1，S2，S3，即有，依據(jù)優(yōu)劣性定義7可知，本文構建的兩類基于三角模糊數(shù)相似度的最優(yōu)組合預測模型（1）和模型（2）在實例分析中都是優(yōu)性組合預測。

（4）三角模糊數(shù)相似度的GIOWA算子的區(qū)間型組合預測模型（2）的靈敏度分析

為了直觀了解三角模糊數(shù)相似度的GIOWA算子的區(qū)間型組合預測模型（2）中參數(shù)λ變化時，模型的最優(yōu)權系數(shù)、最優(yōu)目標函數(shù)值、預測效果誤差指標值是如何隨之變化，利用靈敏度分析來進一步研究參數(shù)λ變化對上述三個因素的影響情況，具體見圖1至圖3。

圖1 λ不同取值時三種單項方法所占權系數(shù)情況

圖1給出了參數(shù)λ在區(qū)間[-5，5] 上變動時有關權系數(shù)的變化情況。權系數(shù)w1在區(qū)間[-5，-4] 和[-3，5] 上遞增，在區(qū)間[-4，-3] 上遞減，且w1值均在0.5以上；權系數(shù)w2表現(xiàn)出上升和下降的交替變化趨勢，但總體的取值是減少的；權系數(shù)w3也保持著類似于權系數(shù)w2的交替變化趨勢，但總的變化幅度小于w2，對于三個權系數(shù)，w1始終是最大的，w2次之，w3最小，即在組合預測中第一種單項預測方法是主要的。

圖2 λ不同取值時目標函數(shù)值波動狀況

圖2給出參數(shù)λ在區(qū)間[-5，5] 上變化時目標函數(shù)值的變化情況。當參數(shù)λ取值在[-5，0.1] 和[1，2] 時保持上升的趨勢，在區(qū)間[0.1，1] 和[2，5] 時保持下降的趨勢，總體上呈現(xiàn)先增后減的變化趨勢，當λ=-5時目標函數(shù)值取得最小值。

圖3 λ不同取值時各誤差指標變化情況

圖3給出參數(shù)λ在區(qū)間[-5，5] 上變化時各誤差指標值的變化情況。其中誤差指標MSEP增減波動較為頻繁，上升和下降出現(xiàn)多次重復交替變化趨勢，在λ=-5時取最大值；誤差指標MSEL在區(qū)間[-5，-4] 和[-3，1] 上遞增，在區(qū)間[-4，-3] 和[1，2] 上遞減，在λ=5時取最大值；誤差指標MSEI圖形是指標MSEP與指標MSEL兩曲線的疊加，變化趨勢與指標MSEL曲線類似，在λ=5時取最大值；誤差指標MRIE在區(qū)間[-4，-3] 和[3，5] 上遞增，其他區(qū)間均是遞減的，在λ=-5時取最大值。

5 結語

目前區(qū)間型數(shù)據(jù)的組合預測研究還不是很成熟，有必要開展區(qū)間型組合預測理論和方法的研究。本文將區(qū)間數(shù)轉換成三角模糊數(shù)，利用三角模糊數(shù)相似度的度量指標刻畫兩三角模糊數(shù)序列的相似程度，構建基于三角模糊數(shù)相似度的定權系數(shù)和變權系數(shù)的區(qū)間型組合預測兩類模型，是全新的區(qū)間型組合預測方法。本文中以三角模糊數(shù)相似度作為最優(yōu)準則，構建了定權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型（1），隨后引入了GIOWA算子，構建了變權系數(shù)區(qū)間型組合預測模型（2），并對參數(shù)λ作出了靈敏度分析；最后通過實例分析力證兩類模型都是有效的方法，都能顯著提高預測的精度。但在兩類模型的分析過程中，沒有討論定權系數(shù)組合預測模型的冗余預測方法的判定，也沒有討論變權系數(shù)組合預測模型中所有參數(shù)變化時的規(guī)律，后期可進一步完善。