左明霞　劉紅嬌

摘要：Musielak?Orlicz空間是經(jīng)典Orlicz空間的推廣，研究了賦Orlicz范數(shù)的Musielak?Orlicz序列空間的?k?β?點(diǎn)的刻畫問題?首先在Banach空間中引入了?k?β?點(diǎn)的定義，然后給出了賦Orlicz范數(shù)的Musielak?Orlicz序列空間中?k?β?點(diǎn)的判別條件，從而得出了該空間具有局部?k?β?性質(zhì)的等價(jià)條件

關(guān)鍵詞：Musielak?Orlicz序列空間;Orlicz范數(shù);?k?β?點(diǎn);局部?k?β?性質(zhì)

DOI：10.15938/j.jhust.2019.01.020

中圖分類號(hào)： O177.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2019）01-0118-06

On the （?k?β?） Points of Musielak?Orlicz Sequence Spaces

Equipped with the Orlicz Norm

ZUO Ming?xia，LIU Hong?jiao

（School of Applied Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Musielak?Orlicz spaces is the generalization of classical Orlicz spaces?In this paper， we investigated the problem of characterization of the （?k?β?） points in Musielak?Orlicz sequence spaces equipped with the Orlicz norm?Firstly， the definition of （?k?β?） point is introduced?Afterward a criteria for （?k?β?） points in Musielak?Orlicz sequence spaces equipped with the Orlicz norm was given， and then we got the equivalent condition for local property （?k?β?） of these spaces

Keywords：Musielak?Orlicz sequence spaces; Orlicz norm; （?k?β?） points; local property （?k?β?）

1引言及預(yù)備知識(shí)

β點(diǎn)是?Banach?空間中一個(gè)重要的點(diǎn)態(tài)性質(zhì)，它與一致凸點(diǎn)、緊局部一致凸點(diǎn)以及H點(diǎn)有著密切的聯(lián)系[1]。?Banach?空間X單位球面S（X）上的一點(diǎn)x稱為β點(diǎn)是指對(duì)于任意ε>0，存在δ=δ（ε，x）>0，使得對(duì)于任意的序列（x?n）S（X）滿足sep（x?n）=?inf?{‖x?n-x?m‖：n≠m}≥ε，都存在正整數(shù)n，使得不等式x+x?n2<1-δ成立[1]。在經(jīng)典?Orlicz?空間中，β點(diǎn)的判別準(zhǔn)則已經(jīng)由文獻(xiàn)[1]給出。本文對(duì)β點(diǎn)的概念進(jìn)行推廣，引入k?β點(diǎn)的定義。設(shè)k為一個(gè)正整數(shù)，?Banach?空間X單位球面S（X）上的一點(diǎn)x稱為k?β點(diǎn)是指對(duì)于任意ε>0，存在δ=δ（ε，x）>0，使得對(duì)于任意的序列（x?n）S（X）滿足sep（x?n）=?inf?{‖x?n-x?m‖：n≠m}≥ε，存在k個(gè)正整數(shù)n?1，n?2，…，n?k，使得不等式‖11+k （x?n?1?+x?n?2?+…+x?n?k?+x）‖<1-δ成立。顯然，當(dāng)k=1時(shí)，k?β點(diǎn)就是β點(diǎn)。如果單位球面S（X）上每一點(diǎn)都為k?β點(diǎn)，則稱該?Banach?空間X具有局部k?β性質(zhì)。?Musielak?Orlicz空間是經(jīng)典Orlicz空間的推廣，近幾年，對(duì)Musielak?Orlicz空間幾何性質(zhì)及點(diǎn)態(tài)幾何性質(zhì)的研究已經(jīng)取得了一些成果[2-4]。 本文將在賦Orlicz范數(shù)的Musielak?Orlicz?序列空間中討論k?β點(diǎn)的刻畫問題，并進(jìn)一步得到該空間具有局部k?β性質(zhì)的等價(jià)條件。

設(shè)X為?Banach?空間，B（X）和S（X）分別表示X的閉單位球和單位球面。

分別表示正整數(shù)集和實(shí)數(shù)集。

下面給出?Musielak?Orlicz?序列空間的定義以及一些相關(guān)結(jié)果[5-8]。

定義1函數(shù)序列M=（M?i）?∞?i=1?稱為一個(gè)?Musielak?Orlicz?函數(shù)是指對(duì)每一個(gè)i∈

1）M?i：（-∞，+∞）→[0，+∞]是偶的、凸函數(shù)，并且在u=0處連續(xù);

2）M?i（0）=0且?lim??u→0?M?i（u）u=0。

稱函數(shù)N?i（v）=?sup??u≥0?{u|v|-M?i（u）}為M?i（u）的余函數(shù)。顯然，N=?（N?i）?∞?i=1?也是一個(gè)?Musielak?Orlicz?函數(shù)。用p?i（u）和p?-?i（u）（或q?i（v）和q?-?i（v））分別表示M?i（或N?i）的右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)。

不失一般性，下面假設(shè)M?i（1）=1（i∈）。對(duì)每一個(gè)i∈，定義?b～（i）=?sup?{v≥0：N?i（v）<∞}

定義2稱?Musielak?Orlicz?函數(shù)M=?（M?i）?∞?i=1?滿足δ?2-條件（記為M∈δ?2）是指存在常數(shù)a>0，K>0以及c?i>0（i=1，2，…）滿足∑∞?i=1?c?i<∞，使得

M?i（2u）≤KM?i（u）+c?i（i∈，M?i（u）≤a）

定義3設(shè)ε>0，稱?Musielak?Orlicz?函數(shù)M=（M?i）?∞?i=1?滿足δ?ε?2-條件（記為M∈ δ?ε?2）是指存在常數(shù)a>0， K>0以及c?i≥0 （i=1，2，…）滿足∑∞?i=1?c?i≤ε，使得

M?i（2u）≤KM?i（u）+c?i（i∈M?i（u）≤a）

已經(jīng)證明，若對(duì)任意的i∈，u≠0，有M?i（u）>0，則M∈δ?2的充分必要條件為對(duì)任意的ε>0，M∈δ?ε?2[9]。

定義4設(shè)x=?（x（i））?∞?i=1?是一個(gè)實(shí)數(shù)列，x關(guān)于?Musielak?Orlicz?函數(shù)M=（M?i）?∞?i=1?的模定義為：

ρ?M（x）=∑∞?i=1?M?i（x（i））

線性集

{x=（x（i））：存在λ>0，使得ρ?M（λx）<∞}

關(guān)于?Luxemburg?范數(shù)

‖x‖=‖x‖?M=?inf?λ>0：ρ?Mxλ≤1

或?Orlicz?范數(shù)

‖x‖?o=‖x‖?o?M=?sup?∑∞?i=1?x（i）y（i）：ρ?N（y）≤1

=?inf??k>0?1k（1+ρ?M（kx））

皆為?Banach?空間，分別記為l?M和l?o?M，稱為?Musielak?Orlicz?序列空間。h?M和h?o?M是指集合

{x=（x（i））：對(duì)任意的λ>0，ρ?M（λx）<∞}

繼承同一范數(shù)形成的l?M和l?o?M的子空間。

文[7]中已經(jīng)證明l?M=h?M或l?o?M=h?o?M的充分必要條件是M∈δ?2。

對(duì)任意的x∈l?o?M，令

supp?x={i∈瘙綃

：x（i）≠0}，

k?*?x=?inf?{k>0：ρ?N（p（k|x|））≥1}，

k?**?x=?sup?{k>0：ρ?N（p（k|x|））≤1}，

K（x）=[k?*?x，k?**?x]，k?**?x<∞

[k?*?x，∞]，k?*?x<∞，k?**?x=∞

，k?*?x=∞，

θ?M（x）=?inf?λ>0：存在i?0∈瘙綃

，∑?i>i?0?M?ix（i）λ<∞。