周先立，羅 萍，黃 龍，劉澤浪

(電子科技大學 電子薄膜與集成器件國家重點實驗室，四川 成都 610054)

0 引言

行波型超聲電機具有低速大力矩、運行平穩(wěn)等特點，已廣泛應用于機器人、儀器儀表、工業(yè)控制、精密定位和航天航空等領域。近10年，行波型超聲波電機的研究發(fā)展始終圍繞力矩、精度、穩(wěn)定性和可靠性等性能提升的縱深方向發(fā)展,便需了解超聲電機的振動及動力響應特性，建立準確的數(shù)學模型。目前超聲電機數(shù)學模型[1-2]主要包括解析模型、等效電路模型和有限元建模。解析模型和有限元建模都存在求解復雜，使用不便等問題，等效電路模型在超聲電機應用系統(tǒng)設計中更具適應性。在等效電路模型的研究方面，通過前人不斷地完善超聲電機等效電路模型，目前已有較成熟的超聲電機定子模型，但未綜合考慮電機壓電耦合效應、定轉子間的摩擦耦合情況及轉子振動特性3方面的完整、準確的超聲電機等效電路模型。

本文利用將受迫振動模型與電學模型類比推導的思想，提出了一種超聲電機轉子優(yōu)化模型，建立了較完整的超聲電機等效電路模型，并給出了模型中的參數(shù)計算方法。通過搭建實驗平臺驗證了本模型能準確反映行波型超聲波電機的電氣特性，從而為進一步開展超聲電機驅動器和控制器的設計提供了理論基礎。

1 超聲電機等效電路模型

基于超聲電機機理，本文從定子、接觸區(qū)域和轉子3方面建立了超聲電機等效電路模型。

1.1 定子模型

圖1為國際上已有的、公認的超聲電機壓電定子的等效電路模型[3]。其中，Cd為定子的夾持電容，V、I分別為電機驅動電壓、電流，電阻R、電感L、電容C分別為

L=Ms/A2

(1)

R=γs/A2

(2)

C=A2/ks

(3)

式中：Ms為定子含壓電陶瓷和定子彈性體模態(tài)質(zhì)量；A為力系數(shù)；γs為定子粘滯阻力系數(shù)；ks為定子模態(tài)剛度。

圖1所示的模型描述了定子通過逆壓電效應經(jīng)阻抗Z的損耗后產(chǎn)生輸出機械力F的過程。圖中，v為機-電轉換后的輸出機械力輸出速度，F(xiàn)為機電轉換后的輸出機械力。

圖1 壓電振子等效電路模型

1.2 接觸區(qū)域模型

1.2.1 面接觸、庫侖摩擦模型

柔性轉子在與定子行波接觸時是一個接觸面，并隨著正壓力增大而增大。超聲波電機工作時，定子表面的輪廓線成正弦波形狀。由于定、轉子材料較硬，而預壓力相對較小，故可假定定、轉子本身不因此產(chǎn)生接觸形變，只有摩擦層產(chǎn)生相應的形變，這就是剛性定子-彈性轉子的面接觸模型，如圖2所示[4]。圖中，ξ0為定子振幅，h0為定子厚度的一半。

圖2 摩擦層的面接觸物理模型

1.2.2 超聲電機接觸模型計算分析

面接觸模型(見圖2)反映了定子微觀振動轉換為轉子宏觀轉動的過程。圖2中接觸邊界x0處的縱向振動幅值為

us(0,x0)=ξ0coskx0

(4)

式中k=2π/λ為彈性波振動的波數(shù)。接觸邊界點：

x0=arccos(us/ξ0)/k

(5)

行波橫向振動位移[5]為

ζ=kh0ξ0sin(kx-ωt)

(6)

對式(6)求導，令定、轉子等速，有

kh0ξ0ωcoskx1=ωrotorr

(7)

式中ωrotor為轉子角速度。式(7)化簡可得定、轉子等速點為

x1=arccos[ωrotorr/(kh0ξ0ω)]/k

(8)

式中：k為波系數(shù)；ξ0為定子0時刻波峰處的縱向振動幅值；r為平均接觸半徑；ω為角頻率。

由圖2可知，轉子振幅ξ0(1-coskx0)為定子振幅ξ0的1-coskx0倍，所以，轉子振動位移ur與定子振動位移us的關系為

ur=us(1-coskx0)

(9)

轉子縱向的合力為定子行波波峰對轉子的軸向壓力Fsr，橫向的合力為摩擦力FR?？紤]到轉子和摩擦材料的阻尼與摩擦層的等效剛度，轉子的振動方程為

(10)

式中：Mr為轉子質(zhì)量；kf為摩擦材料等效剛度；γr為轉子阻尼系數(shù)；γf為摩擦阻尼系數(shù)。

1.3 轉子模型

將式(10)通過向量的方法化簡后代入式(9)可得

FR+Fsr

(11)

將受迫振動與電學模型中的阻抗、容抗1/(jωC)、感抗jωL公式類比推導，得出的轉子等效電路如圖3所示。

圖3 轉子側等效電路

圖3中，各個參數(shù)表達式為

Rr=γr/A2

(12)

Rf=γf/A2

(13)

Lr=Mr/A2

(14)

Cf=A2/kf

(15)

式中：Rr,Rf分別為受轉子和摩擦阻尼影響后的電阻；Lr是轉子質(zhì)量為感性影響時的電感；Cf是摩擦材料剛度為容性影響時的電容。

添加支路與其并聯(lián)進一步完善，圖3的轉子側等效電路，新增的支路提供Avcoskx0大小的電流，使總電流Ir為Av，其中：

R′=(Rf+Rr)·m

(16)

L′=Lr·m

(17)

C′=Cf/m

(18)

m=(1-coskx0)/coskx0

(19)

完善后的轉子側等效電路如圖4所示。

圖4 優(yōu)化后的轉子側等效電路

由圖4與式(16)～(19)可看出，R′、L′、C′受m控制，m代表了電機的轉動狀態(tài)，因此，隨著電機轉動狀態(tài)發(fā)生改變，可用圖4中的R′、L′、C′這條支路來表征電機轉動時阻抗的改變情況。由于在不同的轉速下m值會改變，因此，圖4的電機轉子模型可反映轉子對超聲電機的整體性能帶來的影響。

1.4 超聲電機等效電路

綜上所述，考慮到實際采用的是兩相交變電源驅動，但由于A、B兩相對超聲電機的影響具有對稱性，可視兩相等效電路相同。因為定子對轉子的輸出機械力F就是轉子在橫、縱兩方向受到的合力Fsr+FR，故可將定、轉子模型結合，即將圖1與圖4合并，圖5為兩相之一的等效電路圖。

圖5 超聲電機空載時等效電路

考慮到加負載情況下，轉速比空載時低。由圖2可看出，等速點x1、接觸邊界點x0會向下、向外移動，使整個接觸區(qū)域變大，轉子形變增大。通過轉子側等效電路的建模分析可知，轉子側等效電路總電流Ir=Av(1-coskx0)將增大，在原來圖3基礎上，支路電流增加表現(xiàn)為并聯(lián)了RL支路，即可得超聲電機負載時等效電路,如圖6所示。圖中V是由方波信號Vpulse經(jīng)LLCC濾波網(wǎng)絡后產(chǎn)生的超聲電機輸入信號。

圖6 超聲電機負載時等效電路

2 仿真驗證

用HP4294A網(wǎng)絡分析儀對行波型超聲波電機樣品進行測試，并合理選擇驅動頻率[6]，得到的實驗參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)測試數(shù)據(jù)

Cadence仿真中Cd=1.34 nF,Cf=75 pF,Vpulse=0～40 V,R=2.5 Ω,Rf=216 Ω,L=125.5 mH,Rr=5 Ω,C=9.5 nF,Lr=85.5 mH。R′、L′、C′值會隨電機轉動發(fā)生改變，在諧振頻率下，一定轉速時實測所得R′=4 338 Ω,L′=1.678 H,C′=3.82 pF。

空載時，基于圖5的超聲電機等效電路，采用LLCC濾波網(wǎng)絡進行濾波[7]，搭建Cadence仿真平臺，仿真如圖7所示。

圖7 超聲電機等效電路的驅動信號仿真波形圖

由圖7可得到電機驅動電壓52 V(峰-峰值)、電流32 mA(峰-峰值)且存在高次諧波的正弦信號。高次諧波存在的原因是LLCC濾波網(wǎng)絡設計時未考慮波形的畸變率。

圖8為超聲電機有、無轉子情況仿真的等效對比圖。通過第1節(jié)的分析及圖8的對比仿真結果可知，轉子對整個電機模型的電氣特性影響主要體現(xiàn)在轉子質(zhì)量Mr的感性特性與摩擦材料等效剛度kf的容性特性，而Mr與kf也是轉子轉動物理特性的關鍵設計參數(shù)，且電機在不同工作狀態(tài)下，電機轉速不同，將有不同的R′、L′、C′值，由于這種變化特性，使研究轉子模型具有意義。

圖8 超聲電機有、無轉子等效對比圖

3 實驗結果分析

對行波型超聲波電機樣機進行實測， 用H橋電路產(chǎn)生的0～40 V方波電壓經(jīng)LLCC諧振后得到的正弦驅動信號來驅動超聲電機，超聲電機能穩(wěn)定轉動，具有良好的動態(tài)特性。圖9為驅動裝置實物圖。圖10為超聲電機其中一相的驅動電壓、電流在有、無轉子情況下的對比圖，且與圖8仿真對比圖吻合。

圖9 電機實驗實物圖

圖10 超聲電機驅動信號對比圖

最終超聲電機能正常轉動，實測結果電機驅動電壓V為50 V(峰-峰值)，驅動電流I為30 mA(峰-峰值)，且存在高次諧波信號，與理論分析一致，與仿真結果吻合，細微的差異是由于電機內(nèi)部參數(shù)與選擇的分離元件精度造成的。仿真與實驗結果表明，得到的電流波形都含有高次諧波，這種非正弦特性正好充分驗證了本文提出的超聲電機轉子優(yōu)化模型與超聲電機整體等效電路模型的準確性與完備性。

4 結束語

本文考慮電學的兩相輸入特性與電機物理模型橫、縱向的差異性，推導出適合兩相交流電輸入的行波型超聲電機等效電路模型；考慮摩擦耦合情況與轉子對超聲電機的影響，提出了摩擦層轉子側等效電路模型。對本文推導出的超聲電機等效電路模型搭建了Cadence仿真平臺,并進行了仿真驗證。對樣品電機搭建實驗平臺，測得實驗結果，通過對比分析，驗證了本文模型的準確性與完備性。本文建立的超聲電機等效電路模型可為進一步開展超聲電機的精準驅動和控制提供模型基礎。