胡慶雷，解靜潔，奚 勇

(1. 北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院·北京·100191；2.上海航天控制技術(shù)研究所·上海·201109)

0 引 言

航天器的在軌服務(wù)與維修技術(shù)已成為各個(gè)國家航天工程的重要任務(wù)，也是在深空探測中必不可少的重點(diǎn)工程項(xiàng)目之一。隨著空間環(huán)境的日益復(fù)雜化，未來空間任務(wù)對自主衛(wèi)星的安全性、有效性及快速性均提出了更高的要求[1]。由于空間環(huán)境復(fù)雜多變，衛(wèi)星在對空間站進(jìn)行巡視偵查的過程中，姿態(tài)的指向會受到太陽等的影響，使得敏感儀器發(fā)生故障甚至造成損壞，從而導(dǎo)致衛(wèi)星系統(tǒng)不穩(wěn)定，使得空間任務(wù)失敗[2]。同時(shí)，衛(wèi)星會受到自身物理性能的影響，如控制力矩及運(yùn)行狀態(tài)的限制。因此，研究衛(wèi)星在復(fù)雜空間環(huán)境中的禁飛區(qū)域及在自身性能約束條件下的姿態(tài)控制問題，是航天任務(wù)中的前沿基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)新型有效的衛(wèi)星姿態(tài)控制算法具有重要的工程實(shí)際意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)在衛(wèi)星姿態(tài)的控制與研究領(lǐng)域取得了非常多的研究成果，然而在這些姿態(tài)控制方法中，存在著許多尚未解決與突破的問題。例如:文獻(xiàn)[3]采用了滑模PID方法實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星的姿態(tài)控制，但該方法無法處理多種約束，無法實(shí)現(xiàn)能量最優(yōu)的要求；文獻(xiàn)[4]提出了一種基于變結(jié)構(gòu)控制的衛(wèi)星姿態(tài)控制方法，然而該方法存在著抖振問題；文獻(xiàn)[5]采用了勢函數(shù)的控制方法，但是該方法存在著局部最小值的問題；文獻(xiàn)[6]采用了反步法對衛(wèi)星的姿態(tài)進(jìn)行控制，而其對控制輸入的求導(dǎo)會帶來微分爆炸的問題。

模型預(yù)測控制(Model Predictive Control，MPC)是一種能夠處理優(yōu)化目標(biāo)和約束的優(yōu)化控制方法，并且不存在上述傳統(tǒng)的姿態(tài)控制方法的問題，被廣泛應(yīng)用于姿態(tài)控制等任務(wù)中。最初的模型預(yù)測控制方法主要被用于工業(yè)領(lǐng)域，而現(xiàn)在已經(jīng)被成功地應(yīng)用在了其他領(lǐng)域中，如航天飛行器[7]、導(dǎo)彈[8]、無人機(jī)[9]等，并在控制優(yōu)化問題中發(fā)揮了巨大的潛力。模型預(yù)測控制的主要核心思想是預(yù)測系統(tǒng)的未來輸出值，將所得到的最優(yōu)控制序列的第1個(gè)優(yōu)化解作用于系統(tǒng)，依次滾動(dòng)向前進(jìn)行[10]。預(yù)測控制具有可在線處理約束的優(yōu)點(diǎn)，為工程領(lǐng)域提供了一種高可靠性、高實(shí)用性、高穩(wěn)定性的優(yōu)化算法。

模型預(yù)測控制已被廣泛應(yīng)用于許多研究中，例如:文獻(xiàn)[11]提出了一種以分段放射模型實(shí)現(xiàn)預(yù)測控制的方法，以解決航天器在著陸過程中的姿態(tài)約束問題；文獻(xiàn)[12]提出了一種顯示的模型預(yù)測控制方法，以解決衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題，采用多參數(shù)二次規(guī)劃方法進(jìn)行求解；文獻(xiàn)[13]提出了一種基于遺傳算法的衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)的模型預(yù)測控制方法。然而，這些文獻(xiàn)中的模型預(yù)測控制計(jì)算量大，計(jì)算效率低，對于復(fù)雜的問題可執(zhí)行性較差，其理論研究與實(shí)際應(yīng)用很難達(dá)到一定的水平，對于模型預(yù)測控制方法的穩(wěn)定性證明還缺乏嚴(yán)格完備的理論支撐。

針對以上文獻(xiàn)中的問題，本文提出了一種基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制方法，以解決衛(wèi)星在空間站中的姿態(tài)控制問題。通過拉蓋爾函數(shù)，可將傳統(tǒng)方法中眾多的控制序列轉(zhuǎn)化為個(gè)數(shù)很少的拉蓋爾參數(shù)，降低了優(yōu)化求解過程中的計(jì)算維度，避免了傳統(tǒng)模型預(yù)測控制器計(jì)算的復(fù)雜性，減少了計(jì)算量[14]。近些年，拉蓋爾模型預(yù)測控制受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，如文獻(xiàn)[7]對航天器的近距離操作提出了一種顯示的拉蓋爾模型預(yù)測控制方法，避免了計(jì)算爆炸的問題。據(jù)此，本文主要任務(wù)為在衛(wèi)星在空間站中進(jìn)行檢測偵查的任務(wù)下，在繞飛的過程中，使衛(wèi)星的姿態(tài)視軸指向空間站的實(shí)驗(yàn)艙及核心艙，并能夠躲避禁止區(qū)域，避免衛(wèi)星指向太陽而造成敏感儀器的損壞。通過采用拉蓋爾模型預(yù)測控制方法，解決該衛(wèi)星在禁止區(qū)域中的姿態(tài)約束問題，并能夠使衛(wèi)星指向指定位置。

本文的其余部分安排如下：第1部分制定了衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題；第2部分提出了基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制方法，求解了衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題；第3部分給出了相應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果；第4部分得出了結(jié)論。

1 衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題

考慮衛(wèi)星在空間站進(jìn)行繞飛檢測時(shí)，衛(wèi)星的姿態(tài)軸需指向指定位置，并且需要避免指向太陽，躲避禁飛區(qū)域，其姿態(tài)控制模型如圖1所示，現(xiàn)根據(jù)該模型建立衛(wèi)星的姿態(tài)控制方案。

圖1 衛(wèi)星在空間站中的姿態(tài)控制模型Fig.1 Attitude control model of satellite in space station

首先，衛(wèi)星姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型可以表示為[15]

(1)

(2)

將衛(wèi)星姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型寫成狀態(tài)方程形式，則有

(3)

其中，狀態(tài)向量

考慮衛(wèi)星自身的性能約束，其控制力矩約束和角速度約束分別為

|u|≤umax

(4)

|w|≤wmax

(5)

其中，umax和wmax分別為衛(wèi)星控制力矩和角速度的最大值。

衛(wèi)星在空間站繞飛過程中受到禁止區(qū)的限制，其姿態(tài)指向必須繞過禁止區(qū)，以避免衛(wèi)星的敏感儀器經(jīng)過太陽等的光照而受到損壞或精度降低。圖2給出了衛(wèi)星的錐形禁止區(qū)示意圖。其中，yf為禁止區(qū)的約束軸，θf為禁止區(qū)域的角度，xf為衛(wèi)星的期望指向，滿足約束

xf·yf≤cosθf

(6)

圖2 衛(wèi)星姿態(tài)的禁止區(qū)約束Fig.2 Forbidden zone constraint of satellite attitude

根據(jù)參考文獻(xiàn)[16]可將上述約束簡化為

qTMfq≤0

(7)

(8)

衛(wèi)星姿態(tài)控制的優(yōu)化目標(biāo)為到達(dá)指定姿態(tài)及最小化控制力矩，故可表示為

(9)

給定衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，以及衛(wèi)星的性能約束和姿態(tài)約束后，根據(jù)所制定的優(yōu)化目標(biāo)，衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題可表示為如下的優(yōu)化問題

(10)

(11)

(12)

qTMfq≤0

(13)

|u|≤umax

(14)

|w|≤wmax

(15)

x(t0)=x0,x(tf)=xd,w(t0)=w0,w(tf)=wd

(16)

其中，x0，w0分別為衛(wèi)星的初始狀態(tài)和初始角速度，wd為衛(wèi)星的期望角速度。

2 基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制

xk+i+1/k=Akxk+i/k+Bkuk+i/ki=0,…,Np

(17)

xk+i/k∈Xi=0,…,Np
uk+i/k∈Ui=0,…,Np
xk+Np/k∈X

(18)

其中，Np是預(yù)測窗，xk+i/k是當(dāng)前k時(shí)刻第i步的預(yù)測值，uk+i/k為當(dāng)前k時(shí)刻第i步的控制輸入預(yù)測值，X是狀態(tài)約束集，U是輸入約束集，xk+Np/k是終端狀態(tài)量，滿足終端約束集：xk+Np/k∈{vk+Np/k=0}。

為了便于模型預(yù)測控制的實(shí)施，需要將衛(wèi)星姿態(tài)模型進(jìn)行離散化處理

x(k+i+1/k)=Akx0+Bku(k+i/k)
i=0,…,Np-1

(19)

其中x0為初始狀態(tài)，Ak和Bk可以寫為

(20)

其中Ts為采樣周期。

在模型預(yù)測控制中，由于控制序列在每個(gè)優(yōu)化預(yù)測窗內(nèi)存在很多參數(shù)，求解效率降低，因此一種基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制可以減少優(yōu)化序列，從而提高計(jì)算效率。該方法將所有預(yù)測窗內(nèi)的優(yōu)化序列通過拉蓋爾函數(shù)轉(zhuǎn)換為較少的優(yōu)化序列。首先，原來的模型預(yù)測控制方法的控制序列為

(21)

其中，n表示控制輸入的個(gè)數(shù)。通過拉蓋爾函數(shù)，在當(dāng)前采樣時(shí)刻i下、第k步的控制輸入可以表示為

u(k+i)=LT(i)η

(22)

其中，LT(i)是拉蓋爾函數(shù)集，η為拉蓋爾系數(shù)。對于第n個(gè)控制輸入, 拉蓋爾函數(shù)LnT(i)可以表示為一個(gè)向量形式

(23)

其中，Nn是擴(kuò)展個(gè)數(shù)。拉蓋爾函數(shù)滿足正交性，即有

(24)

拉蓋爾系數(shù)η為

(25)

對于第n個(gè)控制，拉蓋爾系數(shù)ηn可表示為

(26)

拉蓋爾函數(shù)集合滿足下列的等式

L(i+1)=AlL(i)

(27)

(28)

其中Al是由參數(shù)α和β組成的轉(zhuǎn)移矩陣，拉蓋爾函數(shù)的初始值為

(29)

為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)α需要滿足0≤α≤1[7]。通過拉蓋爾函數(shù)的轉(zhuǎn)換，控制輸入uk/k,uk+1/k,…,uk+i/k(i=1,…,Np) 可以被少量的拉蓋爾參數(shù)η所取代, 因此計(jì)算量可減少。當(dāng)α=0、Nn=0時(shí)，拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制方法即為傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法。此時(shí)，由系統(tǒng)狀態(tài)模型可以推導(dǎo)出由拉蓋爾系數(shù)組成的表達(dá)式

(30)

即

(31)

上式可進(jìn)一步寫為

X=Fx(k)+Φη

(32)

其中，X=[xT(k+1|k)xT(k+2|k) …

xT(k+Np|k)]T，F(xiàn)=[AT(A2)T… (ANp)T]T，

(33)

其中，ηn是一個(gè)(N1+N2+N3)維的向量。

因此，目標(biāo)函數(shù)為

xf)TQ(x(k+i|k)-xf)+ηTRη

(34)

基于上述拉蓋爾函數(shù)，衛(wèi)星的性能約束可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的表示形式。其中，控制力矩約束可以寫為

-umaxIN≤L(i)η≤umaxIN?i∈{0,…,Np-1}

(35)

角速度約束可以轉(zhuǎn)換為

-wmaxIN≤Cwxk+i/k≤wmaxIN?i∈{1,…,Np-1}

(36)

衛(wèi)星的姿態(tài)禁止區(qū)約束為

(37)

值得注意的是，為了使計(jì)算可行，擴(kuò)展項(xiàng)Nn應(yīng)該小于預(yù)測窗Np的長度[7]。因此，通過使用拉蓋爾函數(shù)，可減少預(yù)測控制輸入的個(gè)數(shù)，從而減少計(jì)算量，故該姿態(tài)控制問題可表示為

minJ

(38)

Xk+i+1/k=AkXk+i/k+BkUk+i/ki=0,…,N-1

(39)

-umaxIN≤L(i)η≤umaxIN?i∈{0,…,Np-1}

(40)

-wmaxIN≤Cxk+i/k≤wmaxIN?i∈{1,…,Np-1}

(41)

(42)

(43)

3 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

考慮衛(wèi)星在空間站中繞飛以完成檢測偵查空間任務(wù)，衛(wèi)星需要對準(zhǔn)空間站的實(shí)驗(yàn)艙及核心艙，以完成檢測。首先，衛(wèi)星在安全約束走廊中完成繞飛軌跡；其次，在某一軌跡點(diǎn)處調(diào)整自身姿態(tài)，使其視軸指向空間站的核心艙。在姿態(tài)控制過程中，需要避免其視軸指向禁止區(qū)域，即避免由對準(zhǔn)太陽而造成的自身敏感儀器的損壞。

在仿真中，衛(wèi)星的相關(guān)參數(shù)如表1所示。目標(biāo)函數(shù)的權(quán)值矩陣分別為Q=0.1I7×7,R=0.1I3×3。

控制力矩的最大值為umax=100mN·m, 角速度的最大值為wmax=0.1rad/s。在基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制中，參數(shù)α=0.67, 擴(kuò)展項(xiàng)為N1=N2=N3=3。

表1 衛(wèi)星的仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of the satellite

仿真過程采用一種基于MATLAB的建模語言YALMIP進(jìn)行模擬，依賴于外部求解器MOSEK。本文的數(shù)值仿真結(jié)果是在Windows / 64-X86平臺上獲得的，采用的優(yōu)化軟件為MOSEK7.1.0.12。仿真結(jié)果如圖3所示。其中，藍(lán)色實(shí)線為衛(wèi)星繞飛空間站的軌跡，黑色曲線框是衛(wèi)星軌跡的安全區(qū)域。黃色錐形區(qū)域即為衛(wèi)星姿態(tài)控制的禁止區(qū)域，其中心軸指向太陽，紅色直線指向是衛(wèi)星的視軸方向，初始視軸方向指向x0處，期望視軸方向指向xd處，黑色曲線即為衛(wèi)星姿態(tài)控制過程中的姿態(tài)轉(zhuǎn)向軌跡。

圖3 衛(wèi)星姿態(tài)控制的軌跡圖Fig.3 Trajectory of satellite attitude control

從圖3可以看出，黑色軌跡線避開了禁止區(qū)域，表明了衛(wèi)星在姿態(tài)控制過程中，其視軸指向能夠從起始位置指向期望位置，并能夠成功躲避禁止區(qū)域，避免了衛(wèi)星視軸指向太陽而帶來的損壞。為了進(jìn)一步更加清晰地表現(xiàn)出衛(wèi)星的姿態(tài)控制，將其視軸轉(zhuǎn)向部分放大，結(jié)果如圖4所示。

圖4 衛(wèi)星姿態(tài)控制的局部放大圖Fig.4 Partial enlargement of satellite attitude control

在衛(wèi)星的姿態(tài)控制過程中，衛(wèi)星四元數(shù)的變化曲線如圖5所示，角速度的變化如圖6所示，衛(wèi)星的姿態(tài)角變化如圖7所示，圖8為衛(wèi)星姿態(tài)控制力矩的變化曲線圖。

圖5 衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)的變化曲線圖Fig.5 The variation of satellite attitude quaternion

圖6 衛(wèi)星姿態(tài)角速度的變化曲線圖Fig.6 The variation of satellite attitude angular velocity

圖7 衛(wèi)星姿態(tài)角的變化曲線圖Fig.7 The variation of satellite attitude euler angle

圖8 衛(wèi)星姿態(tài)控制力矩的變化曲線圖Fig.8 The variation of satellite attitude control torque

為了說明所提出的基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制方法能夠提高優(yōu)化效率及減少計(jì)算時(shí)間，采用了模型預(yù)測控制方法進(jìn)行求解，表2給出了兩種方法的優(yōu)化求解器在每一步優(yōu)化過程中的平均求解時(shí)間。由表2可知，基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制的平均每步優(yōu)化時(shí)間較少，改善了模型預(yù)測控制方法的優(yōu)化效率。

表2 兩種方法的求解時(shí)間Tab.2 Solving time of two methods

4 結(jié) 論

本文研究了在空間站中進(jìn)行繞飛檢測的衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題，設(shè)計(jì)了一種基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制方法，解決了衛(wèi)星在空間站中考慮禁飛區(qū)約束的姿態(tài)控制問題。針對衛(wèi)星姿態(tài)軸在空間站中需躲避太陽等因素的影響，建立了禁飛區(qū)域約束；考慮衛(wèi)星自身性能的約束，建立了控制力矩約束和角速度約束；為了使衛(wèi)星姿態(tài)軸到達(dá)指定位置及在控制過程中能耗最優(yōu)，建立了相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)；提出了用一種基于拉蓋爾函數(shù)的模型預(yù)測控制方法進(jìn)行求解，即通過拉蓋爾函數(shù)，將多個(gè)控制輸入轉(zhuǎn)換為少數(shù)的拉蓋爾系數(shù)，采用模型預(yù)測控制的優(yōu)化策略進(jìn)行優(yōu)化。所提出的方法改善了傳統(tǒng)的模型預(yù)測控制方法計(jì)算效率差的問題，減少了優(yōu)化時(shí)間。通過使用衛(wèi)星在空間站中繞飛的模型進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法能夠使衛(wèi)星的姿態(tài)軸躲避禁飛區(qū)并到達(dá)指定位置。與傳統(tǒng)的方法相比，優(yōu)化效率得到了顯著提高。