楊子發(fā)， 馬德香

(華北電力大學 數(shù)理學院, 北京 102206)

對于下列邊值問題：

(1)

其中q(t)是實連續(xù)函數(shù)。在文獻[1]中有如下結(jié)論：若式(1)有非零解，則下列Lyapunov不等式成立:

(2)

Ferreira[2]將上述結(jié)論推廣到一類含Caputo導數(shù)的分數(shù)階微分方程的邊值問題：

(3)

(4)

顯然，當α=2時，式(4)即為式(2)。

自文獻[2]以后，分數(shù)階微分方程的Lyapunov不等式被廣泛研究,如Ferreira[3]得到了下列微分方程邊值問題的Lyapunov不等式:

(5)

(6)

的存在性。Surang Sitho等[5]研究了Lyapunov不等式

(7)

的存在性。Nassir Al Arifi等[6]研究了Lyapunov不等式

(8)

的存在性。Yang Liu等[7]研究了Lyapunov不等式

(9)

的存在性。更近的結(jié)果見文獻[8-10]。

受以上文獻的啟發(fā)，本文研究下列高階分數(shù)階微分方程邊值問題的Lyapunov不等式:

(10)

1 準備工作

為方便起見，首先給出Riemann-Liouville分數(shù)階積分和Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)的定義。

定義1 函數(shù)u(t)的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義如下：

定義2 函數(shù)u(t)的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義如下：

其中α>0，n=[α]+1，[α]表示不大于α的最大整數(shù)。

由定義1和2，易得下列結(jié)論：

(13)

2 主要結(jié)果

(14)

(15)

由u(i)(0)=0可知Ci=0，i=2，3，…，n，則

(16)

結(jié)論得證。

引理2 當β∈[0，1]時，G(t，s)有如下性質(zhì)：

(i)G(t，s)≥0，(t，s)∈[0，1]×[0，1]；

(17)

(18)

結(jié)論得證。

定理1 當β∈[0，1]時，若式(10)有非零解u(t)，則

(19)

定理得證。

引理3 當β∈[α-1，1]時，G(t，s)有如下性質(zhì)：

(i)G(t，s)≥0，(t，s)∈[0，1]×[0，1]；

(ii) ?s∈[0，1]，G(t，s)≤G(1，s)，t∈[0，1]；

證明(i)的證明同引理2(i)，略。

(20)

(21)

由式(20)和(21)知?s∈[0，1]，G(t，s)≤G(1，s)，t∈[0，1]。結(jié)論得證。

結(jié)論得證。

定理2 當β∈[1，α-1]時，若式(10)有非零解u(t)，則

(22)

定理得證。

推論1 若微分方程邊值問題

存在非零解u(t)，則

證明在定理1中取α=n，β=0，則由定理1的結(jié)論可得推論1成立。

推論2 若微分方程邊值問題

存在非零解u(t)，則

證明在定理2中取α=n，β=n-1，則由定理2的結(jié)論知推論2成立。

3 應 用

3.1 特征值問題

討論下列特征值問題.

(23)

其中n≥3，α∈(n-1，n]，β∈[0，α-1]。

由定理1與定理2，可得到下列結(jié)果。

(ii)證明同(i)，略。

3.2 Mittag-Leffler函數(shù)的實根

(ii) 證明同(i)，略。