王少博

（第七一五研究所，杭州，310023）

混響聲場是指在一定空間內(nèi)，聲場由直達(dá)聲和反射聲、散射聲疊加的聲場。混響室是空氣聲學(xué)研究中經(jīng)常使用的實驗裝置，其理論發(fā)展較成熟。在混響室聲模態(tài)方面，Richard Bolt[1]和Schroeder[2]等人在混響室聲模態(tài)統(tǒng)計及模態(tài)密度方面作出了很多貢獻(xiàn)，總結(jié)了如何計算頻帶內(nèi)模態(tài)數(shù)量及滿足測量精度要求的頻率。1955年，Richard Cook[3]將統(tǒng)計分析應(yīng)用于室內(nèi)聲學(xué)中，定義了兩空間點均方聲壓的相關(guān)系數(shù)，其后很多作者通過混響聲場的相關(guān)函數(shù)研究其特性。Morse、Ingard[4]等人研究了點源聲場的理論及實驗，結(jié)果表明通過改變點源的位置可以激勵很多交疊的模態(tài)。

由于水池的反射系數(shù)較低，所以水下較難建立理想的混響場，而只有滿足或近似滿足擴散場特性（聲能密度均勻）才能夠進(jìn)行聲學(xué)測量。若能通過對混響水池聲的研究，分析混響水池的聲場特性，確定混響水池中擴散場的區(qū)域，對在混響水池中開展聲學(xué)測量工作有重要意義。

1 混響水池聲場特性分析

混響水池一般都有光滑的壁面，上表面敞開，無遮蓋。聲源在其中發(fā)射時，聲波經(jīng)各側(cè)壁的反射、疊加，形成了混響聲場。假定混響水池為矩形，長、寬、高分別為lx、ly、lz，如圖1所示。

圖1 混響水池示意圖

1.1 波動聲學(xué)分析

1.1.1 矩陣非消聲水池內(nèi)的簡正波

用直角坐標(biāo)系表示的波動方程為：

把坐標(biāo)原點取在水池的一個角上，可以寫出理想水池壁面的邊界條件為：

滿足上述邊界條件的特解為

相應(yīng)的每個特解的特征頻率（簡正頻率）為：

對應(yīng)每一組（nx,ny,nz）數(shù)值的特解就決定了一種平面駐波，水池內(nèi)的總聲壓就是所有特解的線性疊加。根據(jù)式（4）得到矩形水池的前20階簡正頻率如表1所示。

表1 矩形水池50m×15m×10m前20階簡正頻率

通過建立波數(shù)k的直角坐標(biāo)系，可以估計得到頻率低于f的簡正波總數(shù)為：

將式（5）對頻率進(jìn)行微分，可得在df內(nèi)的簡正頻率數(shù)：

式（6）表明在頻率f附近的df頻帶內(nèi)的簡正頻率數(shù)基本上與頻率平方成正比，隨著頻率增高增加得更快，因而當(dāng)頻率較高時，大量簡正波的疊加可以把駐波效應(yīng)“平均”，而使室內(nèi)聲場趨向均勻。

1.1.2矩形非消聲水池內(nèi)點源聲場分析

根據(jù)Morse室內(nèi)聲學(xué)理論[4]，在點r處由r0處的簡單聲源所產(chǎn)生的聲壓可以由特征函數(shù)（即1.1.1中波動方程的特解）的級數(shù)表示，穩(wěn)態(tài)聲壓的級數(shù)解為：

式中，V是混響水池的體積；φn(r)為矩形水池中第n簡正波的本征函數(shù)；ωn為簡正模態(tài)的頻率；δn為聲能的衰變率，等于每秒衰減的奈培數(shù)，反映了φn(r)的衰減特性。

上述公式表明，在混響水池內(nèi)對水聽器的靈敏度進(jìn)行校準(zhǔn)時，對水聽器及聲源進(jìn)行空間平均，可以降低混響水池中簡正波所帶來的影響，提高測量精度。

1.2 統(tǒng)計聲學(xué)分析

混響水池的聲能由兩部分組成：一是直達(dá)聲，二是混響聲能。疊加聲場的總平均能量密度應(yīng)為：

式中，括號中前一項表示直達(dá)聲的貢獻(xiàn)，后一項表示混響聲的貢獻(xiàn)。當(dāng)時，直達(dá)聲與混響聲的大小相等。此時有臨界距離

當(dāng)r＞2rh時，混響聲比直達(dá)聲大6 dB，直達(dá)聲的作用可忽略，可以定義此區(qū)域為混響控制區(qū)。為了提高信噪比，通常取r＞4rh（混響聲比直達(dá)聲大12 dB），即

房間常數(shù)R0，定義如下：

式中，S為水池的壁面總面積，為平均吸聲系數(shù)。

同時由文獻(xiàn)[4]可知混響時間T60可以由下式表示：

聯(lián)立式（12）、（13），可得：

即可以通過測量混響水池的混響時間T60來得到擴散場區(qū)域距離聲源的距離r。另外擴散場區(qū)域離壁面距離＞λ/4。

2 混響水池聲場特性的建模分析

建模分析采用LMS Virtual Lab Acoustics軟件[5]，這是專門用于聲學(xué)分析的CAE軟件，基于Sysnoise發(fā)展而來，不僅繼承了Sysnoise的功能，還發(fā)展了快速多級邊界元（Fast Multipole-Boundary Element Method，F(xiàn)M-BEM）技術(shù)、有限元自動匹配層（Finite Element Method-Perfect Matched Layer/Automatic Matched Layer，F(xiàn)EM-PML/AML）技術(shù)、時域邊界元和有限元（Time Domain-Boundary Element Method/ Finite Element Method，TD-BEM/FEM）技術(shù)、自適應(yīng)聲學(xué)單元（Finite Element Method with Adaptive Order，F(xiàn)EMAO）技術(shù)、聲線法（RAY）等。通過FEMAO技術(shù)可以在降低建模精度的條件下保證計算精度，縮短了計算時間。

計算目標(biāo)為混響水池，長寬高分別為 50 m、15 m、10 m。水池上表面為水-空氣界面，水池壁面及底部為混凝土結(jié)構(gòu)，其密度為ρ=2.4×103kg/m3，楊氏模量E=1.7×1010N/m2，泊松比σ=0.21，由此可計算得到聲波在混凝土中的縱波傳播速度為c=2 824 m/s。取水的密度為ρ0=1.0×103kg/m3，聲波在水中傳播速度為c0=1 480 m/s，可求得壁面及底部的垂直入射反射系數(shù)為R=0.67。因此水池模型壁面及底部反射系數(shù)為 0.67，上表面為空氣阻抗 416 kg/(m2·s)。

2.1 混響水池點源聲場分布計算

首先計算混響水池的聲模態(tài)，即簡正頻率的計算。nx=2、ny=2、nz=0時的水池聲模態(tài)圖如圖2所示，此時簡正頻率f=109.5 Hz，同表1理論計算結(jié)果相吻合。圖中紅色區(qū)域表示駐波的極大值點，藍(lán)色區(qū)域表示駐波的極小值點，nx=2表示在x方向上的駐波有兩個半波長?；诼暷B(tài)計算混響水池的點源聲場，點源設(shè)置在距離水池左側(cè)壁面5 m處的中心位置，100 Hz時的水池聲場分布圖3所示，在距離聲源較近處，聲場較為復(fù)雜，在距離聲源較遠(yuǎn)處，聲場起伏較小，近似滿足擴散場條件。

圖2 nx=2、ny=2、nz=0時的水池聲模態(tài)（f=109.5 Hz）

圖3 100 Hz時水池聲場分布

2.2 散場區(qū)域確定

由1.2中理論推導(dǎo)可知，確定混響水池擴散場區(qū)域需要混響水池的混響時間，由于模型尺寸較大，故采用聲線法進(jìn)行計算[5]。水池模型如圖4所示，灰色網(wǎng)格為水池邊界。圖中橙色矩形網(wǎng)格是場點網(wǎng)格，距離水池上表面5 m，相當(dāng)于距離上表面5 m處的剖面。點源距水池左側(cè)壁7 m，距上表面5 m，距前壁面7.5 m。

圖4 水池模型圖

通過計算得到100 Hz時水池混響時間T60分布如圖5所示，由圖可知，距離點源較遠(yuǎn)處（大于20 m）的混響時間約為0.135 s，根據(jù)1.2節(jié)推導(dǎo)的公式可得r≥31 m處為混響控制區(qū)（同時距離壁面及表面應(yīng)有一定距離）。

圖5 混響水池T60分布

100 Hz時水池聲場分布如圖6所示，為垂直于z軸的聲場剖面圖。由圖可以看出距離聲源約31 m處有較大區(qū)域聲場穩(wěn)定，可以認(rèn)為此區(qū)域為混響控制區(qū)。200～400 Hz時有類似結(jié)果。

圖6 混響水池聲場剖面

3 結(jié)論

本文首先通過波動聲學(xué)理論和統(tǒng)計聲學(xué)理論分析了混響水池的聲場特性，然后通過仿真建模驗證了混響水池的特征頻率，并確定了擴散場區(qū)域。通過建模分析對于長寬高分別為50 m、15 m、10 m的混響水池來說，距離點源25～35 m的范圍內(nèi)聲場較為均勻，近似滿足擴散場條件，為進(jìn)一步實驗研究提供了參考。對于混響水池的理論分析，本文只分析了剛性壁面的聲場特性，對于非剛性壁面還需要進(jìn)一步推導(dǎo)。