韓子清，郭楊亮，馬瑞娟，張順幸

（1.西安科技大學(xué)測(cè)繪科技與技術(shù)學(xué)院， 陜西西安 710054； 2.河南省煤田地質(zhì)局物探測(cè)量隊(duì)，河南鄭州 450009； 3.河南省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局第五地質(zhì)勘查院， 河南鄭州 450001）

1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

GPS技術(shù)可快速獲取地面點(diǎn)三維坐標(biāo)，在實(shí)際工作中應(yīng)用廣泛。GPS可獲取一點(diǎn)處大地高，而我國(guó)采用的是正常高，二者的起算面不同。因此，將GPS獲取的大地高轉(zhuǎn)換為正常高是GPS高程應(yīng)用的關(guān)鍵。正常高與大地高的轉(zhuǎn)換如公式（1）所示。

式中：H正－該點(diǎn)處的正常高；

H大－該點(diǎn)處的大地高；

ζ－該點(diǎn)處的高程異常；

由公式（1）可知，一點(diǎn)處所測(cè)得的大地高減去該點(diǎn)處的高程異常，便可求得該點(diǎn)處的正常高。因此，GPS高程異常的確定是實(shí)現(xiàn)GPS大地高與正常高轉(zhuǎn)換的核心。確定GPS高程異常主要有以下幾種方法：聯(lián)合平差法、數(shù)值逼近法、等值線圖法、重力法等。出于對(duì)擬合精度與擬合方法的實(shí)用性、易操作性考慮，數(shù)值逼近法在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛。

數(shù)值逼近法通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式擬合出一個(gè)曲面，該方法在測(cè)區(qū)規(guī)律性變化明顯的地區(qū)可獲得較好擬合結(jié)果。主要方法有：多面函數(shù)擬合、多項(xiàng)式曲面擬合、克里格法、加權(quán)平均法、最小二乘配置、濾波與推估等。本文采用多面函數(shù)法進(jìn)行擬合分析，采用實(shí)例進(jìn)行求解高程異常。

2 高程擬合模型

2.1 多面函數(shù)擬合模型

多面函數(shù)擬合原理：根據(jù)測(cè)區(qū)內(nèi)已有的重合點(diǎn)（同時(shí)具有GPS的大地高與正常高）進(jìn)行高程擬合。函數(shù)逼近法，選用的擬合函數(shù)通常情況為多項(xiàng)式，而多面函數(shù)法，采用多元二次函數(shù)作為基底函數(shù)進(jìn)行擬合。多面函數(shù)模型是Hardy教授提出，這種方法的基本思想是，任何不規(guī)則的連續(xù)曲面總可以用n個(gè)規(guī)則曲面的疊加來(lái)逼近［1］。

采用多面函數(shù)法進(jìn)行高程擬合時(shí)，高程異常通過(guò)核函數(shù)的疊加來(lái)確定，如公式（2）所示。

式中：Q（x,y,xi,yj）為核函數(shù)

設(shè)有m個(gè)重合點(diǎn)，選取n≤m個(gè)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)（xi,yj）（j=1,2…n），Q（x,y,xi,yj）表達(dá)式如公式（3）所示。

由公式（2）列立誤差方程，如公式（4）所示。

由公式（5）求解出未知系數(shù)，便可由公式（2）計(jì)算任意一點(diǎn)P（xk,yk）高程異常值，如公式（6）所示。

由多面函數(shù)的計(jì)算過(guò)程可知，首先要確定核函數(shù)。常用的核函數(shù)表達(dá)式有正、倒雙曲面函數(shù)，錐面函數(shù)，三次曲面函數(shù)四種。

（1）正雙曲面函數(shù)：

q為平滑因子，對(duì)核函數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。

（2）倒雙曲面函數(shù)：

q為平滑因子，對(duì)核函數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。

（3）錐面函數(shù)：

c為待定參數(shù)。

（4）三次曲面函數(shù)：

C為待定參數(shù)。

多面函數(shù)進(jìn)行高程擬合需要考慮以下三個(gè)方面的因素。

（1）核函數(shù)的選取。核函數(shù)應(yīng)選取適合測(cè)區(qū)高程異常擬合的函數(shù)表達(dá)式。一般情況下從常用的函數(shù)表達(dá)式中選取，用不同的核函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，選取擬合精度高的。

（2）平滑因子的確定。為讓疊加得到曲面更符合測(cè)區(qū)的實(shí)際情況，需調(diào)節(jié)平滑因子的數(shù)值大小。平滑因子是通過(guò)多次試算來(lái)確定的，平滑因子在一定范圍內(nèi)計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定，其值過(guò)大或過(guò)小均會(huì)使精度降低。目前，對(duì)于平滑因子的確定尚無(wú)有效方法，需多次嘗試［2-3］。

（3）核函數(shù)節(jié)點(diǎn)的選擇。在測(cè)區(qū)重合點(diǎn)中選取若干個(gè)特征點(diǎn)（如測(cè)區(qū)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和坡度變化較大的點(diǎn)）作為核函數(shù)節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)要分布均勻，這樣才能由規(guī)則曲面通過(guò)疊加所得的曲面更加符合測(cè)區(qū)的實(shí)際情況。

2.2 二次曲面模型

根據(jù)測(cè)區(qū)已有的已知點(diǎn)，采用一確定函數(shù)模型對(duì)測(cè)區(qū)的高程異常進(jìn)行擬合。原理：根據(jù)已知點(diǎn)信息來(lái)構(gòu)造一個(gè)數(shù)學(xué)曲面對(duì)該區(qū)域的高程異常進(jìn)行擬合，利用擬合出的曲面信息來(lái)確定該區(qū)域內(nèi)待定點(diǎn)的高程異常［4］。函數(shù)模型的表達(dá)式如公式（7）所示。

列立誤差方程：V=Αβ-ξ，若已知數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)大于未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，則可根據(jù)最小二乘原理［5］，解得出未知參數(shù)在

3 精度評(píng)定

（1）內(nèi)符合精度

內(nèi)符合精度σ內(nèi)的計(jì)算如公式（8）所示。

vi-擬合的已知點(diǎn)的高程異常與計(jì)算后得到的高程異常的較差

n-為參與擬合計(jì)算的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)

（2）外符合精度

外符合精度σ外的計(jì)算如公式（9）所示。

vi-檢核點(diǎn)的已知高程異常與計(jì)算后得到的高程異常的較差

m-為檢核點(diǎn)個(gè)數(shù)

4 算例分析

某地區(qū)布設(shè)E級(jí)GPS控制網(wǎng)，對(duì)其中23個(gè)GPS制點(diǎn)聯(lián)測(cè)四等水準(zhǔn)測(cè)，最低點(diǎn)高程138.66m（12號(hào)點(diǎn)），最高點(diǎn)高程307.97m（25號(hào)點(diǎn)）。重合點(diǎn)點(diǎn)位分布如圖1所示。

計(jì)算中選取4，9，10，16，18，21，28，33，37共9個(gè)點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，其余14個(gè)點(diǎn)為參與擬合計(jì)算的點(diǎn)，擬合點(diǎn)均勻分布在測(cè)區(qū)內(nèi)且包含測(cè)區(qū)內(nèi)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)。

本文在計(jì)算過(guò)程中分別選用錐面函數(shù)、三次曲面函數(shù)、正雙曲面函數(shù)三種核函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，平滑因子反復(fù)試算，分別選用八個(gè)節(jié)點(diǎn)，十一個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖1 計(jì)算區(qū)域GPS/水準(zhǔn)重合點(diǎn)分布圖

表1 多面函數(shù)擬合精度 /cm

繪制核函數(shù)節(jié)點(diǎn)為十一個(gè)點(diǎn)時(shí)的擬合殘差如圖2所示。

圖2 十一節(jié)點(diǎn)多面函數(shù)擬合各點(diǎn)殘差

采用二次曲面擬合時(shí)，內(nèi)符合精度為6.72cm，外符合精度10.27cm。誤差分布曲線如圖3所示。

圖3 二次曲面函數(shù)擬合各點(diǎn)殘差

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)多面函數(shù)的分析可知：

（1）在擬合點(diǎn)相同的情況下，核函數(shù)的選取對(duì)擬合精度的影響較大，采用適合的核函數(shù)可明顯提高擬合的精度。在本測(cè)區(qū)范圍內(nèi)選正雙曲面函數(shù)為函數(shù)為核函數(shù)時(shí)，內(nèi)外符合精度均高于錐面函數(shù)和三次曲面函數(shù)。

（2）不同核函數(shù)平滑因子值不同。當(dāng)核函數(shù)選取錐面函數(shù)和三次曲面函數(shù)時(shí)，平滑因子的值對(duì)擬合精度影響很小，當(dāng)選取正雙曲面函數(shù)時(shí)，平滑因子對(duì)擬合精度影響較大，平滑因子通過(guò)反復(fù)試算來(lái)確定。

（3）采用十一個(gè)點(diǎn)為核函數(shù)節(jié)點(diǎn)時(shí)，擬合精度高于采用八個(gè)點(diǎn)時(shí)。說(shuō)明核函數(shù)節(jié)點(diǎn)的選擇要有代表性，適當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)數(shù)可更好進(jìn)行曲面疊加提高擬合精度。

（4）由兩種擬合方法比對(duì)結(jié)果可知，多面函數(shù)的內(nèi)、外符合精度均要高于二次曲面的擬合精度。說(shuō)明在該測(cè)區(qū)范圍內(nèi)，采用多面函數(shù)模型，選取合適的合函數(shù)與節(jié)點(diǎn)位置可取得好的擬合結(jié)果。