江蘇省昆山市費(fèi)俊龍中學(xué) (郵編：215300)

關(guān)鍵字 45度；旋轉(zhuǎn)；相似；全等

45度角是初中幾何經(jīng)常碰到的特殊角,遇到45度角，往往會(huì)聯(lián)想到等腰直角三角形、正方形等特殊的幾何圖形，并進(jìn)而衍生出一系列有意思的結(jié)論.在平時(shí)的解題中，如果我們做到解法多樣，同時(shí)找到題目的原始模型，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，掌握正確有效的解題方法，相信就可以避免題海戰(zhàn)術(shù)，從而增加解題的樂趣.

1 問題原型

圖1

例1 如圖1，已知等腰直角三角形ABD中，點(diǎn)M和點(diǎn)N在斜邊BD上，且滿足∠MAN=45°，求證：BM2+DN2=MN2.

證法1 旋轉(zhuǎn)法

圖2

如圖2，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△ADM′，可得△ABM≌△ADM′，所以∠ADM′=∠B=∠ADB=45°，故∠M′DN=90°，所以DM′2+DN2=M′N2，因?yàn)椤螧AM+∠DAN=45°，所以∠DAM′+∠DAN=45°，即∠M′AN=45°，由SAS可得△M′AN≌△MAN，所以BM=DM′，MN=M′N，故BM2+DN2=MN2.

證法2 對(duì)稱法

圖3

本題是等腰直角三角形及正方形45度角模型中的一道經(jīng)典題目，下面筆者想針對(duì)這一模型對(duì)例1做進(jìn)一步的推廣和研究，我們發(fā)現(xiàn)有關(guān)這個(gè)模型的結(jié)論可以說是“源源不斷，用之不竭”.

2 拓展1

本例主要是借助與正方形有公共點(diǎn)的45度角模型，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，抓住旋轉(zhuǎn)前后的一些對(duì)應(yīng)關(guān)系來挖掘出一系列結(jié)論.

圖4

例2 如圖4，如果將等腰直角三角形ABD沿BD翻折，我們可以得到正方形ABCD，若∠MAN=45°，延長(zhǎng)AM與BC交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)AN與CD交于點(diǎn)Q，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，我們可以進(jìn)一步證明以下結(jié)論：

(1)BM2+DN2=MN2；

(2)△CPQ的周長(zhǎng)等于2；

研究對(duì)象選自2015年12月至2017年12月本院診治的急性糜爛出血性胃炎大出血患者100例,隨機(jī)對(duì)其進(jìn)行分組,分成50例研究組和50例對(duì)照組,所有患者均知情同意參與本次研究。其中研究組50例患者中男性患者34例,女性患者16例;年齡在52-80歲,平均年齡(69.81±11.2)歲;主要臨床表現(xiàn)為嘔血和便血。對(duì)照組50例患者中男性患者33例,女性患者17例;年齡在51-79歲,平均年齡(68.34±10.93)歲;主要臨床表現(xiàn)為嘔血和便血。研究組與對(duì)照組在性別、年齡以及主要臨床表現(xiàn)等方面對(duì)比無明顯差異,P>0.05,無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

(3)PQ=BP+DQ；

(4)點(diǎn)A到線段PQ的距離等于1；

(5)AN=NP；

(6)AM=MQ；

(7)連接MQ,NP交于點(diǎn)O，則AO所在直線垂直于PQ；

(8)△AMN的面積為△APQ面積的一半；

(10)PQ2=2(BM2+DN2).

證明(1)結(jié)合例1，易證.

圖5

(2)如圖5，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到正方形ADST，因?yàn)椤螾AP′=90°,所以∠PAQ=∠P′AQ=45°，又因?yàn)锳Q=AQ，PA=P′A，根據(jù)SAS可得△PAQ≌△P′AQ，所以P′Q=PQ，所以△PCQ的周長(zhǎng)=PC+CQ+PQ=P′S+CQ+P′Q=2.

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得P′D=BP，PQ=P′Q，因?yàn)镻′Q=P′D+DQ，所以PQ=BP+DQ.

(4)因?yàn)椤鱌AQ≌△P′AQ，所以∠AQP′=∠AQP，同時(shí)∠ADQ=∠AHQ=90°，AQ=AQ，根據(jù)AAS可得△ADQ≌△AHQ，所以AD=AH=1.

(5-6)因?yàn)椤螾AQ=∠DBC=45°，故A、B、P、N四點(diǎn)共圓，由此得∠ABD=∠APN=45°，故△APN為等腰直角三角形，即AN=PN，同理可得AM=QM.

(7)設(shè)線段PN，QM交于點(diǎn)O，由(5-6)可得AN⊥PN，AM⊥QM，所以點(diǎn)O為△APQ的垂心，根據(jù)三角形的三條高交于同一點(diǎn)，可得AO⊥PQ.

(10)由于BM2+DN2=MN2，因?yàn)橛?9)得PQ2=2MN2,所以PQ2=2(BM2+DN2).證畢.

圖7

思考接下來我們探究如何尋找點(diǎn)P、點(diǎn)Q，使之符合上述題目條件.如圖6，以A為圓心，線段AB長(zhǎng)度為半徑作圓弧，易知必經(jīng)過點(diǎn)D，在圓弧上任取一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作圓A的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得PB=PT，QD=QT， ∠BAP=∠TAP,∠DAQ=∠TAQ，易證∠PAQ=45°，反之如圖7，若PQ所在直線與圓A相離，做直線P′Q′∥PQ且與圓O相切，可得∠PAQ<∠P′AQ′,故∠PAQ<45°.同理若PQ所在直線與圓A相交，可得∠PAQ>45.

綜上我們得到以下結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)PQ所在直線與圓A相切時(shí)，∠PAQ=45°.

3 拓展2

類似地，等腰直角三角形及正方形45度角模型，我們可以從軸對(duì)稱的視角構(gòu)造出全等三角形，同樣可以發(fā)現(xiàn)很多有意思的結(jié)論.

圖8

例3 如圖8，正方形ABCD中，∠MAN=∠MCN=45°,求證：(1)BM2+DN2=MN2；(2)S△MCN+S△MAB+S△NAD=S△MAN+S△MBC+S△NCD.

圖9

證明(1)如圖9，將△ABM沿AM翻折至△AEM,所以BM=EM，設(shè)∠BAM=∠EAM=x，可得∠DAN=∠EAN=45-x.同時(shí)AD=AE，AN=AN根據(jù)SAS可得△DAN≌△EAN,所以DN=NE.

將△BCM沿CM翻折至△FCM，所以BM=FM，同理可得△DCN≌△FCN，所以DN=FN，

由上得EM=FM，EN=FN，由SSS可得△MEN≌△MFN，因?yàn)椤螹EN+∠MFN=180°，所以∠MEN=∠MFN=90°，根據(jù)勾股定理ME2+NE2=MN2，可得BM2+DN2=MN2.

(2)如圖9，S△MCN+S△MAB+S△NAD=S△MCN+S△AME+S△ANE=S四邊形AMCN+S△MEN，同理我們可以得到S△MAN+S△MBC+S△NCD=S四邊形AMCN+S△MFN，所以S△MCN+S△MAB+S△NAD=S△MAN+S△MBC+S△NCD.

4 拓展3

前面我們主要從幾何變換的角度來探究等腰直角三角形及正方形45度角模型，下面我們換個(gè)角度，用相似的眼光，來進(jìn)一步探究此模型會(huì)給我們帶來哪些結(jié)論.

圖10

例4 如圖10，正方形ABCD中，∠PAQ=45°,延長(zhǎng)AP交CD的延長(zhǎng)線于E,延長(zhǎng)AQ交BC的延長(zhǎng)線于F,求證:

(1)AC2=CE·CF；

(2)AB2+BP2=PC·PF，AD2+DQ2=CQ·QE.

通過上述探究分析過程，我們可以發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形及正方形45度角模型中，蘊(yùn)含著豐富而巧妙的幾何關(guān)系，本文中所涉及的可以說只是冰山一角，關(guān)于此類模型的圖形寶庫中肯定還有很多有意思的結(jié)論值得挖掘.