陳文妍

新課標(biāo)提出了“以學(xué)生為本”的理念，要求教師在課堂例題教學(xué)中，重視對例題的選擇和設(shè)計(jì)。因此，如何設(shè)計(jì)例題，使高中學(xué)生更好地進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是新課標(biāo)的基本要求，也是教師在備課前應(yīng)該進(jìn)行的深刻思考。

本文利用“最近發(fā)展區(qū)”理論與“圖式”理論，對例題設(shè)計(jì)的原則與方法進(jìn)行深入分析，提出相應(yīng)的方法技巧以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

一、高中數(shù)學(xué)例題設(shè)計(jì)的原則與方法

1.學(xué)生為本原則

“最近發(fā)展區(qū)”理論指出，教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)例題時(shí)，要充分了解學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)和知識水平， 根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平的不同設(shè)置不同的問題關(guān)卡，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而構(gòu)建起自己的知識框架。

2.層次性原則

為了體現(xiàn)知識點(diǎn)之間的連貫性，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)例題時(shí)，應(yīng)注意例題之間的層次性，由淺入深。這種層次性要求教師充分關(guān)注學(xué)生的思維形成過程，結(jié)合學(xué)生的思維特點(diǎn)和課堂反應(yīng)情況，逐步預(yù)設(shè)例題，幫助學(xué)生理解知識的形成過程。

3.變通性原則

學(xué)生學(xué)習(xí)了新知識后，很容易按照固定的解題模式去解題，不利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。因此，在設(shè)計(jì)例題時(shí)，圖式理論要求教師遵循圖式形成的規(guī)律，應(yīng)注意題目的改造彈性和拓展性，使得在教學(xué)過程中，學(xué)生能進(jìn)行一題多解，或者通過改變條件、結(jié)論和方法等進(jìn)行變式訓(xùn)練，由此加強(qiáng)學(xué)生對知識和數(shù)學(xué)思想方法的再認(rèn)識，有利于學(xué)生圖式的更新和遷移。

二、實(shí)例分析

結(jié)合全國卷新課標(biāo)1，以立體幾何垂直證明問題這一知識點(diǎn)進(jìn)行分析，并進(jìn)行例題設(shè)計(jì)。

1. 教材分析

立體幾何知識的學(xué)習(xí)內(nèi)容來自人教A版高中數(shù)學(xué)必修二第二章。該內(nèi)容包括空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，直線、平面平行的判定及其性質(zhì)，直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)三個(gè)章節(jié)。證明線面垂直是高考中的一個(gè)考查重點(diǎn)，而教材中設(shè)計(jì)這方面的例題很少（不包括習(xí)題），而且圖形比較常見，其做法也比較常規(guī)。因此，教師在證明線面垂直這個(gè)知識點(diǎn)上，可以通過設(shè)計(jì)與高考相連接的例題，來幫助學(xué)生更好的理解線面垂直的證明方法。

2.高考題分析

由2010—2018年的全國新課標(biāo)1理科數(shù)學(xué)高考題中的立體幾何題來看，立體幾何一般分布在試題中的第18題或第19題，線面位置關(guān)系的證明的考查在于第一問，空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系，其中多是線線垂直或面面垂直，可以看出，立體幾何題在高考中的考查題型是比較明顯的，在平時(shí)的立體幾何題型訓(xùn)練中，應(yīng)以這種題型為主要訓(xùn)練目標(biāo)。因此，在“直線與平面垂直的判定及其性質(zhì)”這一章節(jié)中，教師應(yīng)更加注重知識點(diǎn)的講解，并對知識點(diǎn)的應(yīng)用有更多的訓(xùn)練。研究高考題中的立體圖形可知，一般是以規(guī)則的平面圖形為主，如正方形、等腰三角形等。因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生對常規(guī)平面圖形的性質(zhì)的訓(xùn)練，能熟練地掌握圖形的各個(gè)性質(zhì)。

3.解法分析

根據(jù)平面與平面垂直判定定理，證明面面垂直的關(guān)鍵點(diǎn)在于證明線面垂直，而證明線面垂直的關(guān)鍵點(diǎn)在于證明線線垂直。因此，掌握線線垂直的證明方法尤為重要。而在一般的線線垂直證明方法中，主要是以以下七種情況為主要掌握點(diǎn)：

（i）勾股定理（已知三邊長）;

（ii）等腰三角形的三線合一;

（iii）矩形（正方形）鄰邊互相垂直，菱形（正方形）對角線互相垂直;

（iv）圓的直徑所對的圓周角是直角;

（v）兩直線平行，若一條直線垂直于其中一條，那么也垂直于另一條直線;

（vi）線面垂直的性質(zhì);

（vii）面面垂直的性質(zhì)。

4.例題設(shè)計(jì)

例 如圖，在幾何體中，面面，四邊形為平行四邊形，，，，

求證：

分析：學(xué)生剛開始接觸立體幾何題目，對于方法的應(yīng)用

還比較生疏，因此，可以將例題1中的問題分解為幾個(gè)問題，通過循序漸進(jìn)，讓學(xué)生慢慢理解證明線面垂直的一般思路。

問題分解：（1）求證：;（2）求證：面;

（3）求證：面.（4）求證：

變式1：（改變條件）

如圖，在幾何體中，面面，

四邊形為平行四邊形，是圓的直徑，

，，.

求證：.

解析：變式1證明思路與例題是相同的，但通過改變條件，使得題目考查的知識點(diǎn)更深一步，也將立體幾何與圓的知識點(diǎn)結(jié)合在一起，加深學(xué)生對知識點(diǎn)間的聯(lián)系的認(rèn)識，也提高了學(xué)生的知識遷移能力。

三.結(jié)語

教師在進(jìn)行變式設(shè)計(jì)時(shí)，要切實(shí)考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對立體幾何的相關(guān)知識做一些需要性的復(fù)習(xí)與補(bǔ)充，讓學(xué)生能在有限的變式訓(xùn)練中掌握這類題型的解題方法，能夠利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想證明立體幾何問題，提高邏輯思維能力，增強(qiáng)變式意識。這樣才能真正做到符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性，提高自身的數(shù)學(xué)能力。