杜成北 陳景文

數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，“數(shù)”和“形”之間可以相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)必須相互聯(lián)系、相互滲透，否則容易走進(jìn)誤區(qū)，本文通過一道試題談?wù)剬?duì)數(shù)形結(jié)合思考，供各種考試命題者參考，以免走進(jìn)誤區(qū).

1 題目呈現(xiàn)

2 考查目標(biāo)

本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)（或轉(zhuǎn)化為兩曲線的交點(diǎn)），函數(shù)圖象的對(duì)稱問題;同時(shí)運(yùn)用了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，旨在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng).

3 錯(cuò)誤解答

原函數(shù)在y軸左側(cè)的圖象是一段正弦型曲線，在y軸右側(cè)的圖象是一條對(duì)數(shù)曲線，要使得圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，可將左側(cè)的圖象對(duì)稱到y(tǒng)

4 揭秘“真相”

5 分析錯(cuò)因

問題的根本原因在于這是兩條曲線相切問題，與直線和曲線相切是有一定區(qū)別的，而且本題的參考解答只注重“形”的直觀性，忽略“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)性驗(yàn)證，下面是筆者從“數(shù)”的角度去思考，驗(yàn)證此“形”的直觀性有誤.

6 解決方案

通過上述分析，筆者認(rèn)為此題的正確解法應(yīng)該從曲線與曲線相切的角度思考，那么曲線與曲線相切的充要條件是什么呢？一般地，“曲線與曲線相切”的定義是：若曲線C1與曲線C2有公共點(diǎn)P（x0，y0），且它們?cè)谠擖c(diǎn)處的切線重合，即曲線C1與曲線C2在點(diǎn)P處相切（曲線與曲線相切包括直線與曲線相切

7 錯(cuò)解啟示

通過以上試題的分析，筆者認(rèn)為有幾點(diǎn)值得關(guān)注，其一，命制或求解有關(guān)數(shù)形結(jié)合的問題時(shí)，切勿重“形”輕“數(shù)”或者將二者割裂，數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)此亦有這樣的論述：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休;其二，涉及相切方面的命題最好應(yīng)選擇直線與曲線相切方向，盡量回避曲線與曲線相切，確實(shí)命出適合高中生可以解決的試題.

參考文獻(xiàn)

[1]甘志國.各種各樣的曲線相切Jl.數(shù)學(xué)通訊，2014 （4）： 68-70