江蘇省蘇州市吳中區(qū)迎春中學(xué)(215128) 沈萍

為接待西藏校長培訓(xùn)班跟崗的學(xué)員們,筆者以《直線與圓的位置關(guān)系(1)》為例實(shí)踐了“4+”互動課堂教學(xué)模式.“4”即四個基本教學(xué)環(huán)節(jié): 預(yù)習(xí)自學(xué),導(dǎo)學(xué)點(diǎn)撥,延伸探究,練習(xí)反饋.“+”指這四個基本環(huán)節(jié)可增可減,根據(jù)課堂實(shí)際需要進(jìn)行增減.“互動”即通過教師與學(xué)生互動、學(xué)生與學(xué)生互動、學(xué)生與書本互動,使整個課堂活起來,從而達(dá)到有效教學(xué).筆者在實(shí)踐中以四個基本環(huán)節(jié)為基礎(chǔ),增加了創(chuàng)設(shè)情景環(huán)節(jié).通過學(xué)生動手操作、合作交流、自主探究等,使學(xué)生在嘗試中學(xué)習(xí)、在拓展中提升,讓學(xué)生在輕松、愉快的課堂中學(xué)到知識.現(xiàn)以本節(jié)課為例,談一下“4+”互動課堂教學(xué)模式下使數(shù)學(xué)課堂活起來的教學(xué)實(shí)踐.

一、課堂實(shí)踐亮點(diǎn)再現(xiàn)

1.創(chuàng)設(shè)情景

播放“海上日出”的視頻并加入我國著名作家巴金寫的一段話“山水相間的地方出現(xiàn)一道紅霞,過了一會兒,那里出現(xiàn)了太陽的小半邊臉,慢慢兒,一縱一縱地使勁兒向上升,到了最后,它終于沖破了云霞,完全跳出了海面”的音頻(班長錄音).請同學(xué)們欣賞這段視頻,感受太陽升起的過程.

我們用數(shù)學(xué)的眼光來看這個自然現(xiàn)象,可以把太陽抽象成一個圓,把地平線抽象成一條直線.那么我們再次演示一下太陽升起的過程,感受一下直線和圓的位置變化(PPT 演示).

圖1

設(shè)計意圖借助媒體演示生活中的“海上日出”情景,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情,讓學(xué)生在美的境界中進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).為接下來將生活中的問題數(shù)學(xué)化,即把太陽看成圓,把地平線看成直線,引出課題: 直線與圓的位置關(guān)系,做好準(zhǔn)備.使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識無處不在,應(yīng)用數(shù)學(xué)無處不有.

2.預(yù)習(xí)自學(xué)

請同學(xué)們閱讀課本P63-64 頁,并回答以下兩個問題:

(1)直線與圓有哪幾種位置關(guān)系?

(2)可以用什么方法來判定直線與圓的位置關(guān)系?

設(shè)計意圖閱讀能力是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個重要指標(biāo).讓學(xué)生帶著問題自學(xué),一方面可以讓學(xué)生初步了解本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,帶著問題聽課,使聽課效率有所提高;另一方面可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力.通過預(yù)習(xí)自學(xué),可以使學(xué)生對本堂課所學(xué)知識有初步的了解和認(rèn)識,為接下來新課的學(xué)習(xí)提供了事半功倍的效果.

3.導(dǎo)學(xué)點(diǎn)撥

案例1動手操作

師: 請同學(xué)們拿出直尺,在畫好的圓(課前準(zhǔn)備好)上,上下移動直尺,如果把直尺的邊緣看作一條直線,那么在直尺移動過程中,觀察直線與圓的位置變化時,直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)如何變化? (演示)

生: 分別是直線與圓沒有公共點(diǎn),直線與圓有且只有一個公共點(diǎn),直線與圓有兩個公共點(diǎn).因此直線與圓有三種位置關(guān)系,分類的依據(jù)是直線與圓的公共點(diǎn)的個數(shù).

設(shè)計意圖通過學(xué)生動手操作,讓學(xué)生直觀看到直線與圓的三種位置關(guān)系以及公共點(diǎn)個數(shù)的變化過程,由抽象到具體,可以使知識更加形象鮮明,為引出直線與圓相交、相切、相離的定義做準(zhǔn)備.同時對學(xué)生滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.

案例2感悟新知

直線與圓的位置關(guān)系: 直線與圓相交、相切、相離

(1)直線與圓有兩個公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.

(2)直線與圓有且只有一個公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線,這個公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

(3)直線與圓沒有公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相離.

案例3嘗試練習(xí)

(1)若一條直線上的所有點(diǎn)都在圓的外部,那么這條直線與圓的位置關(guān)系為(A)

A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定

(2)直線l 和⊙O 有公共點(diǎn),則直線與⊙O 的位置關(guān)系為(D)

A.相離 B.相切 C.相交 D.相切或相交

(3)看圖判斷直線l 與⊙O 的位置關(guān)系.

圖2

設(shè)計意圖通過“嘗試練習(xí)”,鞏固判定直線與圓的位置關(guān)系的方法,即利用公共點(diǎn)個數(shù)來判定直線與圓的位置關(guān)系.其中第3 題(5)發(fā)現(xiàn)公共點(diǎn)個數(shù)無法判定直線與圓的位置關(guān)系,從而為引出利用數(shù)量關(guān)系判定直線與圓位置關(guān)系做準(zhǔn)備.

案例4類比探究

師: 如果公共點(diǎn)的個數(shù)不容易判斷,該怎么辦? 我們試著像研究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣對直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行數(shù)量分析,利用數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.那么你覺得和哪些數(shù)量有關(guān)呢? 回顧一下點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是用哪些數(shù)量來判斷的?

生: 點(diǎn)與圓心的距離d 與半徑r 的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)d ＜r時,點(diǎn)在圓內(nèi);當(dāng)d=r 時,點(diǎn)在圓上;當(dāng)d ＞r 時,點(diǎn)在圓外.

師: 那么直線與圓的位置關(guān)系又跟哪些數(shù)量有關(guān)呢?

小組討論: 上下移動直尺,如果把直尺的邊緣看作一條直線,那么在直尺移動過程中,哪個量在發(fā)生變化?

設(shè)計意圖讓學(xué)生再次動手演示,在演示過程中通過類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小比較來判斷,從而感受到直線與圓的位置關(guān)系也可以用圓心到直線的距離與半徑大小比較來判斷.從而為引出直線與圓相交、相切、相離的數(shù)量關(guān)系做準(zhǔn)備.同時也可以對學(xué)生滲透分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.得出利用數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系為教學(xué)難點(diǎn),因此讓學(xué)生進(jìn)行小組討論,可以突出學(xué)生的主體地位,從而使課堂活起來.

4.延伸探究

例1 在Rt△ABC 中, ∠C = 90°,AC = 3cm,BC = 4cm,以C 為圓心,r為半徑的圓與AB 有怎樣的位置關(guān)系?為什么?

圖3

(1)r =2cm;(2)r =2.4cm;(3)r =3cm.

分析根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征,已知圓的半徑,則可以考慮用圓心到直線的距離d 與半徑r 進(jìn)行大小比較,所以本題的關(guān)鍵是確定圓心C 到直線AB 的距離d,那么怎么求這個距離d?

設(shè)計意圖鞏固用數(shù)量關(guān)系來判定直線與圓的位置關(guān)系,尤其強(qiáng)調(diào)d 即圓心C 到直線AB 的距離.

例1 變式在Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AC = 3cm,BC =4cm,以C 為圓心,r 為半徑作圓.

①當(dāng)r 滿足________時,直線AB 與⊙C 相離.

②當(dāng)r 滿足________時,直線AB 與⊙C 相切.

③當(dāng)r 滿足________時,直線AB 與⊙C 相交.

教師變式

④當(dāng)r 滿足________時,線段AB 與⊙C 只有一個公共點(diǎn).學(xué)生變式:

⑤當(dāng)r 滿足________時,線段AB 與⊙C 有兩個公共點(diǎn).

⑥當(dāng)r 滿足________時,線段AB 與⊙C 沒有公共點(diǎn).

分析④強(qiáng)調(diào)線段AB, 此時一個公共點(diǎn)有兩種情況:(i)⊙C 與線段AB 相切;(ii)⊙C 與線段AB 相交,且只有一個交點(diǎn),即A 在圓內(nèi),B 不在圓內(nèi)(圓上或圓外).

⑤線段AB 與⊙C 有兩個公共點(diǎn),則線段AB 與⊙C相交,則點(diǎn)A、B 必不在圓內(nèi),由于A 離圓心近,所以只要保證點(diǎn)A 不在圓內(nèi),則點(diǎn)B 必不在圓內(nèi).

⑥線段AB 與⊙C 沒有公共點(diǎn)有兩種情況: (i)⊙C 與線段AB 相離;(ii)即A、B 都在圓內(nèi).

圖4

課后思考: 如果改成射線AB 呢? r 的范圍又會怎樣?

設(shè)計意圖例1 是用數(shù)量關(guān)系來判定直線與圓的位置關(guān)系, 而例1 變式是由位置關(guān)系來確定數(shù)量關(guān)系, 尤其④⑤⑥改為線段AB 后,難度加大,可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,以及提升學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力.

二、幾何概念的教學(xué)啟示

1.創(chuàng)設(shè)生活情境,讓課堂活起來

數(shù)學(xué)來源于生活,寓于生活,服務(wù)于生活.作為教師應(yīng)該讓學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)成為一門看得見、摸得著、用得上的學(xué)科.教師在上課開始創(chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)情境,一方面可以充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望,另一方面也能讓整個課堂活起來,從而開啟學(xué)生的思維之旅,激發(fā)學(xué)生思維內(nèi)驅(qū)力,讓學(xué)生在富有情趣的情境中發(fā)現(xiàn)問題、思考問題和解決問題,為新知“鋪路搭橋”.

本節(jié)課播放了“海上日出”的視頻并加入我國著名作家巴金寫的一段話,而這段話的聲音來自所上班級的班長所錄的音頻,當(dāng)學(xué)生們看到“海上日出”的美景、聽到熟悉的同學(xué)聲音,頓時全班同學(xué)的臉上露出了笑容,課堂氛圍輕松活躍起來.在此輕松活躍的氣氛中,把學(xué)生引入數(shù)學(xué)天地,將生活中的問題數(shù)學(xué)化,把太陽看成圓,把地平線看成直線,從而引入“直線與圓的位置關(guān)系”.因此創(chuàng)設(shè)生活情境,可以活躍課堂氣氛,激活學(xué)生的求知欲,集中學(xué)生注意力,使學(xué)生看到數(shù)學(xué)也是門有趣的學(xué)科,從而激發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.動手操作探究,讓課堂活起來

在學(xué)生的印象中記憶最深刻的是自己發(fā)現(xiàn)的,通過動手操作讓學(xué)生動起來,可把抽象的理論直觀化,能豐富學(xué)生的感性認(rèn)識,能使學(xué)生在觀察、分析的過程中茅塞頓開,情緒倍增,使他們認(rèn)識到自己是學(xué)習(xí)的主人,讓數(shù)學(xué)課堂活起來.

本節(jié)課在探索判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法時,均讓學(xué)生在畫好的圓(課前準(zhǔn)備好)上,上下移動直尺,在直尺移動過程中,觀察: 在直線與圓的位置發(fā)生變化時,直線與圓的公共點(diǎn)個數(shù)如何變化? 數(shù)量關(guān)系如何變化? 通過學(xué)生自己動手探究,從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維能力的目的,并且能讓學(xué)生在動手操作、探索反思中掌握新知識,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性,使數(shù)學(xué)課堂活躍起來.

3.小組合作交流,讓課堂活起來

讓學(xué)生合作交流、自主探究,可使學(xué)生處于主體地位,不但提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,而且還培養(yǎng)了學(xué)生各方面的能力.本節(jié)課在探究用數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系時,筆者采用小組合作交流的方式來突破此難點(diǎn),在學(xué)生的激烈討論交流中,使整個課堂活起來,提高學(xué)生的課堂效率和學(xué)習(xí)效率.

4.設(shè)計問題鏈,讓課堂活起來

偉大科學(xué)家愛因斯坦曾說過:“提出問題比解決問題更重要.”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中, 教師不僅要精心設(shè)計探究性題目,而且還要一題多變、設(shè)計遞進(jìn)式問題鏈,同時也要鼓勵學(xué)生大膽對問題提出猜想、進(jìn)行變式,這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和綜合探究力,從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

本節(jié)課在延伸探究環(huán)節(jié),我對例1 進(jìn)行變式,學(xué)生還是能夠上手解決的.但是當(dāng)我再次變式,把“直線AB 與⊙C 只有一個公共點(diǎn)”改為“線段AB 與⊙C 只有一個公共點(diǎn).”時,難度提升, 激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲.待問題解決后, 我讓學(xué)生提出問題,對例題進(jìn)行變式,學(xué)生變式出“當(dāng)r 滿足____時,線段AB 與⊙C 有兩個公共點(diǎn)”、“當(dāng)r 滿足____時,線段AB 與⊙C 沒有公共點(diǎn)”等.當(dāng)解決自己或同學(xué)提出的問題時,學(xué)生會更加興奮,思維會更加活躍,整個課堂氣氛會更加熱烈.

5.合理運(yùn)用多媒體,讓課堂活起來

教學(xué)中合理使用多媒體,一方面可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,另一方面可以化難為易,使一些抽象難懂的內(nèi)容變得易于理解和掌握.教學(xué)中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平合理運(yùn)用多媒體,促進(jìn)學(xué)生積極思考,讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體,課堂上學(xué)生動起來了,數(shù)學(xué)課堂也就散發(fā)出生命的活力.

本節(jié)課我在“創(chuàng)設(shè)情景”環(huán)節(jié)利用多媒體播放“海上日出”的視頻,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;在“拓展延伸”環(huán)節(jié)利用幾何畫板制作課件,在學(xué)生思考過后,通過演示課件,讓學(xué)生直觀感受⊙C 與線段AB 沒有公共點(diǎn)、有一個公共點(diǎn)和有兩個公共點(diǎn)時,半徑r 發(fā)生的變化,從而突破難點(diǎn).合理運(yùn)用多媒體,可使學(xué)生在輕松愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中,最大限度發(fā)揮主體作用.