廣東省佛山市南海區(qū)大瀝鎮(zhèn)許海初級中學(xué)(528231) 潘秀貞

勾股定理是數(shù)學(xué)中的一個悠久而重要的定理,在利用勾股定理解題時,常常涉及到一些常用的數(shù)學(xué)思想.掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法能使數(shù)學(xué)更容易理解和記憶.勾股定理應(yīng)用中所蘊含的思想方法能使復(fù)雜問題簡單化.在教學(xué)中,我們必須充分重視數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),并注意各種思維方式的應(yīng)用,通過具體的,解決數(shù)學(xué)問題的獨立探索和鉆研,領(lǐng)會數(shù)學(xué)思維的規(guī)律和方法,提高數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、靈活性等思維品質(zhì),達(dá)到舉一反三、概括遷移、融會貫通的效果.

一、數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想即在研究問題時把數(shù)和形結(jié)合考慮或者把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì),或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,從而使復(fù)雜的問題簡單化,抽象問題具體化.

例1小華在距離東西向的高速公路500 米處觀察,看見一輛轎車在高速公路上疾馳,30 秒后轎車到達(dá)B 點,他測得AB 的距離是1300 米,求轎車的速度.

分析根據(jù)題意,畫出圖形,其中點A 表示小華所在位置, 點C、點B 表示兩個時刻轎車的位置.由于小華距離公路500 米, 因此∠C是直角,這樣就可以由勾股定理來解決這個問題了.

圖1

解在Rt△ABC 中,∠C =90°,由勾股定理,得AB2=BC2+AC2,故13002= BC2+5002,所以BC = 1200,轎車的速度為(米/秒),即為144 千米/時.

二、整體思想

有很多數(shù)學(xué)問題, 如果我們有意識地放大考察問題的“視角”, 往往能發(fā)現(xiàn)問題中隱含的某個“整體”, 利用這個“整體”對問題實施調(diào)節(jié)與轉(zhuǎn)化,常常能使問題快速獲解.象這種從整體觀點出發(fā),通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對問題進(jìn)行整體處理的解題思想方法,稱為整體思想方法.

例2如圖2,已知Rt△ABC 的周長為其中斜邊AB = 2,求這個三角形的面積.

圖2

分析若要直接求出a 與b 的值,要用二次方程求解較繁.但由聯(lián)想到運用整體思想(將ab 視為一個整體)問題便可順利獲解.

解在Rt△ABC 中, 根據(jù)勾股定理, 得a2+b2= 22,即(a + b)2- 2ab = 4, 又由已知得所以所以ab=1,所以

三、方程思想

方程思想是指對所求問題通過列方程(組)求解的一種思維方法,中考中用方程思想求解的題目屢見不鮮.

例3如圖3,矩形紙片ABCD中,AB =6cm,BC =8cm,現(xiàn)將其沿EF 對折使得點C 與點A 重合,求AF 的長.

圖3

解設(shè)AF =xcm,則DF =(8-x)cm,依題意折疊得D′F = DF = (8 - x)cm, D′A = DC =AB =6cm,∠D′=∠D =90°,在Rt△AD′F 中,由勾股定理得方程: 62+(8-x)2=x2,解得x=6.25,即AF =6.25cm.

四、分類思想

數(shù)學(xué)中的分類討論就是把所研究的對象按可能出現(xiàn)的情況不重復(fù)無遺漏地分別加以討論,從而獲得完整的問題的解答.數(shù)學(xué)中的許多問題,只有用分類討論的思想才能保證解答完整準(zhǔn)確,做到“不漏不重”.

例4如圖4,長方體的長為15,寬為10, 高為20, 點B 離點C 的距離是5, 一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A 爬到點B,需要爬行的最短路程是多少?

圖4

解共有三種路線可走:

(1)把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形, 如圖5: 因為長方體的寬為10,高為20,BC = 5,所以BD = CD+BC = 10+5 = 15,AD =20.在Rt△ABD 中,由勾股定理得:=25.

圖5

(2)把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形, 如圖6:因為長方體的寬為10,高為20,BC = 5,所以BD = CD+BC = 20+5 = 25,AD = 10.在Rt△ABD 中, 由勾股定理得:

圖6

(3)把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形, 如圖7: 因為長方體的寬為10, 高為20,BC =5,所以AC =CD+AD =20+10=30.在Rt△ABC中, 由勾股定理得:

圖7

五、類比思想

類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要發(fā)現(xiàn)式思維,它是一種學(xué)習(xí)方法,同時也是一種非常重要的創(chuàng)造性思維.它通過兩個已知事物在某些方面所具有的共同屬性,去推測這兩個事物在其他方面也有相同或類似的屬性.從而大膽猜想得到結(jié)論(必要時要加以證明)

例5(1)如圖8,分別以直角三角形ABC 三邊為直徑向外作三個半圓,其面積分別用S1、S2、S3表示,則不難證明S1=S2+S3.

(2)如圖9,分別以直角三角形ABC 三邊為邊向外作三個正方形,其面積分別用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之間有什么關(guān)系? (不必證明).

(3)如圖10,分別以直角三角形ABC 三邊為邊向外作三個等邊三角形, 其面積分別用S1、S2、S3表示, 請你確定S1、S2、S3之間的關(guān)系并加以證明.

圖8

圖9

圖10

分析從同學(xué)們熟悉的勾股定理入手,(1)(2)容易得證,(3)中要求出等邊三角形的面積.

解 設(shè)直角三角形ABC 的三邊BC、CA、AB 的長分別為a、b、c,則c2=a2+b2

(1)S1=S2+S3;

(2)S1=S2+S3;

六、轉(zhuǎn)化的思想

原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家雅諾夫卡婭在回答“解題意味著什么? ”時說“解題就是意味著把所要解的題目轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的問題.”可以說, 任何一個數(shù)學(xué)問題都是通過數(shù)或形的逐步轉(zhuǎn)化,化歸為一個比較熟悉、比較容易的問題,通過對新問題的解決,達(dá)到解決原問題的目的.可見,轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法.數(shù)學(xué)解題的過程實際就是轉(zhuǎn)化的過程,換言之,解題就是把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的問題的過程,通過對條件的轉(zhuǎn)化,結(jié)論的轉(zhuǎn)化,使問題化難為易,化生為熟,最終求得問題的解決.

例6如圖11 所示, 有一個圓柱,它的高等于12 厘米, 底面半徑等于3厘米.在圓柱底面的A 點有一只螞蟻,它想吃到上底面與A 點相對的B 點處的食物,沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少? (π 的值取3)

分析在圓柱表面上螞蟻爬行的路線是曲線, 其長度不易計算, 把圓柱沿經(jīng)過點A 的母線剪開, 則爬行的最短路線是圖中線段AB, 此時由勾股定理得.

圖11

圖12

點評立體圖形上的問題常常要把它展開轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,如果我們加強了數(shù)學(xué)基本思想方法的教學(xué),并注重思維訓(xùn)練,可優(yōu)化學(xué)生的思維,有助于學(xué)生能力的遷移,更能提高數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.

數(shù)學(xué)思想方法已成為未來社會公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容.數(shù)學(xué)思想方法是隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)、運用逐步形成的.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的生命和靈魂,是數(shù)學(xué)知識的精髓,是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.教師在平時教學(xué)中要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中注意總結(jié)提煉,相互討論,在解題的同時掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法.