安徽省太湖中學(xué)(246400) 李昭平

從橢圓向雙曲線類比,往往融直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)于一體,能有效培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力、合情推理能力和探究證明能力.下面分享幾個(gè)類比結(jié)論：從橢圓中的斜率乘積定值類比出雙曲線中的斜率乘積定值;從橢圓的離心率公式類比出雙曲線的離心率公式;從橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式類比出雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式.讓我們從中體會(huì)類比的魅力.

1.斜率乘積定值的類比

例1 不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,且不平行于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓=1(a＞b＞0)有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M,則相減得所以即

由此得到結(jié)論1：對(duì)橢圓,直線l的斜率與直線OM的斜率乘積為定值類比上述過(guò)程,推導(dǎo)雙曲線的類似性質(zhì).

思路類比上述點(diǎn)差法,對(duì)雙曲線實(shí)施同樣的運(yùn)算變形.

解析設(shè)雙曲線是=1(a＞0,b＞0),A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M.由相減得所以即

由此得到結(jié)論2：對(duì)雙曲線,直線l的斜率與直線OM的斜率乘積為定值

例2 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的橢圓b＞0)的弦是AB,P是橢圓上異于A,B的一點(diǎn),且PA,PB的斜率都存在,設(shè)P(x0,y0),A(x,y),B(-x,-y),所以相減得于是

由此得到結(jié)論3：經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的橢圓1(a＞b＞0)的弦是AB,P是橢圓上異于A,B的一點(diǎn),則類比上述過(guò)程,推導(dǎo)雙曲線的類似性質(zhì).

思路類比上述點(diǎn)差法,對(duì)雙曲線實(shí)施同樣的運(yùn)算變形.

解 析設(shè)P(x0,y0),A(x,y),B(-x,-y),相減得于是kP A·kP B=

由此得到結(jié)論4：經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的雙曲線1(a＞0,b＞0)的弦是AB,P是雙曲線上異于A,B的一點(diǎn),則kP A·kP B=

2.離心率公式的類比

圖1

例3 如圖1,設(shè)橢圓的方程為=1(a＞b＞0),F1.F2是左右焦點(diǎn).點(diǎn)P是橢圓上除長(zhǎng)軸上兩個(gè)頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),且∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則所以所以所以

由此得到結(jié)論5：e=(橢圓離心率公式).將其推廣到雙曲線,寫(xiě)出推導(dǎo)的過(guò)程和結(jié)論.

思路從橢圓問(wèn)題的證法出發(fā),結(jié)合雙曲線的定義,類比前行.

解析如圖2,設(shè)雙曲線的方程為0,b＞0),F1.F2是左右焦點(diǎn).點(diǎn)P是雙曲線左支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),且∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則

所以

所以

所以

當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線右支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)時(shí),同理可以得到

由此得到結(jié)論6：e=(雙曲線離心率公式).

圖2

圖3

例4 設(shè)點(diǎn)F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),AB是過(guò)點(diǎn)F且不平行于對(duì)稱軸的焦點(diǎn)弦,AB的傾斜角是θ,-→AF=m--→FB.

那么有結(jié)論7：(1)當(dāng)焦點(diǎn)F在x軸上時(shí),離心率(2)當(dāng)焦點(diǎn)F在y軸上時(shí),離心率

證明設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),如圖3所示.不妨設(shè)F是右焦點(diǎn),F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),則由得y1=-my2,因?yàn)锳B的斜率存在且不為零,設(shè)其為聯(lián)立方程組消去x得到(a2+k2b2)y2+2kb2cy-b4=0.于是

再消去y2得,-m·注意到則化簡(jiǎn)整理得到

這是橢圓又一個(gè)離心率公式.可以將其推廣到雙曲線,得到同樣的結(jié)論7：

再消去y2,并注意到得 到,所以離心率若雙曲線焦點(diǎn)F在y軸上,則以θ±代替中的θ,得e=

3.焦點(diǎn)三角形面積公式的類比

例5 如圖1,設(shè)點(diǎn)P是橢圓=1(a＞b＞0)上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn),∠F1PF2=θ,|PF1|=m,|PF2|=n,則解得mn=于是

由此得到結(jié)論8：(橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式).類比上述過(guò)程,推導(dǎo)雙曲線焦點(diǎn)三角形的類似面積公式.

思路類比解橢圓中的焦點(diǎn)三角形,結(jié)合雙曲線的定義運(yùn)算變形.

解析結(jié)論：設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則解得mn=于是

由此得到結(jié)論9：(雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式).