江蘇省無錫市運(yùn)河實驗中學(xué)(214000) 韓 郡

筆者現(xiàn)舉出一道模擬題對其中一類定值問題的背景進(jìn)行探索研究.

圖1

模擬題如圖1,已知橢圓的離心率且經(jīng)過點拋物線C2∶x2=2py(p＞0)的焦點F與橢圓C1的一個焦點重合.

(I)過F的直線與拋物線C2交于M,N兩點,過M,N分別作拋物線C2的切線l1,l2,求直線l1,l2的交點Q的軌跡方程;

(II)從圓O∶x2+y2=5 上任意一點P作橢圓C1的兩條切線,切點為A,B,證明：∠APB為定值,并求出這個定值.

解(I)略;

(II)在第一問可以求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

① 當(dāng)兩切線的之一的斜率不存在時,根據(jù)對稱性,設(shè)點P在第一象限,則此時P點橫坐標(biāo)為代入圓的方程得P點的縱坐標(biāo)為此時兩條切線方程分別為此時∠APB=若∠APB的大小為定值,則這個定值只能是

綜上可知：∠APB的大小為定值得證.

通過上題,我們發(fā)現(xiàn)在上述圓上任取一點P作橢圓的兩條切線,那么這兩條切線相互垂直.

思考如果作給定橢圓的兩條相互垂直的切線,那么兩條切線的交點的軌跡是否是一個定圓?

變式如圖2,已知橢圓C1∶過橢圓外一點P(x0,y0)作直線l1,l2分別于橢圓C1相切于A,B兩點,且l1⊥l2,證點P在一個定圓上,并求出軌跡方程.

圖2

證設(shè)過點P(x0,y0)的直線方程為：y-y0=k(x-x0),聯(lián)立橢圓方程代入整理得：(a2k2+b2)x2+2ka2(y0-kx0)x+a2k2x20-2ka2x0y0+a2y20-a2b2=0,?=4a2k2(kx0-y0)2-4a2(a2k2+b2)[(kx0-y0)2-b2]=0,經(jīng)化簡得：(kx0-y0)2=a2k2+b2,繼續(xù)整理成關(guān)于k的一元二次方程：(x20-a2)k2-2x0y0k+y20-b2=0,因為過點P作的兩條切線l1⊥l2,所以k1k2=-1,根據(jù)韋達(dá)定理得：x20+y20=a2+b2.當(dāng)其中一條切線斜率不存在時,點P坐標(biāo)為(a,b)在上述圓上.所以點P在以原點為圓心,為半徑的圓上,圓的方程為x2+y2=a2+b2.

結(jié)論1 對于給定橢圓作橢圓兩條相互垂直的切線,兩條切線的交點的軌跡為一個定圓,定圓的方程為x2+y2=a2+b2.我們把這個定圓稱為橢圓的“伴隨圓”.同樣地,如果取圓x2+y2=a2+b2上任意一點,作橢圓的兩條切線,那么這兩條切線互相垂直.

筆者對定圓進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),如果延長其中一條切線交定圓為點Q,則

圖3

證明如圖3,設(shè)橢圓的切線方程為y=kx+m,直線與圓O∶x2+y2=a2+b2的兩交點為P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立橢圓方程整理得：(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0,因為直線與橢圓相切,所以?=4k2m2a4-4a2(m2-b2)(a2k2+b2)=0,即

結(jié)論2 橢圓的一條切線與其“伴隨圓”相交于P,Q兩點,則

此時再回顧一開始的模擬題第二問求∠APB為定值,我們現(xiàn)在直接利用結(jié)論2 就可以快速得出結(jié)果：

方法二如圖4,設(shè)過點P的兩條切線分別與圓相交的兩個交點為Q,S,由結(jié)論2 可知,kOP kOQ=同理可得kOP kOS=則kOQ=kOS,則O.Q.S三點共線,所以QS為圓O的直徑,即

圖4

下面筆者給出兩道?？碱},供讀者練習(xí)使用：

(I)求橢圓C的方程;

(II)設(shè)P為圓E∶x2+y2=4 上任意一點,過點P作橢圓C的兩條切線l1,l2,設(shè)l1,l2分別交圓E于點M,N,證明：MN為圓E的直徑.

(1)求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程;

(2)過“伴隨圓”E上任意一點P作橢圓C的兩條切線PA,PB,A,B為切點,延長PA與“伴隨圓”E交于點Q,O為坐標(biāo)原點.

①證明：PA⊥PB;

②若直線OP,OQ的斜率存在,設(shè)其分別為k1,k2,試判斷k1k2是否為定值,若是,求出該值;若不是,請說明理由.