廣東韶關市九齡高級中學(512031) 何世洪

在文[1]中,齊行超老師給出了橢圓的切線的一個性質：過橢圓外一點(與焦點F1,F2共線)M作切線,切點P,則|F1M|·|F2M|=|PF1|·|PF2|+|MP|2.

在文[2]中,筆者給出了橢圓、雙曲線切線的另一性質：

結論1 過橢圓=1(a＞0,b＞0)外一點P(x0,y0)作該橢圓的切線PA,PB,切點為A,B,則△PAB的面積為

結論2 過雙曲線外一點P(x0,y0)作該雙曲線的切線PA,PB,切點為A,B,則△PAB的面積為

筆者閱讀文[1]、文[2]后,對嚴謹?shù)恼撟C和結論的優(yōu)美倍感佩服,并深受啟發(fā),結合這兩者作進一步研究,又得出了橢圓、雙曲線切線的另一個性質.

性質(1)過橢圓外一點M(x0,y0)作切線,切點A,B,焦點F,則

圖1

圖2

證明如圖1,由文[3]知,過切點A,B的直線方程為由方程組消去y,整理

得：設A(x1,y1),B(x2,y2),則

設焦點F(c,0),離心力為e,則由橢圓焦半徑公式得：

所以,

又|MF|2=(x0-c)2+y20,所以,|FA|·|FB|·|MF|2,即

(2)根據(jù)文[3]知,過切點A,B的直線方程為當切點A,B在雙曲線同一支時,如圖2.由消去y,整理得：

又由文[3],因直線AB與雙曲線有兩個同號實根,必須滿足a2y20-b2x20＜0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則

設其焦點F(c,0),離心力為e,則由雙曲線焦半徑公式得：

因a2y20-b2x20＜0,b2x20-a2y20＞0,那么,

而|MF|2=(x0-c)2+y20,那么|FA|·|FB|·|MF|2,所以,

當切點A,B分別在雙曲線的兩支時,如圖3,有上 (?)式.由 文 [3],直 線AB與雙曲線有兩個異號實根,必 須0＜a2y20-b2x20,b2x20-a2y20＜0.同理可得,綜上,有成立.

圖3