廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

題目已知橢圓的離心率為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)已知?jiǎng)又本€y=k(x+1)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn).

①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求斜率k的值;

對(duì)于上述(2)的第二問,也可以這么設(shè)問：已知?jiǎng)又本€y=k(x+1)與橢圓C相交于A.B兩點(diǎn).在平面上是否存在一定點(diǎn)M,使得為定值.若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

1.直線所過定點(diǎn)在x 軸上,所對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)在x 軸上.

動(dòng)直線l∶y=k(x-m)與橢圓b＞0)相交于A.B兩點(diǎn).在x軸上是否存在一定點(diǎn)N,使得為定值.若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解析設(shè)A.B兩點(diǎn)分別為A(x1,y1).B(x2,y2),點(diǎn)N(n,0),則又y1y2=k(x1-m)k(x2-m)=k2[x1x2-m(x1+x2)+m2],從而消去y得關(guān)于x的一元二次方程

由韋達(dá)定理得

將(2)式代入(1)式得

設(shè)定值為λ,則

所以,當(dāng)a,b,c,m,n滿足(3)時(shí),存在定點(diǎn)定值問題,且定點(diǎn)為定值為

評(píng)價(jià)對(duì)在校生的學(xué)習(xí)具有較強(qiáng)的指導(dǎo)作用，在評(píng)價(jià)中不但要遵守教學(xué)中的一般評(píng)價(jià)規(guī)則，而且要考慮如下幾個(gè)方面：

2.直線所過定點(diǎn)在y 軸上,所對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)在y 軸上.

動(dòng)直線l∶x=k(y-m)與橢圓b＞0)相交于A.B兩點(diǎn).在y軸上是否存在一定點(diǎn)N,使得為定值.若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解析設(shè)A.B兩點(diǎn)分別為A(x1,y1).B(x2,y2),點(diǎn)N(0,n),則=y1y2-n(y1+y2)+n2+x1x2,又x1x2=k(y1-m)k(y2-m)=k2[y1y2-m(y1+y2)+m2],所以

將(5)式代入(4)式得

設(shè)定值為λ,則

所以,當(dāng)a,b,c,m,n滿足(6)時(shí),存在定點(diǎn)定值問題,且定點(diǎn)為定值為

3.一般情形.

動(dòng)直線l∶y=k(x-m)+n與橢圓1(a＞b＞0)相交于A.B兩點(diǎn).在平面上是否存在一定點(diǎn)N,使得為定值.若存在,請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解析設(shè)A.B兩點(diǎn)分別為A(x1,y1).B(x2,y2),點(diǎn)N(p,q),則又y1y2=[k(x1-m)+n][k(x2-m)+n]=k2x1x2+(kn-mk2)(x1+x2)+k2m2+n2-2mnk,y1+y2=k(x1+x2-2m)+2n,所以

將(8)式代入(7)式得

設(shè)定值為λ,得

整理得,當(dāng)a,b,m,n,p,q滿足

到此,本文就解決了橢圓中動(dòng)弦導(dǎo)出的向量的數(shù)量積為定值的問題.