(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒33400)

上世紀(jì)70年代，Lebowitz等人提出了L-R模型[1]：

之后，該遷移方程的譜分析研究和該遷移方程解的漸近性態(tài)研究工作已成為生物數(shù)學(xué)和社會(huì)科學(xué)感興趣的課題[2-9]。Webb在文獻(xiàn)[2]中研究了L-R模型，在連續(xù)函數(shù)空間上，對(duì)0

無疑，對(duì)于文獻(xiàn)[6]的條件與模型，在p=1的情況自然引起了我們的關(guān)注！本文在L1空間中研究了細(xì)胞周長(zhǎng)為0≤l14l2時(shí)，證明了遷移算子Ak生成C0半群(Vk(t))t≥0是弱緊的，從而得到了文獻(xiàn)[4]結(jié)果。L-R模型的種群細(xì)胞方程的初邊值問題如下：

式中a∈[0,l]表示種群細(xì)胞的年齡，l∈(l1,l2)表示種群細(xì)胞從出生到分裂的周長(zhǎng)，且0≤l1

1 預(yù)備知識(shí)

定義Sobolev空間W1及其范數(shù)如下：

定義算子AK為：

假設(shè)(O)∶K是弱緊和正的邊界算子，具有如下形式：

引理1.1[7]若假設(shè)(O)被滿足，則算子AK在X1上生成C0半群(VK(t))t≥0.

引理1.2 設(shè)算子K是有界線性算子，算子(Kn)n是有界線性算子且滿足:

證明 由引理1.1知AKq在X1上生成一C0半群{VKq(t);t≥0},因?yàn)?/p>

‖KnMq‖≤‖Kn-K‖·‖Mq‖+‖KMq‖，

于是故此引理獲證。

引理1.3 若算子K為有界正算子，當(dāng)Reλ充分大時(shí)有，則有

(1.1)

其中V0(t)是由A0生成的C0半群，

(1.2)

證明 由于對(duì)任意的φ∈X1,φ>0，當(dāng)Reλ>-μ(其中μ=ess-infμ(.，.))有，

所以存在λ0>0，使得當(dāng)Reλ>λ0時(shí)有

當(dāng)n≥1時(shí)，經(jīng)計(jì)算可以得到，

綜上所述，此引理獲證。

2 主要結(jié)果

令Γ0={λ∈C|Reλ≥-μ}。

定理2.1 若假設(shè)(O)被滿足，則‖F(xiàn)n(t)‖≤e-tμ‖K‖n+1(t≥0,n≥1)。其中Fn(t)是引理1.3中所定義的算子。

證明 由于對(duì)任意的φ≥0,n≥1有，

所以，

定理2.2 若假設(shè)(O)被滿足，則當(dāng)t>4l2時(shí)有，算子Ak生成C0半群(VK(t))t≥0在X1空間上是弱緊算子。

證明 第1步：證明(VK(t))t≥0在t>2l2的條件下是弱緊算子。事實(shí)上，因?yàn)镵是緊的，所以必定存在一列有限秩算子{Kn}n，從而得到

由于緊算子K具有如下形式：

(2.1)

第2步：根據(jù)第1步知(VK(t))t≥0在t>2l2上弱緊，從而得到，

定理2.3 若假設(shè)條件(O)成立，在區(qū)域Γ0中，遷移算子AK的譜由有限個(gè)具有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值構(gòu)成，而且-∞遠(yuǎn)點(diǎn)是唯一可能的聚點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

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