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        阻尼慣性秤的定標(biāo)和慣性質(zhì)量的測(cè)量

        2015-05-10 07:18:09
        關(guān)鍵詞:曲線擬合定標(biāo)慣性

        (上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,江西上饒334001)

        在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量物體的慣性質(zhì)量是一個(gè)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn),能提高大學(xué)生對(duì)物體質(zhì)量的認(rèn)識(shí),并學(xué)會(huì)秤衡質(zhì)量的一種新方法。在過去的慣性秤實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,是研究忽略阻力作用下的慣性秤擺動(dòng)周期、等效質(zhì)量和附加質(zhì)量塊三者之間的關(guān)系[1],雖然有利于理解擺動(dòng)周期與慣性質(zhì)量的關(guān)系,但不利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步解釋慣性秤擺動(dòng)幅度隨時(shí)間的增大而減少的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

        文獻(xiàn)[2]建立了具有阻尼作用的慣性秤動(dòng)力學(xué)方程

        (1)

        式中λ為空氣阻力系數(shù),K為秤臂的彈性系數(shù),m0為秤臺(tái)空載時(shí)總的等效質(zhì)量,mi為附加質(zhì)量,θ為秤臺(tái)偏離平衡位置的角度,s為θ所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng),φ為固定的豎直平面與秤臺(tái)運(yùn)動(dòng)平面的夾角,g為重力加速度。由此可解得擺動(dòng)周期為

        (2)

        式中L為等效擺長(zhǎng)。如果將秤臂秤臺(tái)平面調(diào)成水平,與固定的豎直平面垂直,即φ=90°,cosφ=0,則

        (3)

        根據(jù)(2)或(3)式,分析討論了阻力對(duì)周期和振幅的影響[2]。但沒有提出具有阻尼的慣性秤定標(biāo)和測(cè)量質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)方法。本文將解決具有阻尼的慣性秤定標(biāo)和測(cè)量物體慣性質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)問題。

        1 阻尼慣性秤的定標(biāo)和慣性質(zhì)量測(cè)量方法

        由(2)式可知,由于阻力的存在λ≠0,使得周期T與質(zhì)量mi失去了線性關(guān)系,出現(xiàn)了非線性曲線。利用傳統(tǒng)方法對(duì)慣性秤定標(biāo)的結(jié)果,將無法測(cè)量待測(cè)物體的質(zhì)量。我們介紹一種借助數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Maple進(jìn)行曲線擬合,對(duì)慣性秤進(jìn)行定標(biāo)和測(cè)量物體慣性質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。

        首先將慣性秤的秤臂秤臺(tái)固定在豎直支架上,使夾角固定不變,可以不為90度。選用微秒(μs)記時(shí)器,測(cè)出慣性秤每擺動(dòng)20個(gè)周期所需的時(shí)間,重復(fù)三次,結(jié)果分別記為Ti1,Ti2,Ti3。然后依次在秤臺(tái)上增加已知質(zhì)量塊,改變mi(i=0,1,2..10),測(cè)量對(duì)應(yīng)的周期,結(jié)果如附表。表中Ti為一個(gè)周期的平均值。

        附表 用慣性秤定標(biāo)已知質(zhì)量塊的質(zhì)量與慣性秤擺動(dòng)周期的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

        然后,根據(jù)附表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Maple進(jìn)行二次曲線擬合。曲線擬合或稱回歸,是根據(jù)二個(gè)物理量之間的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,利用最小平方法,以求出最逼近或最能反映這二個(gè)物理量之間變化關(guān)系的函數(shù),其計(jì)算方法和原理可參考文獻(xiàn)[3]。由于曲線擬合的計(jì)算比較大,我們可以借助數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Maple進(jìn)行曲線擬合。在Maple的state函數(shù)庫(kù)中,有一個(gè)叫fit的子函數(shù)庫(kù),提供了leastsquare( )指令,該指令具有強(qiáng)大的曲線擬合功能。它有二種使用格式,一種是leastsquare[vars](data),即以串行vars里的元素為變量做曲線擬合;另一種使用格式是leastsquare[vars,eqn,pars](data),即以方程式eqn來擬合數(shù)據(jù)data,其中vars為eqn里的變量,而pars為變量的系數(shù)。以附表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,說明leastsquare( )這二種指令的用法,并分析比較直線擬合與曲線擬合結(jié)果的差異。在Maple中寫入如下命令:

        > restart: with(stats): with(fit): with(plots): with(PDEtools):

        其中restart為清除內(nèi)存中已有Maple的函數(shù)和變量,with(stats)、 with(fit)、with(plots)和 with(PDEtools)分別為將stats,fit,plots(作圖工具函數(shù)庫(kù)),PDEtools(代數(shù)運(yùn)算函數(shù)庫(kù))調(diào)入內(nèi)存,冒號(hào)“:”為不顯示函數(shù)庫(kù)加載后的結(jié)果。將質(zhì)量塊的質(zhì)量組成串行,賦值給變量mi,相應(yīng)的指令為

        > mi:=[25,50,75,100,102.8,125,150,175,200,225,250];

        對(duì)附表中各質(zhì)量塊相應(yīng)的測(cè)得周期進(jìn)行計(jì)算,求出一個(gè)周期所需的時(shí)間,并組成串行,賦值給變量Ti,相應(yīng)的指令為

        >Ti:=[(342545+342909+342571)/60,(392150+391858+391524)/60,(435596+435554+435999)/60,(476466+476484+476459)/60,(480593+479973+479909)/60,(513961+514516+514516)/60,(551614+550487+551093)/60,(585729+586440+585846)/60,(620375+620580+620335)/60,(653412+653315+652946)/60,(685440+687216+685762)/60];

        再求出一個(gè)周期的平方,組成串行,并賦值給變量ti,相應(yīng)的指令為

        > ti:=[T[1]^2,T[2]^2,T[3]^2,T[4]^2,T[5]^2,T[6]^2,T[7]^2,T[8]^2,T[9]^2,T[10]^2,T[11]^2];

        如果以質(zhì)量塊的質(zhì)量m為自變量,對(duì)應(yīng)的一個(gè)周期的平方T為因變量,進(jìn)行線性擬合,相應(yīng)指令為

        > eq1:= leastsquare[[m,T]] ([m[i], t[i]]);

        擬合后的直線方程為

        eq1:=T=0.1810375936 109+0.3917748779 107m。

        (4)

        如果對(duì)附表中的質(zhì)量和周期的平方,進(jìn)行二次曲線擬合,相應(yīng)指令和擬合后的曲線方程分別為

        > eq2:=leastsquare[[m,T],T=a*m^2+b*m+c,{a,b,c}]([ m[i],t[i]]);

        eq2:=T=1990.599812m2+0.3365620824 107m+0.2097567093 109。

        (5)

        進(jìn)行三次曲線擬合,相應(yīng)指令和擬合后的曲線方程分別為

        > eq3:=leastsquare[[m,T], T=a*m^3+b*m^2+c*m+d,{a,b,c,d}]([m[i],t[i]]);

        eq3:=T=3.064306383m3+740.0860339m2+0.3508125491 107m+0.2056986520 109。

        (6)

        為了直觀地分析討論擬合后的曲線方程與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的符合情況,先畫出實(shí)驗(yàn)結(jié)果的圖像,并賦值給變量g1

        > g1:=plot(zip((m,T)->[m,T], m[i],t[i]),style=point,labels=[m,T]):

        再分別畫出直線方程eq1、二次曲線方程eq2和三次曲線方程eq3所對(duì)應(yīng)的圖像,并分別賦值給變量g2、g3和g4,對(duì)應(yīng)的maple命令為

        > g2:=plot(rhs(eq1), m=0..250):

        g3 :=plot(rhs(eq2), m=1..250):

        g4 :=plot(rhs(eq3), m=1..250):

        然后將實(shí)驗(yàn)結(jié)果的圖像g1逐一與g2、g3和g4進(jìn)行比較,對(duì)應(yīng)的maple命令為

        > display(g1, g2); display(g1, g3); display(g1, g4);

        分別得到如圖1、圖2和圖3。

        圖1 直線擬合結(jié)果圖2 二次曲線擬合結(jié)果圖3 三次曲線擬合結(jié)果

        圖中橫坐標(biāo)m表示已知質(zhì)量塊的質(zhì)量,縱坐標(biāo)T表示質(zhì)量對(duì)應(yīng)一個(gè)周期的平方。空心圓圈表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn),實(shí)線表示擬合函數(shù)的質(zhì)量m與一個(gè)周期的平方T的圖像。

        由圖1可知,偏離直線的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)較多,說明(4)式的直線方程

        T=0.1810375936 109+0.3917748779 107m,

        與實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差較大。

        由圖2和圖3可知,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)均在曲線上,說明(5)式二次曲線方程

        T=1990.599812 m2+0.3365620824 107m+0.2097567093 109,

        和(6)式的三次曲線方程

        T=3.064306383 m3+740.0860339 m2+0.3508125491 107m+0.2056986520 109,

        與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合,誤差較小。從圖像上比較,看不出圖2,圖3擬合曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差大小的差異,精度很接近。但可通過計(jì)算相對(duì)誤差比較二次曲線與三次曲線的擬合結(jié)果的差異。

        如果選擇(5)式求慣性質(zhì)量,可用maple的solve( )命令

        > solve (T=1990.600229*m^2+3365620.701*m+209756716.5,m);

        能解得

        (7)

        式中m的單位為克,T的單位為微秒的平方。測(cè)出待測(cè)物體擺動(dòng)一個(gè)周期的平方T,代入(7)式,就可求得待測(cè)物體的慣性質(zhì)量m。若以表1中參考質(zhì)量m=102.8克為例,將它對(duì)應(yīng)一個(gè)周期的平方T=0.5763800626×109,代入(7)式,可求得mx=102.6943470克。與參考質(zhì)量m=102.8克進(jìn)行比較,可得相對(duì)誤差為

        同理,由直線方程(4)式、三次曲線方程(6)式,求得的慣性質(zhì)量mx與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差分別為

        η2=1.85233066%, η3=0.2880873%。

        可見,η1最小,η3次之,η2最大。表明二次擬合曲線(5)式最接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果,三次擬合曲線(6)式次之,直線擬合(4)式最大,由此可知慣性質(zhì)量與周期的平方不是線性關(guān)系,而是非線性關(guān)系,應(yīng)考慮空氣阻力對(duì)慣性秤擺動(dòng)的影響??扇D2為慣性秤定標(biāo)曲線,根據(jù)(7)式求慣性質(zhì)量最準(zhǔn)確。

        2 結(jié)論

        在過去的慣性秤實(shí)驗(yàn)教學(xué)中,忽略阻力作用,用作圖法分析討論了慣性秤定標(biāo)和慣性質(zhì)量的測(cè)量問題。本文考慮了阻力作用,用曲線擬合回歸法研究了阻尼的慣性秤定標(biāo)和慣性質(zhì)量的測(cè)量方案。由于曲線擬合回歸法是基于最小平方法的數(shù)據(jù)處理方法,需要對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行大量和較復(fù)雜的計(jì)算,所以我們介紹了利用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Maple中的state函數(shù)庫(kù)的子函數(shù)庫(kù)fit的leastsquare[vars](data)和leastsquare[vars,eqn,pars](data)指令,用這二個(gè)指令中的一個(gè)就可根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,得到二個(gè)物理量之間的擬合曲線,作為慣性秤的定標(biāo)曲線。由定標(biāo)曲線則可求得待測(cè)物體的慣性質(zhì)量。分析結(jié)果表明在阻尼慣性秤的定標(biāo)和慣性質(zhì)量測(cè)量實(shí)驗(yàn)中,用leastsquare[vars,eqn,pars](data)指令擬合的慣性質(zhì)量與周期平方的二次曲線的函數(shù)關(guān)系更準(zhǔn)確。本文利用先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具解決復(fù)雜的物理實(shí)驗(yàn)問題的方法,對(duì)老師指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)具有有益的參考作用,對(duì)學(xué)生能起到激發(fā)學(xué)習(xí)計(jì)算軟件的興趣,并啟發(fā)引導(dǎo)分析復(fù)雜實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的能力。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 楊述武. 普通物理實(shí)驗(yàn): 力學(xué)及熱學(xué)部分[ M] . 北京: 高等教育出版社, 2000.

        [2] 鄭雪梅,黃瑛,彭莉,等.阻力對(duì)慣性秤擺動(dòng)幅度和周期的影響[J] .上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014, 34(6): 120-123.

        [3] 龔鎮(zhèn)雄. 普通物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理[M]. 西安:西北電訊工程學(xué)院出版社,1985.

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