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        緊性在L-R模型中的應(yīng)用

        2015-05-10 07:17:44
        關(guān)鍵詞:重?cái)?shù)算子種群

        (上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西上饒33400)

        上世紀(jì)70年代,Lebowitz等人提出了L-R模型[1]:

        之后,該遷移方程的譜分析研究和該遷移方程解的漸近性態(tài)研究工作已成為生物數(shù)學(xué)和社會(huì)科學(xué)感興趣的課題[2-9]。Webb在文獻(xiàn)[2]中研究了L-R模型,在連續(xù)函數(shù)空間上,對(duì)0

        無疑,對(duì)于文獻(xiàn)[6]的條件與模型,在p=1的情況自然引起了我們的關(guān)注!本文在L1空間中研究了細(xì)胞周長(zhǎng)為0≤l14l2時(shí),證明了遷移算子Ak生成C0半群(Vk(t))t≥0是弱緊的,從而得到了文獻(xiàn)[4]結(jié)果。L-R模型的種群細(xì)胞方程的初邊值問題如下:

        式中a∈[0,l]表示種群細(xì)胞的年齡,l∈(l1,l2)表示種群細(xì)胞從出生到分裂的周長(zhǎng),且0≤l1

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義Sobolev空間W1及其范數(shù)如下:

        定義算子AK為:

        假設(shè)(O)∶K是弱緊和正的邊界算子,具有如下形式:

        引理1.1[7]若假設(shè)(O)被滿足,則算子AK在X1上生成C0半群(VK(t))t≥0.

        引理1.2 設(shè)算子K是有界線性算子,算子(Kn)n是有界線性算子且滿足:

        證明 由引理1.1知AKq在X1上生成一C0半群{VKq(t);t≥0},因?yàn)?/p>

        ‖KnMq‖≤‖Kn-K‖·‖Mq‖+‖KMq‖,

        于是故此引理獲證。

        引理1.3 若算子K為有界正算子,當(dāng)Reλ充分大時(shí)有,則有

        (1.1)

        其中V0(t)是由A0生成的C0半群,

        (1.2)

        證明 由于對(duì)任意的φ∈X1,φ>0,當(dāng)Reλ>-μ(其中μ=ess-infμ(.,.))有,

        所以存在λ0>0,使得當(dāng)Reλ>λ0時(shí)有

        當(dāng)n≥1時(shí),經(jīng)計(jì)算可以得到,

        綜上所述,此引理獲證。

        2 主要結(jié)果

        令Γ0={λ∈C|Reλ≥-μ}。

        定理2.1 若假設(shè)(O)被滿足,則‖F(xiàn)n(t)‖≤e-tμ‖K‖n+1(t≥0,n≥1)。其中Fn(t)是引理1.3中所定義的算子。

        證明 由于對(duì)任意的φ≥0,n≥1有,

        所以,

        定理2.2 若假設(shè)(O)被滿足,則當(dāng)t>4l2時(shí)有,算子Ak生成C0半群(VK(t))t≥0在X1空間上是弱緊算子。

        證明 第1步:證明(VK(t))t≥0在t>2l2的條件下是弱緊算子。事實(shí)上,因?yàn)镵是緊的,所以必定存在一列有限秩算子{Kn}n,從而得到

        由于緊算子K具有如下形式:

        (2.1)

        第2步:根據(jù)第1步知(VK(t))t≥0在t>2l2上弱緊,從而得到,

        定理2.3 若假設(shè)條件(O)成立,在區(qū)域Γ0中,遷移算子AK的譜由有限個(gè)具有限代數(shù)重?cái)?shù)的離散本征值構(gòu)成,而且-∞遠(yuǎn)點(diǎn)是唯一可能的聚點(diǎn)。

        參考文獻(xiàn):

        [1] Lebowitz J L, Rubinow S I. A theory for the age and generation time distribution of a microbial population [J]. Journal of Mathematical Biology,1974,1:17-36.

        [2] Webb G. A mode of proliferating cell populations with inherited cycle length [J]. Journal Mathematical Biology, 1986,23:269-282.

        [3] Latrach K, Mokhtar-Kharroubi M. On an unbounded linear operator arising in the theory of growing cell popultion[J]. Journal of Mathematical Analysis Applications, 1997,211:273-294.

        [4] 王勝華,程國(guó)飛. 一類增生擴(kuò)散型種群細(xì)胞中遷移方程的譜問題[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2013,33A(1):71-77.

        [5] 王勝華,賈善德,黃時(shí)祥. 具擾動(dòng)項(xiàng)的L-R型遷移算子的譜分析[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2014,34(4):432-451.

        [6] 吳紅星, 王勝華, 胡仁杰. 緊半群在種群細(xì)胞增生方程中的應(yīng)用[J]. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013,32(6): 832-835.

        [7] Lods B, Mokhtar-Kharroubi M. On the theory of a growing cell population with zero minimum cycle length [J]. Journal of Mathematical Analysis Applications, 2002,266:70-99.

        [8] Jeribi A, Megdiche H, Moalla N. On a transport operator arising in growing cell populatios II Cauchy problem [J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2005,28:127-145.

        [9] Dodds P, Fremlin J. Compact operator in Banach Lattices [J], Israel Journal of Mathematics 1979,34:287-320.

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