孫 晗，尹長明，靳永濤

（廣西大學數(shù)學與信息科學學院，南寧530004）

引言

廣義線性模型（Generalized Linear Model，GLM）最早被Nelder和Wedderburn［1］于1972年所引進，用于解決因變量y取離散值的情況。而廣義估計方程（Generalized Estimation Equation，GEE）是Liang和Zeger［2］在1986年的一篇具有開創(chuàng)性意義的文章中引入的，作為對廣義線性模型相關數(shù)據(jù)的有用擴展，主要用于分析縱向數(shù)據(jù)（Longitudinal Data））或集團數(shù)據(jù)（Cluster Data）。而縱向數(shù)據(jù)一直是近些年來被研究的熱點之一［3］。在應用中，廣義估計方程被廣泛應用于生物統(tǒng)計、臨床試驗、車險定價及理賠等領域。張敏等［4］在高血壓研究案例當中，以高血壓的四類并發(fā)癥擬合四個常數(shù)項，構建廣義估計方程，用以計算各并發(fā)癥在基線水平上的發(fā)生概率。Wu等［5］通過收集中國高速公路出口坡道的四年碰撞數(shù)據(jù)來進行建模，將GEE與傳統(tǒng)的GLM進行比較，發(fā)現(xiàn)前者可以很好地適用于碰撞頻率數(shù)據(jù)。李靜等［6］通過采用GEE方法建立了不同孕周的體重常模?？得让群蛣⑺卮海?］將GEE應用到車險定價中，與GLM相比，得到的變量更準確。除此之外，GLM和GEE不再僅限于二值數(shù)據(jù)，在多分類問題中業(yè)已廣泛應用，詳見文獻［8－12］。

Wang［13］證明了在個體觀測次數(shù)有限的情況下經(jīng)典Logit廣義估計方程估計的漸近性質。而隨著時代的發(fā)展，對個體觀測的次數(shù)會越來越多，甚至趨于無窮。因此，本文將觀測次數(shù)由有限推廣到了無限，在相近的條件下證明了經(jīng)典Logit廣義估計方程估計的漸近性質。

1 模型介紹

設在試驗中對第i個個體的第j次觀測，得到二進制響應變量Yij和pn維協(xié)變量Xij，其中i＝1，…，n；j＝1，…，m。對于來自不同個體的觀測值，假設其相互獨立，而來自相同個體的觀測值則認為是相關的，但相關系數(shù)未知。令Yi＝（Yi1，…，Yim）T表示第i個個體的響應變量，并且Xi＝（Xi1，…，Xim）T為m×pn協(xié)變量矩陣。假設Ε（Yij，其中h的反函數(shù)g為聯(lián)系函數(shù)（Link Function）。對于經(jīng)典Logit模型來說，聯(lián)系函數(shù)為，βn是一個pn維的參數(shù)向量。此外，有：

詳細情況可參考文獻［14－16］。

在應用中，工作相關矩陣的提出對于分析縱向數(shù)據(jù)具有重要的意義。但由于受到擾動參數(shù)τ的影響，工作相關陣并不容易得到，于是Xie和Yang［17］以及Balan和Schiopu－Kratina［18］假設τ已知，并提出一個非隨機的正定矩陣并給出了估計方程：

式中，表示為的真實相關陣且為未知。

Wang［1］定 義 了GEE估 計 量的解，其中R＾是工作相關陣，并在一定條件下證明了協(xié)變量個數(shù)趨于無窮時β＾n的漸近性質。本文在其基礎上將條件放寬，對個體觀測次數(shù)也不再設置上限（即趨于無窮），并證明的漸近性質。本文不同位置的C代表不同正常數(shù)；對任意矩陣A＝（aij），范數(shù)為Frobenius范數(shù)［13］，即：

2 主要結果

為了后文定理敘述的簡潔，引入以下假設條件［13］：

（A2）未知參數(shù)βn屬于緊子集B?Rpn，真實參數(shù)值βn0是集合B的內點，且?c1，c2＞0，使得c1≤λmin（Ai（βn0））≤λmax（Ai（βn0））≤c2，其中λmin，λmax分別表示矩陣的最小、最大特征值；

（A3）?c3，c4＞0，滿足：

定理1關于漸近存在性和相合性。對于經(jīng)典Logit模型，假設（A1）～（A7）成立，則方程Sn（βn）＝0存在一個根β＾n，且β＾

n滿足：

定理2關于漸近正態(tài)性。對于經(jīng)典Logit模型，假設（A1）－（A7）成立，則，有：

3 定理的證明

關于定理的證明需要用到以下引理。

引理1式中：

ej為第j個元素、為1，其他均為0的m維列向量。引理2假設條件（A1）～（A5）成立，則：

引理3假設條件（A1）～（A5）成立，則?Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理4假設條件（A1）～（A4）以及（A6）成立，則?Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理5假設條件（A1）～（A5）成立，則?Δ＞0，bn∈Rpn，有：

引理6設G是Rn中的有界開集，記G的閉包和邊界分別是，?G。若函數(shù)F→Rn是連續(xù)的，并且對某個x0∈G和所有的x∈?G有（x－x0）TF（x）≤0，則F（x）＝0有一個根在中。參見文獻［19］。

引理7假設條件（A1）～（A5）成立，則?αn∈Rpn，αn＝1，有：

定

?理1的證明 由微分中值定理和引理1，可得：

式中，β*n在βn和βn0連線內。

首先估計In1。由引理2及（A7）可得：

其次估計In2，對求期望，即：

由（A1）－（A4）可知：

所以有：

對于In3有：

由引理3和（A6）可得：

由（A2）－（A4）可得：

而由引理4、引理5以及（A5）、（A6）可得：

由式（7）～式（12）可知In3≤－CΔ2pn，再由式（5）、式（6）可知：

最后，根據(jù)引理6可知式（5）成立，于是定理1得證。

定理2的證明 由定理1可知，Sn（β＾n）＝0。根據(jù)拉格朗日中值定理可得：

由（A2）、（A4）和式（1）可知，對于?bn∈Rpn且bn≠0，

有：

則根據(jù)Rayleigh-Rize定理以及（A3）可知：

首先證明In1＝op（1）。由Cauchy-Schwarz不等式、引理1、

式（14）以及（A5）可得：

其次證明In2＝op（1），由于

故需依次證明Jni＝op（1），i＝1，2，3，首先證明Jn1＝op（1）。

以及（A5）可得：

同理，運用引理3、引理4，式（3）以及（A3）、（A6）可得：

由式（15）－（19）可得，In1＝In2＝op（1）。最后根據(jù)引理7，式（13）和Slutsky定理可知式（3）成立，即定理2得證。

4 實例分析

例1對于經(jīng)典Logistic回歸模型產生的縱向數(shù)據(jù)：

魏強強［20］通過隨機模擬，產生了個體觀測數(shù)n為20，每個個體觀測值m為15次，且協(xié)變量維數(shù)pn為4的數(shù)據(jù)，根據(jù)Newton-Raphson迭代法選取初值βn0＝經(jīng)過15次迭代收斂到β＾n＝，偏差較小。由此可得，當條件（A1）～（A7）成立時，有：

例2為了研究某種新型的治療精神抑郁病藥物是否有更好的療效，某研究中心將其與標準藥物進行對比，做了如下試驗。該試驗是由340位病人共同參與，并根據(jù)各個體抑郁癥的嚴重程度進行劃分，且每組分別被隨機地指定服用新型藥或標準藥，分別記錄個體接受治療后在1、2和4周的情況，按精神抑郁的程度，各個體被劃分為正常（N）或異常（A），具體數(shù)據(jù)見表1，數(shù)據(jù)來自Biometric Society。

表1 抑郁的三次響應對治療和抑郁嚴重程度的交叉劃分

表1給出了基于獨立工作關聯(lián)的GEE估計。而對于該數(shù)據(jù)來說，GEE估計等于通過經(jīng)典Logit模型，將3×340＝1020個觀測值當做非獨立的觀測，進而得到回歸結果。通過運算分析可以得出抑郁嚴重程度、藥物治療方式以及時間都對正常響應具有實質影響。最初，兩種藥物的藥效相似，均隨著時間而增長，但新型藥物的藥效增長幅度更大。隨著觀測次數(shù)（周數(shù)）的增多，所得到的效果也會更加穩(wěn)定。詳細請參考文獻［21］。由此可見，觀測次數(shù)的適當增加，可使得試驗結果更加理想。