邢家省，楊義川，王擁軍

（1.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京100191；2.數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室，北京100191）

歐拉積分公式是數(shù)學分析中的重要經(jīng)典成果［1-6］。文獻［1，3］利用對含參變量積分的求導方法，給出了歐拉公式的證明，但證明過程較為繁瑣，不易于被人掌握；文獻［6－7］指出利用復圍道積分方法也可得到歐拉積分公式，但所需知識較多，也不利于該法在數(shù)學分析中傳播。正是這些文獻中對歐拉積分公式證明的復雜性，限制了其傳播和應用。

為了簡化歐拉積分公式的證明方法，本文采用復數(shù)的歐拉公式表示，從而實現(xiàn)了對歐拉積分公式的簡短證明，其中涉及的過程非常簡單，利于人們對歐拉積分公式的理解和掌握。有幾類重要的廣義積分在以往的文獻中是分別給予解決的，且解決辦法相當復雜［7-20］，而本研究發(fā)現(xiàn)利用歐拉積分公式可對這幾類廣義積分給出統(tǒng)一的處理。研究還利用積分交換次序定理［8-15］的結(jié)論給出了一類廣義積分的計算結(jié)果，且在導出結(jié)果的過程中完全是利用數(shù)學分析已有的理論方法。研究以理論方法統(tǒng)一的形式傳播來達到數(shù)學分析學中應有的概括高度，并形成了一套一般性的處理方法。

1 一類Euler積分公式的簡便證明方法

定理1［1-6］

證明 記：

δ］是一致收斂的［1］。從而有：

于是I（α）＝I（0）eipα，顯然，兩邊分別取實部、虛部，就得定理1的結(jié)果。

文獻［1，3］給出了定理1的證明，采用的是對實部和虛部分別求導的辦法，證明過程較為繁瑣。本文利用復數(shù)的歐拉公式表示，將其作為整體，采用對變量求導的辦法給出了簡短的證明過程，由此說明采用復數(shù)的歐拉公式表示可達到簡化的結(jié)果。

此外，若取f（z）＝zp－1e－λze－iα，在復平面上取特殊的圍道，也可以給出用復積分的辦法來計算定理1的結(jié)果［6-7］。對此不作詳述。

定理2

式為：

證明

從而積分關(guān)于p在［0，1］上連續(xù)，且成立

對－1＜p＜0，經(jīng)過分部積分計算，并利用定理1的結(jié)果，可得：

定理2的結(jié)果得證。

定理3［1-2］

定理4［1-6］

證明

2 歐拉積分公式的直接應用

定理5［1-6］

設(shè)a，b＞0，p＞－1，則有：

證明

得到：

定理6［1-6］

設(shè)a，b＞0，p＞0，則有：

證明

得到：

記：

定理7［1-6］設(shè)a，b＞0，p＞0，則有：

證明 記：

兩端分別取實部和虛部，就可得到結(jié)果。

3 歐拉積分公式在廣義菲涅爾積分計算中的應用

定理8［1-6］

設(shè)－1＜p＜1，則有：

證明

定理9［1-6］

證明

4 歐拉積分公式在一些廣義積分計算中的應用

定理10［1-6］

設(shè)k＞0，－1＜p＜1，則有：

證明

利用積分交換次序的理論方法［8-15］，可以證明有：

于是有：

于是又有：

定理1的結(jié)果，得到：

從而有：直接利用定理10的結(jié)果，可得下面定理11。

定理11［1-8］

定理12［1-8］

證明

對k＞0，0＜p＜1，有：

定理13［1-8］

設(shè)k＞0，0＜p＜1，則有：

證明

），代入積分

利用（7）式，可得：

利用定理1的結(jié)果，得到：

于是：

定理14［1-8］

設(shè)α≥0，則有：

證明

由于w（α）有界，所以

所以

于是有：