陳世明，邱昀，黃躍，江冀海

（華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

近年來，多智能體系統(tǒng)的一致性在生物系統(tǒng)、機(jī)器人編隊(duì)、傳感器網(wǎng)絡(luò)、無人機(jī)編隊(duì)、水下驅(qū)動(dòng)裝置和群決策等問題中都具有潛在的應(yīng)用，所以吸引了從物理、數(shù)學(xué)、工程、生物學(xué)和社會(huì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域的研究人員的廣泛關(guān)注?，F(xiàn)有的多智能體系統(tǒng)的一致性問題的研究成果大多建立在同質(zhì)多智能體的基礎(chǔ)上，即所有的多智能體都具有相同的動(dòng)力學(xué)行為。然而，在實(shí)際中，因?yàn)橥獠康挠绊懟蚪换サ南拗菩枰哂胁煌瑒?dòng)態(tài)行為的多智能體完成一個(gè)共同的目標(biāo)。因此，異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的一致性問題的研究具有更加重要的現(xiàn)實(shí)意義。

最近，異質(zhì)多智能體的一致性問題得到了越來越多的關(guān)注。現(xiàn)有的研究異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的一致性主要考慮的是一階和二階結(jié)構(gòu)的結(jié)合，而文獻(xiàn)[1]中針對(duì)一階智能體、二階智能體和EL智能體組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)中分別對(duì)EL智能體參數(shù)確定和不確定情況下的一致性進(jìn)行了研究。在協(xié)調(diào)控制中，根據(jù)發(fā)生的變化每個(gè)群體中的智能體必須達(dá)成一致。但是，由于環(huán)境、情形、合作的任務(wù)或者是時(shí)間的變化可能導(dǎo)致一致的狀態(tài)不同。譬如對(duì)深陷火災(zāi)的多名人員進(jìn)行搜救需要多智能體系統(tǒng)進(jìn)行分工配合完成多個(gè)目標(biāo)任務(wù)，因此，一個(gè)關(guān)鍵的問題就是設(shè)計(jì)合適的協(xié)議，使網(wǎng)絡(luò)中的智能體達(dá)成多個(gè)共識(shí)狀態(tài)。這就是多智能體系統(tǒng)的群一致性問題，關(guān)于系統(tǒng)中包含相同動(dòng)力學(xué)特性智能體的群一致性問題取得了優(yōu)秀的成果[2-6]，文獻(xiàn)[5-6]提出當(dāng)各個(gè)子群滿足入度平衡這個(gè)前提才能實(shí)現(xiàn)一階智能體系統(tǒng)的群一致性，即允許拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)之間權(quán)重存在負(fù)值的情況，但是這個(gè)條件過于苛刻。近年來，異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性也取得了一定的進(jìn)展。文獻(xiàn)[7]中研究了在固定拓?fù)湎碌漠愘|(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性；文獻(xiàn)[8]中基于圖論、矩陣?yán)碚摵蛣?dòng)力學(xué)理論研究了異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性問題，并且推廣到了有向和切換拓?fù)渲?。文獻(xiàn)[9]中考慮了部分的一階智能體具有輸入飽和，基于牽制控制提出了具有輸入飽和的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性；文獻(xiàn)[10]中研究了具有輸入延時(shí)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分組一致性；文獻(xiàn)[11]中利用自適應(yīng)控制對(duì)不確定非線性動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)進(jìn)行線性化處理，利用牽制控制實(shí)現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)的群一致性。

以上主要是研究線性的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)或者是具有相同非線性動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的群一致性，但是對(duì)于包含線性和非線性智能體組成的多智能體系統(tǒng)的群一致性卻研究甚少，設(shè)計(jì)合適的控制協(xié)議實(shí)現(xiàn)包含非線性結(jié)構(gòu)的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性更具挑戰(zhàn)，本文主要研究由一階智能體、二階智能體和非線性的EL結(jié)構(gòu)智能體組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性，針對(duì)無向的固定的通信拓?fù)淝闆r，提出了基于牽制控制的群一致性控制協(xié)議。

1 預(yù)備知識(shí)和問題描述

1.1 代數(shù)圖論

假設(shè) G =(v,ε,A)是 一個(gè)包含 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的加權(quán)無向 拓 撲 圖 ， 其 中 v =([v1,v2,···,vn)表 示 節(jié) 點(diǎn) 集 ；ε=v×v 表 示邊集； A =aijn×n是加權(quán)鄰接矩陣，如果 eij∈ ε， 則 a(ij＞0 ， 否則， aij=0 ， 并且 aij=aji。如果存在邊 eij=vi,v{j，則說明} 節(jié)點(diǎn) vi可 以從節(jié)點(diǎn) vj中獲得 信 息 。 Ni=vjeji∈ ε 表 示 節(jié) 點(diǎn) vi的 鄰 居 節(jié) 點(diǎn)集。節(jié)點(diǎn)vi和 vk之 間存在一系列的邊(vi,v2),(vi,v2),···,(vk-1,vk)，則說明兩節(jié)點(diǎn)之間存在一條路徑[12]，如果無向拓?fù)鋱D中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在一條路徑，則說明無向拓?fù)鋱D是連通的。 L =D-A表示拓?fù)鋱D的拉普拉斯矩陣，其中 D =diag(d1,d2,···,dn)表示拓?fù)鋱D的度矩陣，aij表 示節(jié)點(diǎn)i的 度。L=可定義為

式中 i, j=1,2,···,n。

1.2 問題描述

考慮一個(gè)具有 n個(gè)多智能體的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)，其中包含 l 個(gè)一階多智能體、 m 個(gè)二階多智能體和 n -m-l個(gè)EL智能體。一階結(jié)構(gòu)的多智能體滿足：

式中： xi(t)∈Rn表示智能體的位置向量，ui(t)∈Rn表示第i個(gè)智能體的控制輸入。二階結(jié)構(gòu)的多智能體的動(dòng)力學(xué)方程滿足：

式中： i =l+1,l+2,···,m； xi(t)∈ Rn表示智能體的位置向量， vi(t)∈Rn表 示智能體的速度向量，ui(t)∈Rn表示第i個(gè)智能體的控制輸入。EL智能體的動(dòng)力學(xué)方程滿足：

式中： i =m+1,m+2,···,n； xi(t)∈ Rq×1、 vi(t)∈ Rq×1和ui(t)∈ Rq×1分 別表示第i個(gè)智能體的位置信息、速度 信 息 和 控 制 輸 入 ； Mi(xi) ∈ Rp×q為 慣 性 矩 陣 ；Ci(xi,vi)為柯式力矩陣；EL智能體滿足如下性質(zhì)[13]。

性質(zhì)1慣性矩陣 Mi(xi)具有上下界，即

性質(zhì)2矩陣(x)-2C(x,v)是一個(gè)斜對(duì)稱iiii矩陣，對(duì)于任意給定的向量 r ∈Rp，有：

假定將異質(zhì)多智能體網(wǎng)絡(luò)分成 k (k≥2)群,如果智能體屬于第 t個(gè)群，則記 σi=t,xσi是對(duì)智能體進(jìn)行分群的常數(shù)，且當(dāng) σi=σj時(shí)，即表示同一個(gè)子群，并且有 xσi=xσj，否則， xσi≠ xσj。

定義1 對(duì)于任意給定的初始狀態(tài) xi(0),vi(0)，若異質(zhì)智能體系統(tǒng)滿足如下條件：

則說明異質(zhì)多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了 k群一致性。

注1 本文是基于二維空間，所得結(jié)果都可以利用克羅內(nèi)克積(Kronecker product)推廣到 n維空間。

引理1[14]對(duì)于定義在 Rn上的動(dòng)態(tài)系統(tǒng) x˙ =f(x)，其中 f (x)為 連續(xù)函數(shù)，設(shè) V (x):Rn→R是一階光滑函數(shù)，且滿足：

1)當(dāng) ‖ x‖→ ∞時(shí) ， V (x)→ ∞；

2)對(duì)于任意的{ x ∈Rn,V.(x)≤0。}

定義集合 S =x∈Rn:V.(x)=0， M 是 S中的最大不變集，則對(duì)于? x0∈Rn， 當(dāng) t → ∞時(shí) ， x (t)趨 于不變集 M 。

2 異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性控制

根據(jù)鄰居個(gè)體之間的信息交互和EL動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，設(shè)計(jì)如下控制協(xié)議：

式中： κ ,λ 是 正定對(duì)角矩陣,當(dāng)智能體i為牽制個(gè)體，則可以獲得靜態(tài)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)信息，則bi=1， 否則( bi=)0。各個(gè)群中的靜態(tài)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)設(shè)為 xσi,0,σi=1,2,···,k ， xσi為該群智能體期望的狀態(tài)。

定理1設(shè)智能體間的通信拓?fù)鋱D是無向連通的，由式(1)～(3)組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)在控制協(xié)議(7)的作用下可實(shí)現(xiàn)群一致性，并且各群中智能體的狀態(tài)都能夠趨于期望的狀態(tài)。

證明根據(jù)控制器(7)，可以將式(1)～(3)改寫為

令ei=xi-xσi,i=1,2,···,n， 則有：

根據(jù)式(9)，系統(tǒng)(8)可寫為

根據(jù)EL智能體性質(zhì)1可選擇李雅普諾夫函數(shù)如下：

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：

根據(jù)EL智能體的性質(zhì)2，可知：

又

由于異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)涫菬o向的， aij=aji，則有：

將式(15)代入式(14)可得：

將式(13)、式(16)代入到式(12)可得：

由引理1，最大不變集 M 滿足：

由式(10)和(18)可得，最大不變集 M 滿足：

顯然有

聯(lián)立式(20)和式(21)可得

由式(22)可得最大不變集 M 為

將ei=xi-xσi代入到式(23)，可以知道對(duì)于 x (0)、v(0)， 當(dāng) t →有：

綜上所述，由式(1)～(3)組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)在控制協(xié)議(7)的作用下可實(shí)現(xiàn)群一致性，并且各個(gè)子群的最終狀態(tài)趨于該子群虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)。

推論1通信拓?fù)鋱D是無向連通的，控制協(xié)議(7)中不考慮牽制策略的作用下，由(1)～(3)組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)也能夠?qū)崿F(xiàn)群一致性。

證明考慮李雅普諾夫函數(shù)：

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)化簡(jiǎn)后可得˙V=0

同理由引理1可知，當(dāng) 時(shí)，有

由式(27)可得：

式(28)、式(29)相加可得：

由式(27)和式(30)可知，最大不變集 M 可化為

將ei=xi-xσi代入到式(31)中，可以得到：

綜上所述，推論1得證。

注2 所提控制協(xié)議中只需滿足無向固定拓?fù)涫沁B通的條件就能實(shí)現(xiàn)異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性，從而放寬了文獻(xiàn)[5-6]中實(shí)現(xiàn)群一致性的條件。

3 數(shù)值仿真

通過MATLAB仿真平臺(tái)來驗(yàn)證所提群一致性控制協(xié)議的可行性，考慮一個(gè)由兩個(gè)一階結(jié)構(gòu)的智能體(智能體1、2)、兩個(gè)二階結(jié)構(gòu)的智能體(智能體3、4)和兩個(gè)EL智能體(智能體5、6)構(gòu)成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)，它們的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖1所示，將通信拓?fù)鋱D分成兩個(gè)群體 G1和 G2，每個(gè)群體中都包含不同結(jié)構(gòu)的智能體。多智能體的狀態(tài)信息 [xi(1)]T,xi=vi=[vi(1)vi(2)]T；控制輸入為ui=[ui(1)ui(2)]T,初始狀態(tài)信息為

圖1 異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱DFig.1 Conmmunication topology of heterogeneous multiagent systems

在各群中任意選擇智能體為牽制節(jié)點(diǎn)，以智能體1、2為例。 G1中的虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)信息為(5,0)， G2中的虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)信息為 (3 ,0)。在牽制節(jié)點(diǎn)的作用下異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性的仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 牽制控制作用下的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation restults under the effect of pinning control

在同樣的初始條件下，不考慮具有牽制控制的群一致性策略的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 未加牽制控制的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of without pinning control

由圖2(a)和(c)可以看出，群 G1中的智能體1、3和5位置狀態(tài)最終都趨于5，群 G2中的智能體2、4和6位置狀態(tài)最終都趨于3，從圖2(b)和(d)可以看出，群 G1和 G2中的智能體速度最終都趨于0。說明存在復(fù)雜的非線性結(jié)構(gòu)的EL智能體構(gòu)成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)在基于牽制控制的控制協(xié)議作用下，在同一個(gè)群中的智能體的位置狀態(tài)趨于同一個(gè)狀態(tài)值，不同群的智能體的位置狀態(tài)趨于不同的狀態(tài)值，異質(zhì)多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了群一致性，并且各群智能體狀態(tài)最終收斂到虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，即期望的狀態(tài)。由圖3(a)和(c)可以看出，兩個(gè)群體趨于不同的狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)了群一致，但相對(duì)于具有牽制控制的群一致性仿真結(jié)果相比,施加牽制控制的各個(gè)子群可以到達(dá)先前設(shè)定的預(yù)先期望狀態(tài)，而未施加牽制控制的各個(gè)子群體最終的一致平衡狀態(tài)不能趨于一個(gè)預(yù)先期望的狀態(tài)。

4 結(jié)束語

本文研究了由一階智能體、二階智能體和EL智能體組成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性，為了實(shí)現(xiàn)各群中智能體狀態(tài)能夠趨于期望的狀態(tài)，提出基于牽制控制的分布式控制協(xié)議，通過代數(shù)圖論、李雅普諾夫和拉塞爾不變集原理證明了該種控制協(xié)議的充分條件，通過MATLAB仿真平臺(tái)進(jìn)行數(shù)值仿真，各群中智能體的狀態(tài)信息趨于虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，即各群期望的狀態(tài)信息。實(shí)現(xiàn)了由線性智能體和非線性智能體構(gòu)成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)以往研究線性智能體構(gòu)成的異質(zhì)多智能體系統(tǒng)的群一致性的擴(kuò)展。