□ 章勤瓊

在某地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊的期末考試中，出了這樣一道題：“在○里填上‘＜’‘＞’或‘＝’，28÷12○280÷120?！?/p>

圖1

如圖1所示，學(xué)生寫了“＝”，卻被判了錯誤，并在后面訂正為“28÷12＜280÷120”。此題引起了很大的爭議，有人認(rèn)為此題應(yīng)該是相等的，因?yàn)椤氨怀龜?shù)和除數(shù)同時乘或者除以一個數(shù)，商是不變的”。但也有人提出了不同的看法，認(rèn)為“雖然商不變，但是余數(shù)會變化。這道題應(yīng)該是小于，原因是如果把兩邊的式子計算出來，商相同，但余數(shù)并不相等。因?yàn)?8÷12=2……4，而280÷120=2……40，商2和2是一樣的，而余數(shù)40比4要大，所以280÷120更大一些”。理由是“商相同時應(yīng)該比余數(shù)”。也有人對這個題目本身提出了疑問，“這道題目是要比較余數(shù)的大小還是比較結(jié)果的大小？如果是比較余數(shù)的大小，應(yīng)該是小于，如果題目是比較結(jié)果的大小還是應(yīng)該等于”。

那么，這道題目的答案到底應(yīng)該是等于還是小于呢？我們應(yīng)該對與此相關(guān)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行一些梳理，進(jìn)而對教學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步的思考。

一、“除法”與“有余數(shù)除法①“有余數(shù)除法”也叫“帶余除法”，兩者同。”

要討論28÷12和280÷120是否相等，需要先弄清楚什么是除法。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，一般是這樣定義的：“除法是數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算之一，已知兩個數(shù)a，b（b≠0），要求一個數(shù)q，使q與b的積等于a，記為a÷b=q?！璦稱為被除數(shù)，b稱為除數(shù)，q稱為它們的商。”[1]而在我國的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，學(xué)生一般在二年級開始學(xué)習(xí)除法，教材中并沒有給出除法的定義，都是結(jié)合生活實(shí)例，讓學(xué)生在分一分的活動中，在積累大量平均分經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上引出除法，而這些分一分的活動，既有按份數(shù)平均分（等分除），又有按每份數(shù)平均分（包含除）。

從定義中可以看出，在一個除法算式中，有3個數(shù)，分別是被除數(shù)、除數(shù)和商。事實(shí)上，所有的運(yùn)算都應(yīng)該是一種對應(yīng)。而“對于自然數(shù)來說，我們可以認(rèn)為算術(shù)運(yùn)算是為一對自然數(shù)m和n指定一個自然數(shù)，其中m和n的順序不可改變。在自然數(shù)的前提下，算術(shù)運(yùn)算的結(jié)果是一個單獨(dú)的（自然）數(shù)”。[2]清楚這一點(diǎn)，對于我們理解運(yùn)算是有幫助的。在加減乘除四則運(yùn)算中，自然數(shù)對于加法和乘法運(yùn)算是封閉的，即任意兩個自然數(shù)經(jīng)過加和乘之后仍然是自然數(shù)。但自然數(shù)對于減法和除法運(yùn)算卻不封閉，兩個自然數(shù)相減，有可能出現(xiàn)負(fù)整數(shù)，如要對減法封閉，就要將數(shù)系擴(kuò)充到整數(shù)；而兩個自然數(shù)相除，則可能出現(xiàn)分?jǐn)?shù)（或小數(shù)），如要對除法封閉，就要將數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)。

而有余數(shù)的除法，是指“一個整數(shù)除以另一個不為零的整數(shù)，得到整數(shù)商后還有余數(shù)，這樣的除法叫作有余數(shù)的除法。有余數(shù)除法的意義也可以這樣表述：已知兩個整數(shù)a，b（a≠0），要求這樣的兩個整數(shù)q，r，使得q，r滿足：b=aq＋r，r＜a，這樣的運(yùn)算叫作有余數(shù)除法。求得的整數(shù)q叫作不完全商，r叫作余數(shù)。b、a仍然分別叫作被除數(shù)和除數(shù)，這四個數(shù)的關(guān)系記作b÷a=q……r，（r＜a）”。[3]

由于都叫除法，人們?nèi)菀装选坝杏鄶?shù)除法”看成是“除法運(yùn)算”的一種特殊形式，但如果用對應(yīng)的方式來看，這兩者存在著本質(zhì)的區(qū)別。有余數(shù)的除法為兩個有序的自然數(shù)m和n（n≠0）規(guī)定了一對自然數(shù)與之對應(yīng)，這對自然數(shù)就是m與n做有余數(shù)除法所得的商和余數(shù)。“有余數(shù)的除法為任意一對自然數(shù)m和n（n≠0）規(guī)定了兩個而不是一個自然數(shù)與之對應(yīng)，這一事實(shí)使得它不夠資格成為算術(shù)運(yùn)算?！盵4]我們可以對有余數(shù)除法與除法進(jìn)行如下這樣的比較[5]：

（1）“有余數(shù)除法”是定義在整數(shù)集上的一種運(yùn)算；而“除法”可以在任何一種數(shù)集上定義。

（2）兩種除法的定義雖然都與乘法有關(guān)（所以它們都被稱之為“除法”），都要求除數(shù)不等于0，但具體條件不同：

（3）不能說“有余數(shù)的除法是除法的特例”，也不能說“除法是有余數(shù)除法當(dāng)r=0時的特例”。它們的關(guān)系并不是屬種關(guān)系。

因而，在等式“28÷12=2……4”中，符號“2……4”并不是28與12兩數(shù)相除的商。而是因?yàn)樽匀粩?shù)對除法運(yùn)算不封閉，無法找到一個自然數(shù)對應(yīng)表示商所采取的一種特殊的表示方式，其表示的結(jié)果不代表任何確定的數(shù)。實(shí)質(zhì)上它只給出了商的整數(shù)部分與分?jǐn)?shù)部分的分子，分?jǐn)?shù)部分的分母則是等號另一邊的除數(shù)。即28÷12=2……4的意思為28÷。因此，當(dāng)“2……4”即“2”單獨(dú)出現(xiàn)時，由于分?jǐn)?shù)部分的分母不確定，所以它不能表示確定的數(shù)。同樣道理，在280÷120=2……40中，“2……40”所表示的如果單獨(dú)出現(xiàn)，由于分?jǐn)?shù)部分的分母不確定，也不能表示確定的數(shù)。那么，單獨(dú)比較“2……4”與“2……40”的大小當(dāng)然就毫無意義。由此，我們可以知道，前面有人提到的“商相等，比較余數(shù)大小”在數(shù)學(xué)上行不通，是一種錯誤的方法。

不妨來看另一個例子，25÷6=4……1與21÷5=4……1。因?yàn)檫@里的“4……1”不代表任何確定的數(shù)，我們同樣不能因?yàn)橛嬎愕慕Y(jié)果都用“4……1”來表示，從而判定25÷6與21÷5相等。更進(jìn)一步地講，雖然都是“4……1”，但兩個式子中余下來的“1”的意義是不一樣的，前式的除數(shù)是6，因此“1”是“6”當(dāng)中的“1”，而后式的除數(shù)是5，因此“1”是“5”當(dāng)中的“1”。也許有人會說，如果把25÷6看成a，把21÷5看成b，把4……1看成c。就有a=c，b=c，根據(jù)等式的傳遞性，應(yīng)該有a=b。為什么在這里，等式的傳遞性不成立？需要再次強(qiáng)調(diào)，在這里“4……1”并不是兩數(shù)相除的商，不是一個確定的數(shù)，自然不能看成是“c”，那么，就不能為a與b的相等起到傳遞作用。所以，并非是等式的傳遞性不成立。

有余數(shù)除法的結(jié)果用“商……余數(shù)”表示，的確容易引起一些混亂。有學(xué)者甚至指出，“應(yīng)當(dāng)把25÷6=4……1這種記法清除出所有的教科書，因?yàn)樗ㄔ跀?shù)學(xué)上）沒有任何意義。……正確的表示有余數(shù)除法的方式是‘25=（4×6）+1’”。[6]在小學(xué)階段，恐怕無法完全避免“4……1”這樣的表示形式，但需要明確這種形式并不能作為兩數(shù)相除的結(jié)果。而在有余數(shù)除法中，無視除數(shù)直接采用“商相等比余數(shù)”的方法更是完全錯誤的。同時，也的確需要更加注重“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”這樣的表達(dá)方式。

二、商的變化規(guī)律

既然在比較28÷12和280÷120的大小關(guān)系的時候，不能用“商相等比較余數(shù)”的方法去比較得到280÷120＞28÷12，那么，該如何比較28÷12與280÷120的大小呢？

第一種方法當(dāng)然是真正算出這兩個除法算式的商，所謂真正算出，是指找到一個確定的數(shù)來對應(yīng)28÷12和280÷120的運(yùn)算結(jié)果。很顯然，在自然數(shù)范圍內(nèi)找不到這個數(shù)，那么需要擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，即用分?jǐn)?shù)或小數(shù)來表示商。這兩個商都是帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分都是2，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)部分。因此，它們的商相等，根據(jù)等式的傳遞性，有28÷12=280÷120。也可以用小數(shù)來表示商，28÷。同樣可以利用等式的傳遞性，得到28÷12=280÷120。

但是，這道題是四年級上冊的期末考試題，商是小數(shù)或分?jǐn)?shù)的除法還沒有學(xué)過。那么，學(xué)生是否還有其他方法解決這道題目呢？

在四年級上冊，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了商的變化規(guī)律（人教版）。教材中明確指出：“被除數(shù)和除數(shù)都乘一個相同的數(shù)，商不變。”“被除數(shù)和除數(shù)都除以一個相同的數(shù)，商不變?！倍诤竺嬗痔貏e強(qiáng)調(diào)了“應(yīng)用商的變化規(guī)律不僅可以使口算簡便，還可以使筆算簡便”。[7]如果運(yùn)用商的變化規(guī)律，將28÷12中的被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大10倍，變成280÷120，商不變，因此，28÷12與280÷120相等。

不需要算出結(jié)果，直接運(yùn)用商的變化規(guī)律來判斷，這應(yīng)當(dāng)也是出題者的初衷。這樣來看，這道題判斷起來似乎并不困難，更不應(yīng)該出現(xiàn)這么大的爭議。究其原因，大概是因?yàn)樗哪昙壣蟽栽趯W(xué)習(xí)商的變化規(guī)律時，所有的算式都是可以整除的，并沒有出現(xiàn)有余數(shù)的情況。而在教學(xué)商的變化規(guī)律的時候，通常會讓學(xué)生將商計算出來再進(jìn)行判斷。而在本題中，計算結(jié)果的時候出現(xiàn)了余數(shù)，“結(jié)果”并不完全一致，所以造成了困惑。但如果明確一個事情，商的變化規(guī)律不僅適用于能整除的除法算式，還適用于不能整除的算式，這個問題就迎刃而解了。

三、兩點(diǎn)教學(xué)建議

第一，在學(xué)生初次接觸余數(shù)時，注意強(qiáng)調(diào)余數(shù)與除數(shù)的相互關(guān)系。之所以出現(xiàn)文章開頭的這個問題，其根本在于沒有很好地理解余數(shù)的意義。有研究者就曾指出“學(xué)生對余數(shù)的掌握只停留在技能的操作層面上，并沒有更深層次地把握余數(shù)的意義。導(dǎo)致產(chǎn)生這一問題的重要原因是，教師在課堂教學(xué)中過分注重基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)。這樣，盡管學(xué)生掌握了不少有關(guān)余數(shù)的知識，但教學(xué)中的‘強(qiáng)化訓(xùn)練’忽略了對余數(shù)實(shí)質(zhì)的理解，學(xué)生體會不到涉及其本質(zhì)的關(guān)鍵性問題”。[8]

學(xué)生在二年級下冊開始學(xué)習(xí)除法以及有余數(shù)的除法（人教版），在有余數(shù)的除法的教學(xué)中，主要有以下三個方面的內(nèi)容：一是用生活情境引出余數(shù)；二是余數(shù)要比除數(shù)??；三是有余數(shù)除法的豎式計算。雖然教學(xué)中有強(qiáng)調(diào)余數(shù)比除數(shù)小這樣的關(guān)系，但對于余數(shù)與除數(shù)之間這種千絲萬縷的關(guān)系，如“余數(shù)是相對于除數(shù)而言的”“不能脫離除數(shù)談余數(shù)”等的關(guān)注不夠。因此，在學(xué)生初次接觸余數(shù)時，可以設(shè)置巧妙的教學(xué)活動，除了使學(xué)生認(rèn)識到“余數(shù)比除數(shù)小”以外，還可以使他們認(rèn)識到這樣一個問題：余數(shù)并不是單獨(dú)存在的，余數(shù)與相應(yīng)的除數(shù)有關(guān)，余數(shù)隨著除數(shù)的變化而變化。[9]這對于學(xué)生后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是有幫助的。

第二，在運(yùn)算教學(xué)中，重視對等式性質(zhì)與運(yùn)算法則的理解。如在學(xué)習(xí)商的變化規(guī)律時，應(yīng)該淡化通過計算出商來判斷除法算式的相等關(guān)系。商的變化規(guī)律的得出需要借助觀察商的大小，但是在理解變化規(guī)律之后進(jìn)行運(yùn)用的時候，可以不再把商算出來。因此，一方面，在判斷像28÷12和280÷120這樣的式子的大小關(guān)系的時候，應(yīng)該注意直接運(yùn)用商的變化規(guī)律來進(jìn)行判斷，而不應(yīng)該過分強(qiáng)調(diào)要分別計算出結(jié)果來進(jìn)行判斷；另一方面，在教學(xué)商的變化規(guī)律時，除了整除的式子以外，可以有意識地增加一些不能整除的式子，在一定程度上引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而幫助他們更好地理解規(guī)律，而不是一味地先計算出商再來對結(jié)果進(jìn)行比較。

更進(jìn)一步地進(jìn)行分析，如圖1中的第一道題，387÷25○799÷82，根據(jù)學(xué)生的答題記錄，我們可以看出，學(xué)生先判斷左邊式子的商是兩位數(shù)，右邊式子的商是一位數(shù)，因此左邊大于右邊。這當(dāng)然是很好的方法，但還是先算出商再進(jìn)行比較，只是這里用的是估算。其實(shí)還能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用另外一種思路進(jìn)行判斷，如果比較左右兩個式子，被除數(shù)799小于387的3倍，而除數(shù)82大于25的3倍。根據(jù)商的變化規(guī)律，被除數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)小于除數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)，商會變小，因此，387÷25＞799÷82。這樣的思考方式，更多關(guān)注式子的變化和關(guān)系，學(xué)生對于等式以及運(yùn)算性質(zhì)的理解更加深刻，對于今后的代數(shù)思維的發(fā)展有更大的幫助。

運(yùn)算能力是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出的十大核心概念之一，“運(yùn)算能力是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”。[10]“正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力”顯然不是僅指快速準(zhǔn)確地得到計算結(jié)果，運(yùn)算能力的內(nèi)涵也要豐富得多，比如有研究者就指出運(yùn)算能力應(yīng)包含四個方面的內(nèi)容，分別是基本口算、理解算理、掌握算法以及運(yùn)算策略。[11]而“根據(jù)法則”中的法則即運(yùn)算法則，包含了加減乘除等運(yùn)算的各種性質(zhì)。商的變化規(guī)律的理解與掌握是運(yùn)算法則的一部分，對于學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展至關(guān)重要。