廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 溫伙其

ex≥x+1 的解題應(yīng)用，是某些近年高考真題、各地模擬試題和各種競賽的理論背景，被稱為“指數(shù)基本不等式”.它可演繹出很多經(jīng)典不等式，它們對于函數(shù)的大小問題或最值問題，以及數(shù)列的放縮證明，提供一種高效簡潔的解題辦法.

一、來源背景

1.高等數(shù)學(xué)：泰勒展開式

對于函數(shù)f(x)=ex，在x=0 處的泰勒展開式如下：

當(dāng)0＜x＜1 時(shí)，有1+x＜ex＜1+x+x2+···+xn+···=上式也可變形為-ln(1-x).

2.中學(xué)數(shù)學(xué)：曲線的切線應(yīng)用

如圖1，知函數(shù)y=ex在點(diǎn)P(0,1)處的切線方程為y=x+1，結(jié)合y=ex的凹凸性，容易發(fā)現(xiàn)ex≥x+1.

圖1

圖2

二、演繹變形

由ex≥x+1 出發(fā)，通過自然對數(shù)運(yùn)算，結(jié)合x用或者1±x代換，可演繹出十分豐富的不等式鏈，它們及互相關(guān)系如圖2：

三、不等式鏈解題應(yīng)用

上述不等式鏈中的ex≥x+1 被俗稱為指數(shù)不等式，lnx≤x-1(x＞0)被俗稱為對數(shù)不等式，在函數(shù)不等式證明和數(shù)列放縮法證明中有廣泛應(yīng)用.同時(shí)，其它每一個(gè)不等式都有強(qiáng)大的功能作用，是破解大小問題的利器.

1.不等式ex ≥x+1 的應(yīng)用

例1(2014年全國I 卷理第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.

(1)求a,b的值；(2)求證：f(x)＞1.

分析(1)解得a=1,b=2，過程從略.

(2)由(1)得f(x)=exlnx+從而f(x)＞1 等價(jià)于我們熟悉不等式ex≥x+1，所以ex-1≥x，即ex≥ex，整理有

再由ex-1≥x，得即兩邊取以e為底的對數(shù)，即整理得

由于① ②兩式等號(hào)不能同時(shí)成立，兩式相加得lnx+＞e-x，原不等式得證.

2.不等式ln x ≤x-1(x＞0)的應(yīng)用

例2(2018年全國I 卷文第21 題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1．

(1)設(shè)x=2 是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a≥時(shí)，f(x)≥0．

分析(1)略.(2)當(dāng)時(shí)，有f(x)≥ex-1-lnx-1，我們熟知不等式lnx≤x-1(x＞0)，于是-lnx-1 ≥-x，又有ex-1≥x，所以，ex-1-lnx-1 ≥0，即f(x)≥0.

3.不等式ln(x+1)≤x(x＞-1)的應(yīng)用

例3(2009年汕頭一模理第21 題)設(shè)函數(shù)f(x)=

(1)令N(x)=(1+x)2-1+ln(1+x)，判斷并證明N(x)在(-1,+∞)上的單調(diào)性，并求N(0)；

(2)求f(x)在定義域上的最小值.

分析(1)略.(2)我們熟悉不等式ln(x+1)≤x(x＞-1)，所以當(dāng)x＞-1 時(shí)，有所以當(dāng)且僅當(dāng)(1+x)即x=0 時(shí)等號(hào)成立，即f(x)在(-1,+∞)的最小值為0.

4.不等式ln即的應(yīng)用

例4列{an}滿足

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，證明Sn＜n -

分析(1)求得

例5已知函數(shù)f(x)=ax+blnx+1，此函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為x軸.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)當(dāng)x＞0 時(shí)，證明：

(3)已知n ∈N?,n≥2 時(shí)，求證：

分析(1)容易求得a=-1,b=1，函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=0；

(2)證明：由(1)知f(x)≤0 (當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)等號(hào)成立)，即lnx≤x -1，當(dāng)x＞0 時(shí)，有所以也有所以即整理后有綜上可得

(3)由(2)可知當(dāng)x＞0 時(shí)，取x=1,2,3,··· ,n -1,n ∈N?,n≥2，疊加所得各式，有即成立.

6.不等式≤ln x ≤x-1 的應(yīng)用

例6(成都市2018 屆高中畢業(yè)班二診理科)已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+1，a ∈R.

(1)當(dāng)x＞0 時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≥0 恒成立，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)n ∈N?時(shí)，證明：

分析(1)[-1,+∞)，過程從略；

(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)的和分別為則由于an=解得同理所以只需證明我們熟知不等式令則所以所以ln22+下面再證明亦即因?yàn)樗灾恍枳C現(xiàn) 證 明令h(x)=則h′(x)=所以函數(shù)h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，h(x)＜h(1)=0，所以當(dāng)x＞1 時(shí)，2 lnx＜x-恒成立，令則綜上，所以 對數(shù)列分 別 求 前n項(xiàng) 的 和，得

由此可見，從ex≥x+1 這源頭，可演繹變形出豐富有用的不等式鏈，它們是處理某些不等式問題的有力工具.