福建省龍海第一中學(xué)(363100) 蘇藝偉

數(shù)量積是向量的重要內(nèi)容，求數(shù)量積的取值范圍或最值問題經(jīng)常出現(xiàn)在向量試題中.此類試題不僅有一定的難度且較為靈活，無固定的解法，在實際解題中根據(jù)題目條件綜合運用數(shù)量積的相關(guān)知識，靈活選取恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，方能出奇制勝，順利求解.

策略1直接運用數(shù)量積的代數(shù)形態(tài)

數(shù)量積的代數(shù)形態(tài)指的是a·b=|a|·|b|·cosθ，通常借助代數(shù)形態(tài)進(jìn)行數(shù)量積的相關(guān)運算.

例1已知a,b滿足|a|=2，a2+2a·b+2b2=8，求a·b的取值范圍.

解析設(shè)|b|=x，〈a,b〉=θ.由已知有a2+2a·b+2b2=8.整理得cosθ=令得故

簡評借助數(shù)量積的代數(shù)形態(tài)反解出cosθ，利用余弦函數(shù)的有界性得到x的取值范圍，從而求出a·b的取值范圍.

例2已知圓C:(x-2)2+y2=4，圓M:(x-2-5 cosθ)2+(y-5 sinθ)2=1.過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E,F，求的最小值.

解析

顯然當(dāng)點P在圓M上運動時，|PC| ∈[4,6].令t=|PC|2，則t ∈[16,36].故因此當(dāng)t=12時，有最小值6.

簡評借助數(shù)量積的代數(shù)形態(tài)將表示成PE·PF ·cos ∠EPF，借助圓的切線的幾何性質(zhì)求解.

策略2運用數(shù)量積的幾何形態(tài)

數(shù)量積的幾何形態(tài)是建立在投影的基礎(chǔ)上.a·b表示|a|乘以b在a上的投影，也可以表示|b|乘以a在b上的投影.

例3同例1.______

圖1

解析由a2+2a·b+2b2=8得+a · b+b2=4，即b2+a·b=2，即整理得記則b的終點B在以C為圓心，為半徑的圓上.a·b表示|a|乘以b在a上的投影.如圖1 所示，當(dāng)點B在E處時，投影最大，為當(dāng)點B在F處時，投影最小，為所以

簡評上述解法利用數(shù)量積的幾何形態(tài)，抓住投影這個關(guān)鍵定義，首先結(jié)合圖形求出投影的范圍，從而得到a·b的取值范圍.

策略3 運用數(shù)量積的恒等形態(tài)

由數(shù)量積的恒等形態(tài)可以得到數(shù)量積的極化公式，它將數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化成為兩條線段的平方差問題，可以有效地處理數(shù)量積的取值范圍問題.

例4已知△ABC是邊長為2 的等邊三角形，P為面ABC內(nèi)一點，求的最小值.

解析取BC中點M，AM中點N，則所以因此的最小值是

簡評運用恒等形態(tài)將轉(zhuǎn)化成為PN2-MN2.

例5已知正△ABC內(nèi)接于半徑為2 的圓O，點P是圓O的一個動點，求的取值范圍.

解析由已知可得正△ABC的邊長為取AB中點D，則當(dāng)點P位于C處時，PD最大，為3；當(dāng)點P位于CD延長線與圓交點時，PD最小，為1.因此，

簡評運用恒等形態(tài)將轉(zhuǎn)化成為PD2-BD2.

策略4運用不等式的性質(zhì)

借助不等式的重要性質(zhì)可以求出數(shù)量積的取值范圍(最值)，如三角不等式，柯西不等式，重要不等式.

例6已知a,b滿足|a|=2|b|，|a-b|=2，求a·b的取值范圍.

解析由|a - b|=2 得a2-2a · b+b2=4，即4|b|2-2a·b+|b|2=4，解得a·b=記|b|=t，則由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，得|b|≤2 ≤3|b|，即因此

簡評首先將a·b表示成為然后借助向量中的三角不等式求出|b|的取值范圍，從而得出a·b的取值范圍.

例7已知a,b滿足|a|=1,|b|=2，若對任意單位向量e均有求a·b的最大值.

解析|(a+b)·e|≤|a·e|+|b·e|由e的任意性可知，故有a2+2a·b+b2≤6，從而有因此a·b的最大值為

簡評借助向量中的三角不等式以及e的任意性得到√從而求出a·b的最大值為

例8已知a,b,c滿足，且|a|+|b|+|c|=4.求c·(a+b)的最大值.

解析由已知可得〈a,c〉=60°，〈b,c〉=60°，c·(a+b)=因此c·(a+b)的最大值為2.

簡評借助重要不等式ab≤求出c·(a+b)的最大值為2.

例9在△ABC中，已知∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB中點，E,F分別是BC,AC上的動點，且EF=1，.求的最小值.

解析以C為原點建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)C(0,0)，其中a2+b2=因此又(4a+3b)2≤(16+9)(a2+b2)，即(4a+3b)2≤25，所以-5 ≤4a+3b≤5，故

簡評借助柯西不等式求出4a+3b的最值，從而求出的最小值.

下面給出幾道練習(xí)：

1.已知a和單位向量b滿足|a+2b|=2|a-b|，求a·b的取值范圍.

解析1由|a+2b|=2|a-b|兩邊同時平方得a·b=所以結(jié)合cosθ ∈[-1,1]得|a| ∈[0,4].故a·b=|a|·|b|·cosθ=

解析2設(shè)且O(0,0)，B(1,0)，A(x,y).則a+2b=(x+2,y)，a-2b=(x-1,y).由|a+2b|=2|a-b|得化簡得(x-2)2+y2=4.故a的終點A在以(2,0)為圓心，2 為半徑的圓上運動，所以x ∈[0,4].a·b=(x,y)·(1,0)=x ∈[0,4].

2.已知a,b滿足a·b=0，且|a-b|=|a-2c|=2，求a·c的取值范圍.

解析1設(shè)且A(a,0)，B(0,b).由|a-b|=2 得a2+b2=2.由|a-2c|=2 得a2-4a·c+4c2=4，即a2-4a·c+(2|c|cosθ)2+(2|c|sinθ)2=4.整理得(|a|-2|c|cosθ)2+(2|c|sinθ)2=4，所以(|a|-2|c|cosθ)2≤4.由-2 ≤|a|-2|c|cosθ≤2，得-2|a|≤|a|2-2a·c≤2|a|，即|a|2-2|a|≤2a·c≤|a|2+2|a|.結(jié)合|a| ∈[-2,2]得

圖2

解析2記2c，=b，則點O在以AB為直徑的小圓上運動，2c的終點C2在以A為圓心，2 為半徑的圓大圓上運動.與的數(shù)量積即為圖(2)中與在上的投影的乘積.先讓C2在以A為圓心，2 為半徑的圓大圓上運動，發(fā)現(xiàn)當(dāng)與同向時，取到最大值；再讓點O在以AB為直徑的小圓上運動，發(fā)現(xiàn)當(dāng)O運動到B時，取到最大值為8；取到最小值時，必定有與反向.又因為由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)O在的中點時，取到最小值，所以

通過上述試題及其分析，不難看出，對于數(shù)量積取值范圍(最值)問題，應(yīng)充分運用數(shù)量積的代數(shù)形態(tài)，幾何形態(tài)，恒等形態(tài)，結(jié)合不等式的重要性質(zhì)求解.對于有些試題還要靈活觀察圖形，借助幾何直觀方能順利求解.